תת-סדרות וצירופים · כלל נסיגה · כיתה י״א

בבגרות כמעט אף פעם לא נשארים עם סדרה אחת. לוקחים רק את המקומות הזוגיים, מחברים שני איברים עוקבים, הופכים כל איבר, ושואלים: האם הסדרה החדשה הנדסית? ומה המנה שלה? הסתכלו על הסדרה בציור.

סדרה הנדסית עם מנה

2

. אם לוקחים רק את המקומות הזוגיים,

6, 24, 96

, כל קפיצה עוברת שני צעדים:

\times 2 \times 2

. המנה של תת-הסדרה היא

2^2=4

מהי המנה של תת-הסדרה של המקומות האי-זוגיים, $3, 12, 48, \ldots$ ? ומהו האיבר הראשון שלה?

להציג את התשובה והפתרון

שוב $4$ : גם כאן כל קפיצה עוברת שני צעדים. האיבר הראשון הוא $a_1=3$ . תת-הסדרה של המקומות הזוגיים מתחילה ב- $a_2=6$ , עם אותה מנה.

תת-סדרה: כל איבר שני, כל איבר שלישי

a_1, a_3, a_5, \ldots

איבר ראשון $a_1$ , מנה $q^2$

a_2, a_4, a_6, \ldots

איבר ראשון $a_2=a_1q$ , מנה $q^2$

a_1, a_4, a_7, \ldots

כל איבר שלישי: מנה $q^3$

\begin{aligned}b_k &= a_{2k} \\ &= a_1 q^{2k-1} \\ &= (a_1q) \cdot (q^2)^{k-1}\end{aligned}

סדרות שבונים מסדרה הנדסית

אם $a_n$ הנדסית עם מנה $q$ , בודקים כל סדרה חדשה באותה דרך: מחשבים $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ באופן כללי. אם יוצא מספר קבוע, הסדרה הנדסית.

b_n=k \cdot a_n

מנה $q$

b_n=\frac{1}{a_n}

מנה $\frac{1}{q}$

b_n=a_n^2

מנה $q^2$

b_n=a_n \cdot a_{n+1}

מנה $q^2$

b_n=a_n+a_{n+1}

מנה $q$ , כאשר $q \neq -1$

הוכחה: $b_n=a_n+a_{n+1}$ הנדסית

$a_n$ הנדסית עם מנה $q \neq -1$ . הוכיחו ש- $b_n=a_n+a_{n+1}$ הנדסית.

\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_{n+1}+a_{n+2}}{a_n+a_{n+1}}

המנה של שני איברים עוקבים

=\frac{q a_n+q a_{n+1}}{a_n+a_{n+1}}

כל איבר הוא $q$ כפול קודמו

=\frac{q(a_n+a_{n+1})}{a_n+a_{n+1}}=q

מוציאים $q$ ומצמצמים

\begin{aligned}b_1 &= a_1+a_2 \\ &= a_1(1+q)\end{aligned}

האיבר הראשון של הסדרה החדשה

למה בהוכחה צריך את התנאי $q \neq -1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כש- $q=-1$ כל שני איברים עוקבים מבטלים זה את זה: $a_n+a_{n+1}=0$ . אי אפשר לצמצם ב- $0$ , ו- $0, 0, 0, \ldots$ אינה נחשבת סדרה הנדסית.

שתי סדרות יחד

מכפלה של שתי סדרות הנדסיות היא הנדסית, והמנה שלה היא מכפלת המנות. סכום של שתי סדרות הנדסיות עם מנות שונות אינו הנדסי: $2^n+3^n$ נותן $5, 13, 35$ , ו- $\frac{13}{5} \neq \frac{35}{13}$ . לסכום של הסדרה המצורפת מחברים את שני הסכומים.

$a_n$ הנדסית עם מנה $2$ , ו- $b_n$ הנדסית עם מנה $-3$ . מהי המנה של $c_n=a_n \cdot b_n$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot \frac{b_{n+1}}{b_n}=2 \cdot (-3)=-6$ . הסדרה $c_n$ הנדסית ומתחלפת.

סכום של תת-סדרה

חמשת האיברים הראשונים במקומות הזוגיים

$a_n=3 \cdot 2^{n-1}$ . חשבו את $a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}$ .

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ &= 6 \\ \quad q_b &= 2^2 \\ &= 4\end{aligned}

תת-הסדרה של המקומות הזוגיים

S_5=\frac{6(4^5-1)}{4-1}

סכום חלקי עם המנה החדשה

=2 \cdot 1023=2046

בדיקה: $6+24+96+384+1536=2046$ ✓

שלוש הטעויות של תת-סדרות וצירופים.

\begin{aligned}a_2 \\ a_4 \\ a_6: \ q_b &= q\end{aligned}

q_b=q^2

בין $a_2$ ל- $a_4$ יש שני צעדים, ולכן כופלים ב- $q$ פעמיים.

\begin{aligned}a_2 \\ a_4 \\ a_6: \ b_1 &= a_1\end{aligned}

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ &= a_1q\end{aligned}

תת-הסדרה מתחילה באיבר הראשון שלה, $a_2$ .

a_n+b_n \ \text{הנדסית}

a_n \cdot b_n \ \text{הנדסית}

סכום של שתי סדרות הנדסיות עם מנות שונות אינו הנדסי. מכפלה — כן.

בכל סדרה חדשה שואלים שלוש שאלות, באותו סדר: מהו האיבר הראשון שלה? מה המנה שלה? כמה איברים יש בה? רק אחר כך מציבים בנוסחת הסכום.

תרגילים

תרגיל 1

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=5$ ו- $q=3$ . מהי המנה של תת-הסדרה $a_2, a_4, a_6, \ldots$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

a_4=a_2 \cdot q^2

שני צעדים בין איבר לאיבר

q^2=9

המנה היא $q^2=9$ . מי שעונה $6$ חשב $2q$ : מכפילים פעמיים, לא מחברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=5$ ו- $q=3$ . מהו האיבר הראשון של תת-הסדרה $a_2, a_4, a_6, \ldots$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ &= a_1 q\end{aligned}

תת-הסדרה מתחילה ב- $a_2$

=5 \cdot 3=15

מי שעונה $5$ התחיל את תת-הסדרה ב- $a_1$ . אבל $a_1$ נמצא במקום אי-זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$a_n$ סדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים, עם מנה $q=\frac{1}{2}$ . מהי המנה של $b_n=\frac{1}{a_n}$ ?

$\frac{1}{2}$
$2$
$\frac{1}{4}$
$-2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $2$

הפתרון:

\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_n}{a_{n+1}}

השבר מתהפך

=\frac{1}{q}=2

הנכונה: $2$ . $a_n$ יורדת, ולכן ההופכיים עולים. $-2$ מבלבל בין הופכי לנגדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: אם $a_n$ סדרה הנדסית עם מנה $q$ , אז $b_n=a_n^2$ סדרה הנדסית עם מנה $q^2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1}^2}{a_n^2} \\ &= \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2\end{aligned}

חזקה של מנה

=q^2

מספר קבוע

הטענה נכונה. שימו לב: גם כש- $q$ שלילי, $q^2$ חיובי, ולכן $a_n^2$ אינה מתחלפת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$a_n=2^{n-1}$ ו- $b_n=2n-1$ . נגדיר $c_n=a_n+b_n$ . חשבו את $c_1+c_2+\ldots+c_{10}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1123

הפתרון:

\sum c_n=\sum a_n+\sum b_n

מפרקים לשני סכומים

\begin{aligned}a_1+\ldots+a_{10} &= \frac{2^{10}-1}{2-1} \\ &= 1023\end{aligned}

הנדסית: $a_1=1$ , $q=2$

\begin{aligned}b_1+\ldots+b_{10} &= 1+3+\ldots+19 \\ &= 100\end{aligned}

עשרת המספרים האי-זוגיים הראשונים

1023+100=1123

$c_n$ עצמה אינה הנדסית ואינה חשבונית, ולכן אין לה נוסחת סכום. אבל סכום של סכום מתפרק לשני חלקים שלכל אחד מהם יש נוסחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$a_n$ הנדסית עם מנה $2$ , ו- $b_n$ הנדסית עם מנה $5$ . איזו מהסדרות הבאות הנדסית בוודאות?

$a_n+b_n$
$a_n+2$
$a_n \cdot b_n$
$a_n-b_n$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $a_n \cdot b_n$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_n b_n} &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

מנה קבועה

\begin{aligned}a_n &= 2^{n-1} \\ \ b_n &= 5^{n-1}: \ a_n+b_n \\ &= 2 \\ 7 \\ 29\end{aligned}

$\frac{7}{2} \neq \frac{29}{7}$

הנכונה: $a_n \cdot b_n$ , עם מנה $10$ . בסכום ובהפרש המנות לא מתפרקות. $a_n+2$ «מקלקלת» את המנה הקבועה, כמו בכלל $2a_n+2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=2$ ו- $q=3$ . נגדיר $b_n=a_n+a_{n+1}$ . חשבו את $b_4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 216

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= a_1+a_2 \\ &= 2+6 \\ &= 8\end{aligned}

האיבר הראשון

\begin{aligned}q_b &= q \\ &= 3\end{aligned}

לפי ההוכחה בשיעור

\begin{aligned}b_4 &= 8 \cdot 3^3 \\ &= 216\end{aligned}

\begin{aligned}a_4+a_5 &= 54+162 \\ &= 216\end{aligned}

בדיקה ישירה ✓

שתי דרכים, אותה תשובה. $b_4=a_4+a_5$ : המקום $4$ והמקום שאחריו. מי שמחבר $a_3+a_4$ מקבל $72$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$a_n=2^{n-1}$ . חשבו את סכום ששת האיברים הראשונים במקומות האי-זוגיים: $a_1+a_3+\ldots+a_{11}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1365

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= a_1 \\ &= 1 \\ \quad q_b &= 4\end{aligned}

המקומות האי-זוגיים

\begin{aligned}S_6 &= \frac{4^6-1}{4-1} \\ &= \frac{4095}{3}\end{aligned}

שישה איברים

=1365

מ- $a_1$ עד $a_{11}$ יש שישה מקומות אי-זוגיים, לא אחד-עשר. ומי שמציב $q=2$ בנוסחה סוכם את כל האיברים, גם את הזוגיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$a_n$ סדרה הנדסית עם מנה $3$ ואיברים חיוביים. מיינו את הסדרות שנבנות ממנה.

הנדסית
לא הנדסית

$\frac{1}{a_n}$
$5a_n$
$a_{3n}$
$a_n^3$
$a_n+1$
$a_n+n$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $5a_n$ — הנדסית · $a_n^3$ — הנדסית · $a_{3n}$ — הנדסית · $\frac{1}{a_n}$ — הנדסית · $a_n+1$ — לא הנדסית · $a_n+n$ — לא הנדסית

הפתרון:

a_{3n}: \ q^3=27

כל איבר שלישי

\begin{aligned}a_n &= 3^{n-1}: \ a_n+1 \\ &= 2 \\ 4 \\ 10\end{aligned}

$\frac{4}{2} \neq \frac{10}{4}$

\begin{aligned}a_n+n &= 2 \\ 5 \\ 12\end{aligned}

$\frac{5}{2} \neq \frac{12}{5}$

כפל, חזקה, הופכי ותת-סדרה שומרים על מנה קבועה. הוספה של מספר, קבוע או משתנה, הורסת אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$a_n$ סדרה הנדסית עם $a_1=3$ ו- $q=2$ . נגדיר $c_n=a_n \cdot a_{n+1}$ . השלימו.

$c_1=$ ____ , המנה של $c_n$ : ____ , $c_3=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $c_1=$ 18 , המנה של $c_n$ : 4 , $c_3=$ 288

הפתרון:

\begin{aligned}c_1 &= a_1 a_2 \\ &= 3 \cdot 6 \\ &= 18\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_{n+1}a_{n+2}}{a_n a_{n+1}} \\ &= q^2 \\ &= 4\end{aligned}

$a_{n+1}$ מצטמצם

\begin{aligned}c_3 &= 18 \cdot 4^2 \\ &= 288\end{aligned}

\begin{aligned}a_3 a_4 &= 12 \cdot 24 \\ &= 288\end{aligned}

בדיקה ✓

בכל צעד שני הגורמים מוכפלים ב- $q$ , ולכן המנה היא $q^2$ . מי שעונה $2$ הכפיל רק גורם אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תת-סדרה: כל איבר שני, כל איבר שלישי

סדרות שבונים מסדרה הנדסית

שתי סדרות יחד

סכום של תת-סדרה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev