סכום אינסופי

חוצים דף: חצי, ואז חצי ממה שנשאר, ואז שוב חצי... כמה נייר לקחנו? הציור מראה את הסכומים החלקיים של $4+2+1+\frac{1}{2}+\ldots$ : הסכום של איבר אחד, של שניים, של שלושה. הסתכלו לאן הנקודות הולכות.

הסכומים החלקיים S₁ עד S₈

S_1=4

S_2=6

S_3=7

S_4=7.5

... כל נקודה סוגרת חצי מהמרחק שנשאר עד הקו

8

. הנקודות מתקרבות לקו ואף פעם לא מגיעות אליו.

כמה חסר ל- $S_5$ כדי להגיע ל- $8$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$S_5=7.75$ , ולכן חסר $0.25$ . זה בדיוק $a_5=4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4=0.25$ : מה שחסר תמיד שווה לאיבר האחרון שחיברנו.

סכום חלקי

S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1} \qquad q \neq 1

S=\frac{a_1}{1-q} \qquad |q|<1

כש- $|q|<1$ החזקה $q^n$ הולכת ומתקרבת ל- $0$ , ובנוסחת הסכום החלקי נשאר $\frac{a_1(0-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}$ . זה הגבול שהסכומים החלקיים מתקרבים אליו. כש- $|q| \geq 1$ אין גבול, ולכן אין סכום.

q=\frac{1}{2}

מתכנס: האיברים קטנים ונשארים חיוביים

q=-\frac{1}{2}

מתכנס: הסכומים קופצים מעל הגבול ומתחתיו ומתקרבים

q=-1

לא מתכנס: $1, 0, 1, 0, \ldots$

q=\frac{3}{2}

לא מתכנס: האיברים גדלים

מהו הסכום $9-3+1-\frac{1}{3}+\ldots$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$a_1=9$ , $q=-\frac{1}{3}$ , ו- $|q|<1$ . $S=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{27}{4}=6.75$ . מינוס כפול מינוס: $1-q=1+\frac{1}{3}$ .

שבר עשרוני מחזורי

$0.\overline{36}$ כשבר פשוט

כתבו את $0.363636\ldots$ כשבר מצומצם.

0.\overline{36}=0.36+0.0036+0.000036+\ldots

כל מחזור הוא איבר

\begin{aligned}a_1 &= 0.36 \\ \quad q &= 0.01\end{aligned}

סדרה הנדסית אינסופית

\begin{aligned}S &= \frac{0.36}{1-0.01} \\ &= \frac{36}{99}\end{aligned}

=\frac{4}{11}

מצמצמים ב- $9$

משוואה מעריכית — בניסוי וטעייה

כששואלים «מהו $n$ הקטן ביותר ש...», מגיעים לאי-שוויון עם חזקה, כמו $2^n>80$ . בפרק הזה פותרים אותו בלי לוגריתמים: מציבים חזקות עוקבות עד שעוברים את הגבול, ובודקים את $n$ שלפניו.

מתי הסכום עובר את 7.9?

בסדרה $4+2+1+\ldots$ : מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $S_n>7.9$ ?

S_n=8\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right)

סכום חלקי עם $a_1=4$ , $q=\frac{1}{2}$

8-8\left(\tfrac{1}{2}\right)^n>7.9 \ \Rightarrow \ \left(\tfrac{1}{2}\right)^n<\frac{1}{80}

מבודדים את החזקה

2^n>80

הופכים: כיוון האי-שוויון מתהפך

\begin{aligned}2^6 &= 64<80 \\ \quad 2^7 &= 128>80\end{aligned}

ניסוי: $n=7$

\begin{aligned}S_6 &= 7.875 \\ \quad S_7 &= 7.9375\end{aligned}

בדיקה בשני הצדדים ✓

שלוש הטעויות של הסכום האינסופי.

\begin{aligned}a_1 &= 3 \\ \ q &= 2: \ S \\ &= \frac{3}{1-2} \\ &= -3\end{aligned}

|q|>1: \ \text{מתבדר}

סכום של מספרים חיוביים שיוצא שלילי הוא סימן שהתנאי $|q|<1$ הופר. אין סכום.

\begin{aligned}q &= -\tfrac{1}{2}: \ S \\ &= \frac{a_1}{1-\frac{1}{2}}\end{aligned}

S=\frac{a_1}{1+\frac{1}{2}}

מציבים את $q$ עם הסימן: $1-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$ .

0.\overline{3}=\frac{3}{10}

\begin{aligned}0.\overline{3} &= \frac{0.3}{0.9} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

$\frac{3}{10}$ הוא רק האיבר הראשון. המחזור נמשך בלי סוף.

לפני הנוסחה $\frac{a_1}{1-q}$ : בדקו ש- $|q|<1$ . ובכל אי-שוויון עם חזקה של שבר: כשהופכים את שני האגפים, כיוון האי-שוויון מתהפך.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את הסכום האינסופי $20-10+5-\frac{5}{2}+\ldots$ עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.33

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 20 \\ \quad q &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

$|q|<1$ : יש סכום

\begin{aligned}S &= \frac{20}{1+\frac{1}{2}} \\ &= \frac{40}{3}\end{aligned}

\approx 13.33

מי שמציב $1-\frac{1}{2}$ שכח את הסימן של $q$ ומקבל $40$ . סכום של סדרה מתחלפת קטן מ- $a_1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לאיזו מנה $q$ יש לסדרה הנדסית אינסופית סכום סופי (כאשר $a_1 \neq 0$ )?

$q=-1$
$q=1$
$q=-0.9$
$q=1.2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $q=-0.9$

הפתרון:

|-0.9|=0.9<1

התנאי מתקיים

\begin{aligned}q &= -1: \ a_1 \\ -a_1 \\ a_1 \\ \ldots\end{aligned}

הסכומים קופצים $a_1, 0, a_1, 0$

הנכונה: $q=-0.9$ . התנאי הוא על הערך המוחלט, ולכן מנה שלילית קרובה ל- $-1$ עדיין מתכנסת. $q=-1$ ו- $q=1$ נמצאים בדיוק על הגבול, ושם אין סכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא $40$ , והאיבר הראשון שלה הוא $10$ . מצאו את המנה $q$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

\frac{10}{1-q}=40

נוסחת הסכום

\begin{aligned}1-q &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= 0.75\end{aligned}

|0.75|<1

בדיקה: התנאי מתקיים ✓

מי שכותב $1-q=4$ הפך את השבר בצד הלא נכון, ומקבל $q=-3$ , מנה שאין לה סכום בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כתבו את $0.\overline{27}=0.272727\ldots$ כשבר מצומצם $\frac{a}{b}$ .

מונה: ____ , מכנה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מונה: 3 , מכנה: 11

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 0.27 \\ \quad q &= 0.01\end{aligned}

כל מחזור הוא איבר

\begin{aligned}S &= \frac{0.27}{0.99} \\ &= \frac{27}{99}\end{aligned}

=\frac{3}{11}

מצמצמים ב- $9$

$0.27$ הוא רק האיבר הראשון. מי שעוצר ב- $\frac{27}{100}$ שכח את אינסוף המחזורים שאחריו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בחישוב הסכום $6-2+\frac{2}{3}-\ldots$ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

q=-\frac{1}{3}

S=\frac{6}{1-\frac{1}{3}}

S=9

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S=\frac{6}{1-\frac{1}{3}}$ → $S=\frac{6}{1+\frac{1}{3}}=4.5$

הפתרון:

\begin{aligned}q &= \frac{-2}{6} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

השורה הראשונה נכונה

\begin{aligned}1-q &= 1-\left(-\frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

כאן הטעות

\begin{aligned}S &= \frac{6}{\frac{4}{3}} \\ &= 4.5\end{aligned}

השורה השנייה הציבה $q$ בלי הסימן. סימן לטעות: סכום של סדרה מתחלפת שיוצא גדול מ- $a_1=6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בסדרה הנדסית $a_1=3$ ו- $q=2$ . חשבו את סכום שמונת האיברים הראשונים, $S_8$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 765

הפתרון:

S_8=\frac{3(2^8-1)}{2-1}

סכום חלקי

=3 \cdot 255=765

כאן $q=2$ , ולכן אין סכום אינסופי, אבל לסכום חלקי אין שום תנאי. מי שכותב $2^8=256$ ושוכח את ה- $-1$ מקבל $768$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בסדרה $1+2+4+8+\ldots$ : מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $S_n>1000$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

S_n=2^n-1

$a_1=1$ , $q=2$

2^n-1>1000 \ \Rightarrow \ 2^n>1001

\begin{aligned}2^9 &= 512 \\ \quad 2^{10} &= 1024\end{aligned}

ניסוי וטעייה

\begin{aligned}S_9 &= 511 \\ \quad S_{10} &= 1023\end{aligned}

בדיקה ✓

בודקים את שני הצדדים של הגבול: $n=9$ לא מספיק, $n=10$ כן. מי שפותר $2^n>1000$ ושוכח את ה- $-1$ מגיע כאן לאותה תשובה, אבל לא תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא $16$ , והאיבר השני שלה הוא $a_2=4$ . מצאו את $a_1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 16(1-q) \\ \quad a_1 q &= 4\end{aligned}

שתי משוואות

\begin{aligned}16q(1-q) &= 4 \ \Rightarrow \ 4q^2-4q+1 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}(2q-1)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

פתרון יחיד

\begin{aligned}a_1 &= \frac{4}{q} \\ &= 8\end{aligned}

בדיקה: $\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=16$ ✓

שני נעלמים, שתי משוואות. מי שמציב $a_2=4$ במקום $a_1$ בנוסחת הסכום מקבל $q=\frac{3}{4}$ , ומחשב סדרה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: $0.\overline{9}=0.999\ldots=1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0.\overline{9}=0.9+0.09+0.009+\ldots

$a_1=0.9$ , $q=0.1$

\begin{aligned}S &= \frac{0.9}{1-0.1} \\ &= \frac{0.9}{0.9} \\ &= 1\end{aligned}

הטענה נכונה. $0.999\ldots$ אינו «קצת פחות מ- $1$ »: הסכום האינסופי הוא הגבול, והגבול הוא בדיוק $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הסדרה $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots$ מתכנסת לסכום $S$ . מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $S-S_n<0.01$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \frac{1}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

הסכום האינסופי

S-S_n=\frac{3}{2}\left(\tfrac{1}{3}\right)^n

מה שחסר

\frac{3}{2}\left(\tfrac{1}{3}\right)^n<\frac{1}{100} \ \Rightarrow \ 3^n>150

הכיוון מתהפך

\begin{aligned}3^4 &= 81 \\ \quad 3^5 &= 243\end{aligned}

ניסוי: $n=5$

כשהופכים $\left(\frac{1}{3}\right)^n<\frac{1}{150}$ ל- $3^n>150$ , כיוון האי-שוויון מתהפך. מי ששוכח את ה- $\frac{3}{2}$ פותר $3^n>100$ ומקבל אותו $n$ במקרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סכום חלקי