פותרים יחד · כלל נסיגה · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: סכומים של המקומות הזוגיים והאי-זוגיים, סדרת עזר שמסתתרת בכלל נסיגה, סדרה בשני כללים, וסדרה שנבנית מסדרה הנדסית. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — סכום המקומות האי-זוגיים וסכום המקומות הזוגיים

פעילות אינטראקטיבית

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. סכום כל האיברים הוא $12$ , וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים הוא $9$ . א. מצאו את המנה $q$ . ב. מצאו את $a_1$ . ג. מצאו את סכום האיברים שבמקומות הזוגיים.

\begin{aligned}S &= 12 \\ \qquad a_1+a_3+a_5+\ldots &= 9\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המקומות האי-זוגיים הם סדרה הנדסית בפני עצמה. מה המנה שלה?

הסדרה כולה

\frac{a_1}{1-q}=12

יורדת וחיובית: $0<q<1$ , ולכן יש סכום.

המקומות האי-זוגיים

\frac{a_1}{1-q^2}=9

איבר ראשון $a_1$ , מנה $q^2$ .

מחלקים

\begin{aligned}\frac{1-q^2}{1-q} &= \frac{12}{9} \ \Rightarrow \ 1+q \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

$1-q^2=(1-q)(1+q)$ , ו- $a_1$ מצטמצם.

א.

q=\frac{1}{3}

$0<\frac{1}{3}<1$ ✓

ב.

\begin{aligned}a_1 &= 12\left(1-\tfrac{1}{3}\right) \\ &= 8\end{aligned}

מהמשוואה הראשונה.

ג.

12-9=3

כל איבר נמצא במקום זוגי או אי-זוגי.

בדיקה

\begin{aligned}\frac{a_1q}{1-q^2} &= \frac{\frac{8}{3}}{\frac{8}{9}} \\ &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

המקומות הזוגיים: איבר ראשון $a_2=a_1q$ , מנה $q^2$ .

החלוקה של שתי המשוואות היא המהלך המרכזי: היא מעלימה את $a_1$ ומשאירה משוואה ב- $q$ בלבד.

לעשות את הפעילות ב-elev

אילו הסדרה הייתה מתחלפת, עם $-1<q<0$ , איזה סכום היה גדול יותר: של המקומות האי-זוגיים או של הזוגיים?

להציג את התשובה והפתרון

אם $a_1>0$ ו- $q<0$ , כל האיברים במקומות האי-זוגיים חיוביים וכל האיברים במקומות הזוגיים שליליים. לכן סכום המקומות האי-זוגיים גדול יותר, וסכום המקומות הזוגיים שלילי.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — סדרת עזר בתוך כלל נסיגה

פעילות אינטראקטיבית

כלל נסיגה וסדרה הנדסית חבויה

נתונה סדרה: $a_1=4$ ו- $a_{n+1}=\frac{a_n+6}{2}$ . א. הוכיחו שהסדרה $b_n=a_n-6$ הנדסית, ומצאו את מנתה. ב. הביעו את $a_n$ באמצעות $n$ . ג. חשבו את $b_1+b_2+b_3+\ldots$

$a_n=6-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n=4\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n=6+2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n=6-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$

איך מתחילים את ההוכחה?

כותבים את $b_{n+1}$ ומציבים את כלל הנסיגה

להציג את התשובה והפתרון

כך $b_{n+1}$ מתבטא באמצעות $a_n$ , ואפשר להשוות ל- $b_n$ .

מחשבים $b_1, b_2, b_3$ ובודקים שהמנות שוות

להציג את התשובה והפתרון

שלושה איברים מראים, אבל לא מוכיחים. ההוכחה צריכה להיות לכל $n$ .

\begin{aligned}b_{n+1} &= a_{n+1}-6 \\ &= \frac{a_n+6}{2}-6\end{aligned}

מציבים את הכלל

איך מפשטים?

$\frac{a_n+6-12}{2}=\frac{a_n-6}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

מכנה משותף, ו- $a_n-6$ הוא בדיוק $b_n$ .

$\frac{a_n+6}{2}-6=\frac{a_n}{2}-3$ , ולכן המנה $\frac{1}{2}$ ועוד $-3$

להציג את התשובה והפתרון

החשבון נכון, אבל $\frac{a_n}{2}-3=\frac{a_n-6}{2}$ . אין «תוספת».

\begin{aligned}b_{n+1} &= \frac{a_n-6}{2} \\ &= \frac{1}{2}b_n\end{aligned}

מנה קבועה $\frac{1}{2}$ : הסדרה $b_n$ הנדסית

מהו $b_1$ ?

$b_1=a_1-6=-2$

להציג את התשובה והפתרון

מההגדרה של $b_n$ .

$b_1=a_1=4$

להציג את התשובה והפתרון

$b$ היא סדרה אחרת. האיבר הראשון שלה הוא $a_1-6$ .

b_n=-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}

נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית

איך מגיעים ל- $a_n$ ?

$a_n=b_n+6$

להציג את התשובה והפתרון

הופכים את ההגדרה $b_n=a_n-6$ .

$a_n=b_n-6$

להציג את התשובה והפתרון

כך מקבלים $a_1=-8$ ולא $4$ .

a_n=6-2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}

בדיקה: $a_1=6-2=4$ ✓, $a_2=6-1=5=\frac{4+6}{2}$ ✓

סעיף ג: מה הסכום של $b_n$ ?

$\frac{-2}{1-\frac{1}{2}}=-4$

להציג את התשובה והפתרון

$|q|<1$ , ולכן יש סכום.

$\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$

להציג את התשובה והפתרון

זה $a_1$ , לא $b_1$ . ול- $a_n$ עצמה אין סכום: האיברים שלה מתקרבים ל- $6$ .

b_1+b_2+\ldots=-4

סכום של איברים שליליים — שלילי

להציג את התשובה והפתרון

$a_n=6-2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ , והסכום של $b_n$ הוא $-4$ . האפשרות עם $4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ מתעלמת מה- $+6$ בכלל. האפשרות עם $+2$ שוכחת ש- $b_1$ שלילי. האפשרות עם החזקה $n$ נותנת $a_1=5$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

לאיזה מספר מתקרבים האיברים של $a_n$ כש- $n$ גדל? איך רואים את זה ישר מכלל הנסיגה?

להציג את התשובה והפתרון

ל- $6$ : $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ מתקרב ל- $0$ . בכלל עצמו: אם $a_n=6$ , אז $a_{n+1}=\frac{6+6}{2}=6$ . $6$ הוא המספר שהכלל לא מזיז, ולכן בוחרים $b_n=a_n-6$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — סדרה בשני כללים ותת-סדרה

פעילות אינטראקטיבית

נתונה סדרה: $a_1=1$ . כאשר $n$ אי-זוגי, $a_{n+1}=a_n+3$ . כאשר $n$ זוגי, $a_{n+1}=2a_n$ . א. חשבו את ששת האיברים הראשונים. ב. הראו שהסדרה $c_k=a_{2k-1}+6$ הנדסית. ג. חשבו את $a_{15}$ .

a_1=1 ,\qquad a_{n+1}=\begin{cases} a_n+3 & n \ \text{אי-זוגי} \\ 2a_n & n \ \text{זוגי} \end{cases}

לחצו «להתחיל». הכלל תלוי בזוגיות של $n$ , כלומר של המקום שממנו יוצאים.

א.

1 \xrightarrow{+3} 4 \xrightarrow{\times 2} 8 \xrightarrow{+3} 11 \xrightarrow{\times 2} 22 \xrightarrow{+3} 25

מ- $a_1$ יוצאים עם $+3$ כי $n=1$ אי-זוגי.

שני צעדים

\begin{aligned}a_{2k+1} &= 2\left(a_{2k-1}+3\right) \\ &= 2a_{2k-1}+6\end{aligned}

ממקום אי-זוגי למקום האי-זוגי הבא: קודם $+3$ , אחר כך $\times 2$ .

ב.

\begin{aligned}c_{k+1} &= a_{2k+1}+6 \\ &= 2a_{2k-1}+12 \\ &= 2c_k\end{aligned}

מנה קבועה $2$ : $c_k$ הנדסית.

איבר ראשון

\begin{aligned}c_1 &= a_1+6 \\ &= 7 \ \Rightarrow \ c_k \\ &= 7\cdot 2^{k-1}\end{aligned}

בדיקה: $c_2=a_3+6=14$ ✓, $c_3=a_5+6=28$ ✓

ג.

\begin{aligned}15 &= 2k-1 \ \Rightarrow \ k \\ &= 8\end{aligned}

$a_{15}$ הוא האיבר השמיני של תת-הסדרה.

ג. סוף

\begin{aligned}a_{15} &= c_8-6 \\ &= 7\cdot 128-6 \\ &= 890\end{aligned}

חוזרים מ- $c$ ל- $a$ .

שני כללים שמתחלפים הם כלל אחד על כל צעד כפול. זה המהלך של כל סדרה בשני כללים: מסתכלים על תת-סדרה.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו $a_{16}$ באותה סדרה?

להציג את התשובה והפתרון

$15$ אי-זוגי, ולכן $a_{16}=a_{15}+3=893$ . המקום שממנו יוצאים קובע את הכלל, לא המקום שאליו מגיעים.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — סדרה שנבנית מסדרה הנדסית מתחלפת

פעילות אינטראקטיבית

$b_n=a_n+a_{n+1}$ וסכום אינסופי

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית עם $a_1=6$ ו- $q=-\frac{1}{2}$ . נגדיר $b_n=a_n+a_{n+1}$ . א. הראו ש- $b_n$ הנדסית ומצאו את $b_1$ ואת מנתה. ב. חשבו את $b_1+b_2+b_3+\ldots$ ג. מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $|a_n|<0.01$ ?

$2$

$4$

$8$

$6$

מה המנה של $b_n$ ?

$q=-\frac{1}{2}$ , כמו של $a_n$

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{q(a_n+a_{n+1})}{a_n+a_{n+1}}=q$ .

$q^2=\frac{1}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

$q^2$ היא המנה של מכפלה של שני איברים עוקבים, לא של סכום.

\begin{aligned}b_1 &= a_1+a_2 \\ &= 6-3 \\ &= 3 \\ \qquad q_b &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

$q \neq -1$ , ולכן החלוקה מותרת

מה הסכום של $b_n$ ?

$\frac{3}{1+\frac{1}{2}}=2$

להציג את התשובה והפתרון

$1-q=1+\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=6$

להציג את התשובה והפתרון

הסימן של $q$ נשכח.

b_1+b_2+\ldots=2

סעיף ב

איך בודקים את התשובה בדרך אחרת?

$S_a+(S_a-a_1)$

להציג את התשובה והפתרון

$b_1+b_2+\ldots=(a_1+a_2+\ldots)+(a_2+a_3+\ldots)$ .

$2S_a$

להציג את התשובה והפתרון

הסכום השני מתחיל ב- $a_2$ : חסר בו $a_1$ .

\begin{aligned}S_a &= \frac{6}{\frac{3}{2}} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ 4+(4-6) \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

שתי דרכים, אותה תשובה

סעיף ג: איזה אי-שוויון פותרים?

$6\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<0.01$ , כלומר $2^{n-1}>600$

להציג את התשובה והפתרון

הערך המוחלט מוריד את הסימן.

$6\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}<0.01$

להציג את התשובה והפתרון

כל איבר שלילי מקיים את זה, למשל $a_2=-3$ . לכן צריך ערך מוחלט.

\begin{aligned}2^9 &= 512<600 \\ \qquad 2^{10} &= 1024>600\end{aligned}

ניסוי: $n-1=10$ , כלומר $n=11$

להציג את התשובה והפתרון

סכום $b_n$ הוא $2$ , ו- $n=11$ . האפשרות $4$ היא הסכום של $a_n$ , לא של $b_n$ . $6$ מתקבל כששוכחים את הסימן של $q$ . $8$ מתקבל כשמחברים $2S_a$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

בדקו: $|a_{10}|$ ו- $|a_{11}|$ . האם $n=11$ נכון?

להציג את התשובה והפתרון

$|a_{10}|=\frac{6}{2^9}=\frac{6}{512} \approx 0.0117>0.01$ , ו- $|a_{11}|=\frac{6}{1024} \approx 0.0059<0.01$ . כן, $n=11$ .

השאלה התאומה: שאלות 4 ו-5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

(תאומה לשאלה 1) נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. סכום כל האיברים הוא $20$ , וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים הוא $16$ . השלימו.

$q=$ ____ , $a_1=$ ____ , סכום המקומות הזוגיים: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $q=$ 0.25 , $a_1=$ 15 , סכום המקומות הזוגיים: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{a_1}{1-q} &= 20 \\ \quad \frac{a_1}{1-q^2} &= 16\end{aligned}

שתי משוואות

\begin{aligned}1+q &= \frac{20}{16} \\ &= \frac{5}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

מחלקים

\begin{aligned}a_1 &= 20 \cdot \frac{3}{4} \\ &= 15\end{aligned}

20-16=4

המקומות הזוגיים

מי שמחלק בכיוון ההפוך מקבל $1+q=\frac{4}{5}$ , כלומר $q<0$ , בסתירה לנתון שכל האיברים חיוביים. הסתירה היא הבדיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

(תאומה לשאלה 2) נתונה סדרה: $a_1=10$ ו- $a_{n+1}=\frac{a_n+8}{3}$ . נגדיר $b_n=a_n-4$ . השלימו.

$a_2=$ ____ , $b_1=$ ____ , $b_1+b_2+b_3+\ldots=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_2=$ 6 , $b_1=$ 6 , $b_1+b_2+b_3+\ldots=$ 9

הפתרון:

\begin{aligned}a_2 &= \frac{10+8}{3} \\ &= 6\end{aligned}

\begin{aligned}b_{n+1} &= \frac{a_n+8}{3}-4 \\ &= \frac{a_n-4}{3} \\ &= \frac{1}{3}b_n\end{aligned}

$b_n$ הנדסית, $q=\frac{1}{3}$

\begin{aligned}b_1 &= 10-4 \\ &= 6\end{aligned}

\frac{6}{1-\frac{1}{3}}=9

$|q|<1$

$4$ הוא המספר שהכלל לא מזיז: $\frac{4+8}{3}=4$ . מי שמחשב $\frac{a_1}{1-q}$ עם $a_1=10$ סוכם את הסדרה הלא נכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

(תאומה לשאלה 3) נתונה סדרה: $a_1=2$ . כאשר $n$ אי-זוגי, $a_{n+1}=a_n+2$ . כאשר $n$ זוגי, $a_{n+1}=3a_n$ . חשבו את $a_{11}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1212

הפתרון:

2, \ 4, \ 12, \ 14, \ 42

חמשת האיברים הראשונים

\begin{aligned}a_{2k+1} &= 3(a_{2k-1}+2) \\ &= 3a_{2k-1}+6\end{aligned}

שני צעדים

\begin{aligned}c_k &= a_{2k-1}+3 \ \Rightarrow \ c_{k+1} \\ &= 3c_k \\ \ c_1 &= 5\end{aligned}

סדרת עזר הנדסית

\begin{aligned}a_{11} &= c_6-3 \\ &= 5 \cdot 3^5-3 \\ &= 1212\end{aligned}

$11=2 \cdot 6-1$

$a_{11}$ הוא האיבר השישי של תת-הסדרה, לא ה- $11$ . מי שמחשב $5 \cdot 3^{10}$ ספר מקומות של $a$ במקום מקומות של $c$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

(תאומה לשאלה 4) $a_n$ סדרה הנדסית אינסופית עם $a_1=8$ ו- $q=-\frac{1}{3}$ . נגדיר $b_n=a_n+a_{n+1}$ . חשבו את $b_1+b_2+b_3+\ldots$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= 8-\frac{8}{3} \\ &= \frac{16}{3} \\ \quad q_b &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{\frac{16}{3}}{1+\frac{1}{3}} &= \frac{16}{4} \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}S_a &= \frac{8}{\frac{4}{3}} \\ &= 6 \ \Rightarrow \ 6+(6-8) \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה בדרך השנייה ✓

שתי הדרכים חייבות להסכים. מי שמקבל $12=2S_a$ שכח שהסכום השני מתחיל ב- $a_2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

(תאומה לשאלה 4) $a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=8$ ו- $q=-\frac{1}{3}$ . מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $|a_n|<0.01$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

8\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n-1}<0.01 \ \Rightarrow \ 3^{n-1}>800

ערך מוחלט, ואז הופכים

\begin{aligned}3^6 &= 729 \\ \quad 3^7 &= 2187\end{aligned}

ניסוי

\begin{aligned}n-1 &= 7 \ \Rightarrow \ n \\ &= 8\end{aligned}

החזקה היא $n-1$ , לא $n$ . מי שפותר $3^n>800$ עונה $7$ , ואז $|a_7|=\frac{8}{729} \approx 0.011$ , עדיין גדול מ- $0.01$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — סכום המקומות האי-זוגיים וסכום המקומות הזוגיים

2 — סדרת עזר בתוך כלל נסיגה

3 — סדרה בשני כללים ותת-סדרה

4 — סדרה שנבנית מסדרה הנדסית מתחלפת

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev