סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: איבר לפי המקום, כלל נסיגה, תת-סדרה, סכום חלקי וסכום אינסופי, ושבר מחזורי. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: הסדרה נתונה לפי המקום או בכלל נסיגה? ואם יש סכום אינסופי: בדקתם ש-∣q∣<1|q|<1?

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הסדרה an=3n2−2na_n=3n^2-2n. חשבו את a4a_4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

a4=3⋅16−2⋅4a_4=3 \cdot 16-2 \cdot 4

מציבים n=4n=4

=48−8=40=48-8=40

חזקה לפני כפל: 3⋅42=483 \cdot 4^2=48, לא 12212^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה סדרה: a1=2a_1=2 ו-an+1=3an−1a_{n+1}=3a_n-1. חשבו את a4a_4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 41

הפתרון:

a2=6−1=5\begin{aligned}a_2 &= 6-1 \\ &= 5\end{aligned}
a3=15−1=14\begin{aligned}a_3 &= 15-1 \\ &= 14\end{aligned}
a4=42−1=41\begin{aligned}a_4 &= 42-1 \\ &= 41\end{aligned}

שלושה צעדים מ-a1a_1 ל-a4a_4. מי שעוצר אחרי שניים עונה 1414.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה סדרה: a1=10a_1=10 ו-an+1=an−2.5a_{n+1}=a_n-2.5. איזו סדרה זו?

  1. הנדסית עם q=−2.5q=-2.5
  2. מחזורית
  3. לא חשבונית ולא הנדסית
  4. חשבונית עם d=−2.5d=-2.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד חשבונית עם d=−2.5d=-2.5

הפתרון:

an+1−an=−2.5a_{n+1}-a_n=-2.5

הפרש קבוע

הנכונה: חשבונית עם d=−2.5d=-2.5. מחסרים מספר קבוע, לא כופלים בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את הסכום האינסופי 30+10+103+…30+10+\frac{10}{3}+\ldots

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

a1=30q=13\begin{aligned}a_1 &= 30 \\ \quad q &= \frac{1}{3}\end{aligned}

∣q∣<1|q|<1

S=3023=45\begin{aligned}S &= \frac{30}{\frac{2}{3}} \\ &= 45\end{aligned}

חילוק בשבר הוא כפל בהופכי: 30⋅32=4530 \cdot \frac{3}{2}=45. מי שכופל ב-23\frac{2}{3} מקבל 2020, פחות מ-a1a_1 ומ-a1+a2a_1+a_2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ana_n סדרה הנדסית עם a1=2a_1=2 ו-q=−3q=-3. מהי המנה של תת-הסדרה a1,a3,a5,…a_1, a_3, a_5, \ldots?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

q2=(−3)2=9\begin{aligned}q^2 &= (-3)^2 \\ &= 9\end{aligned}

שני צעדים בין איבר לאיבר

המנה 99 חיובית: כל האיברים במקומות האי-זוגיים באותו סימן. מי שעונה −9-9 שכח את הסוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: הסדרה an=5⋅(−1)na_n=5 \cdot (-1)^n היא סדרה הנדסית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

an+1an=5(−1)n+15(−1)n=−1\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{5(-1)^{n+1}}{5(-1)^n} \\ &= -1\end{aligned}

מנה קבועה

הטענה נכונה: הנדסית עם q=−1q=-1. אין לה סכום אינסופי, אבל היא הנדסית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כתבו את 0.5‾=0.555…0.\overline{5}=0.555\ldots כשבר מצומצם.

מונה: ____ , מכנה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מונה: 5 , מכנה: 9

הפתרון:

0.5+0.05+…0.5+0.05+\ldots

a1=0.5a_1=0.5, q=0.1q=0.1

0.50.9=59\frac{0.5}{0.9}=\frac{5}{9}

510\frac{5}{10} הוא רק האיבר הראשון. ספרה אחת במחזור נותנת מכנה 99.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה הנדסית a1=1a_1=1 ו-q=3q=3. חשבו את S5S_5.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 121

הפתרון:

S5=35−13−1S_5=\frac{3^5-1}{3-1}
=2422=121=\frac{242}{2}=121

בדיקה: 1+3+9+27+81=1211+3+9+27+81=121 ✓

מי שכותב 35=153^5=15 כפל במקום להעלות בחזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הסדרה an=n+12n−1a_n=\frac{n+1}{2n-1}. באיזה מקום nn מופיע האיבר 0.60.6?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

n+1=0.6(2n−1)=1.2n−0.6\begin{aligned}n+1 &= 0.6(2n-1) \\ &= 1.2n-0.6\end{aligned}

כופלים במכנה

1.6=0.2n ⇒ n=8\begin{aligned}1.6 &= 0.2n \ \Rightarrow \ n \\ &= 8\end{aligned}
a8=915=0.6\begin{aligned}a_8 &= \frac{9}{15} \\ &= 0.6\end{aligned}

בדיקה ✓

מחפשים מקום, ולכן הנעלם הוא nn. מי שמציב n=0.6n=0.6 חישב איבר ולא מקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו לכל כלל נסיגה את סוג הסדרה (בכולן a1=3a_1=3).

  • an+1=an+7a_{n+1}=a_n+7
  • an+1=−an4a_{n+1}=-\frac{a_n}{4}
  • an+1=1ana_{n+1}=\frac{1}{a_n}
  • an+1=an2a_{n+1}=a_n^2
  • הנדסית מתחלפת
  • חשבונית
  • לא חשבונית ולא הנדסית
  • מחזורית: 3,13,3,…3, \frac{1}{3}, 3, \ldots
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: an+1=an+7a_{n+1}=a_n+7 — חשבונית · an+1=−an4a_{n+1}=-\frac{a_n}{4} — הנדסית מתחלפת · an+1=1ana_{n+1}=\frac{1}{a_n} — מחזורית: 3,13,3,…3, \frac{1}{3}, 3, \ldots · an+1=an2a_{n+1}=a_n^2 — לא חשבונית ולא הנדסית

הפתרון:

an+1=1an: a3=113=3\begin{aligned}a_{n+1} &= \frac{1}{a_n}: \ a_3 \\ &= \frac{1}{\frac{1}{3}} \\ &= 3\end{aligned}

חוזר אחרי שני צעדים

3, 9, 813, \ 9, \ 81

an2a_n^2: המנות 33 ו-99 שונות

מוסיפים מספר קבוע: חשבונית. כופלים במספר קבוע: הנדסית. כל כלל אחר: מחשבים ומחפשים מחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת