כלל נסיגה · כלל נסיגה · כיתה י״א

לפעמים לא נותנים נוסחה לפי המקום, אלא איך עוברים מאיבר לאיבר הבא. הכלל בציור: כל איבר הוא פעמיים הקודם ועוד $1$ . הסתכלו על הקפיצות: הן לא קבועות, אבל יש בהן סדר.

a_1=2

והכלל

a_{n+1}=2a_n+1

. הקפיצות

+3, +6, +12, +24

אינן קבועות, ולכן זו לא סדרה חשבונית. אבל כל קפיצה כפולה מקודמתה: שם מסתתרת סדרה הנדסית.

חשבו את $a_6$ בסדרה שבציור.

להציג את התשובה והפתרון

$a_6=2 \cdot 47+1=95$ . הקפיצה האחרונה היא $+48$ , כפולה מ- $+24$ . כדי להגיע ל- $a_6$ חייבים לעבור דרך $a_5$ : זה ההבדל מנוסחה לפי המקום.

כלל נסיגה: איבר ראשון וכלל

\begin{aligned}a_1 &= 2 \\ \qquad a_{n+1} &= 2a_n+1\end{aligned}

כלל נסיגה קובע איך מחשבים איבר מהאיבר שלפניו. בלי איבר ראשון אין סדרה: אותו כלל עם $a_1=0$ נותן $0, 1, 3, 7, \ldots$ , סדרה אחרת לגמרי.

סדרה חשבונית והנדסית בתחפושת

a_{n+1}=a_n+d

מוסיפים מספר קבוע: סדרה חשבונית, $a_n=a_1+(n-1)d$

a_{n+1}=q \cdot a_n

כופלים במספר קבוע: סדרה הנדסית, $a_n=a_1 q^{n-1}$

a_{n+1}-a_n=-3

אותו דבר בכתיבה אחרת: חשבונית עם $d=-3$

\frac{a_{n+1}}{a_n}=-\frac{1}{2}

הנדסית עם $q=-\frac{1}{2}$

רק בשתי המשפחות האלה עוברים מכלל נסיגה לנוסחה לפי המקום. בכל כלל אחר מחשבים איבר אחרי איבר, או מחפשים סדרה עזר שהיא הנדסית.

הסדרה ההנדסית שמסתתרת בציור

$a_1=2$ , $a_{n+1}=2a_n+1$ . מגדירים $b_n=a_n+1$ . הוכיחו ש- $b_n$ הנדסית ומצאו נוסחה ל- $a_n$ .

\begin{aligned}b_{n+1} &= a_{n+1}+1 \\ &= 2a_n+1+1\end{aligned}

מציבים את כלל הנסיגה

=2(a_n+1)=2b_n

מוציאים $2$ כגורם משותף

\begin{aligned}b_1 &= a_1+1 \\ &= 3 \\ \quad q &= 2\end{aligned}

כל איבר של $b$ כפול מקודמו: הנדסית

\begin{aligned}b_n &= 3 \cdot 2^{n-1} \ \Rightarrow \ a_n \\ &= 3 \cdot 2^{n-1}-1\end{aligned}

חוזרים ל- $a_n$

\begin{aligned}a_5 &= 3 \cdot 16-1 \\ &= 47\end{aligned}

בדיקה מול הציור ✓

בסדרה $a_1=5$ , $a_{n+1}=a_n-3$ : איזו סדרה זו, ומהו $a_{20}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

מוסיפים מספר קבוע, $-3$ : סדרה חשבונית עם $d=-3$ . $a_{20}=5+19 \cdot (-3)=-52$ . תשע-עשרה קפיצות, לא עשרים.

סדרה מחזורית

נתונה $a_1=2$ והכלל $a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}$ . מחשבים: $a_2=\frac{1}{1-2}=-1$ , $a_3=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$ , $a_4=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ . האיבר הראשון חזר, ולכן מכאן הכול חוזר: $2, -1, \frac{1}{2}, 2, -1, \frac{1}{2}, \ldots$ המחזור הוא $3$ .

\begin{aligned}100 &= 3 \cdot 33+1 \ \Rightarrow \ a_{100} \\ &= a_1 \\ &= 2\end{aligned}

באותה סדרה, מהו $a_{50}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$50=3 \cdot 16+2$ : השארית $2$ , ולכן $a_{50}=a_2=-1$ . השארית בחלוקה במחזור אומרת באיזה מקום בתוך המחזור אנחנו.

כלל שנשען על שני איברים

בכלל כמו $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ כל איבר נבנה משני קודמיו, ולכן צריך שני איברים ראשונים. עם $a_1=a_2=1$ מתקבלת הסדרה $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$

שלוש הטעויות של כלל הנסיגה.

a_{n+1}=a_n+2n \ \Rightarrow \ \text{חשבונית}

a_{n+1}-a_n=2n

ההפרש חייב להיות מספר קבוע. כאן הוא משתנה עם $n$ : $1, 3, 7, 13$ — קפיצות $+2, +4, +6$ .

\begin{aligned}a_{n+1} &= 3a_n \\ \ a_1 &= 2 \ \Rightarrow \ a_n \\ &= 2 \cdot 3^n\end{aligned}

a_n=2 \cdot 3^{n-1}

בודקים ב- $n=1$ : הנוסחה חייבת לתת $a_1=2$ , ו- $2 \cdot 3^1=6$ .

a_{50}=a_{50-3}

\begin{aligned}50 &= 3 \cdot 16+2 \ \Rightarrow \ a_{50} \\ &= a_2\end{aligned}

במחזור של $3$ מורידים כמה מחזורים שצריך. הקיצור הוא השארית בחלוקה ב- $3$ .

לפני כל חישוב שאלו: הכלל מוסיף מספר קבוע או כופל במספר קבוע? אם כן, יש נוסחה. אם לא, מחשבים כמה איברים ומחפשים מחזור או סדרת עזר.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה סדרה: $a_1=3$ ו- $a_{n+1}=a_n^2-5$ . חשבו את $a_4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 116

הפתרון:

\begin{aligned}a_2 &= 9-5 \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}a_3 &= 16-5 \\ &= 11\end{aligned}

\begin{aligned}a_4 &= 121-5 \\ &= 116\end{aligned}

איבר אחרי איבר. מי שכותב $a_2=3^2-5 \cdot 2$ טעה: ה- $5$ לא מוכפל במקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזה כלל נסיגה מגדיר סדרה הנדסית (לכל $a_1 \neq 0$ )?

$a_{n+1}=a_n-2$
$a_{n+1}=-2a_n$
$a_{n+1}=a_n^2$
$a_{n+1}=2a_n+2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $a_{n+1}=-2a_n$

הפתרון:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=-2

מנה קבועה

a_{n+1}=a_n-2

הפרש קבוע: חשבונית

a_{n+1}=2a_n+2

$1, 4, 10, 22$ : המנות $4$ , $2.5$ — לא קבועות

הנכונה: $a_{n+1}=-2a_n$ . מנה שלילית היא מנה חוקית: הסדרה מתחלפת בסימן. $2a_n+2$ נראה הנדסי, אבל התוספת $+2$ הורסת את המנה הקבועה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה סדרה: $a_1=7$ ו- $a_{n+1}=a_n+4$ . חשבו את $a_{30}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 123

הפתרון:

d=4

מוסיפים מספר קבוע: חשבונית

a_{30}=7+29 \cdot 4

$29$ קפיצות

=123

כאן אין צורך לחשב 30 איברים: הסדרה חשבונית. מי שכותב $30 \cdot 4$ מקבל $127$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה סדרה: $a_1=64$ ו- $a_{n+1}=-\frac{a_n}{2}$ . חשבו את $a_7$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

q=-\frac{1}{2}

כופלים במספר קבוע: הנדסית

a_7=64 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^6

שש קפיצות

=\frac{64}{64}=1

חזקה זוגית: הסימן חיובי

$a_7$ חיובי, כי במקומות האי-זוגיים הסימן של $a_1$ חוזר. מי שכותב $-1$ ספר שבע קפיצות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה סדרה המקיימת $a_{n+1}=3a_n-4$ , וידוע ש- $a_3=11$ . מצאו את $a_1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

a_n=\frac{a_{n+1}+4}{3}

הופכים את הכלל: הולכים אחורה

\begin{aligned}a_2 &= \frac{11+4}{3} \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}a_1 &= \frac{5+4}{3} \\ &= 3\end{aligned}

3 \to 5 \to 11

בדיקה קדימה ✓

הולכים אחורה בפעולה ההפוכה: קודם מוסיפים $4$ ורק אחר כך מחלקים ב- $3$ . מי שמחלק קודם מקבל $a_2=\frac{11}{3}+4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה סדרה: $a_1=3$ ו- $a_{n+1}=1-\frac{1}{a_n}$ . חשבו את $a_{100}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}a_2 &= 1-\frac{1}{3} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}a_3 &= 1-\frac{3}{2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}a_4 &= 1+2 \\ &= 3 \\ &= a_1\end{aligned}

מחזור של $3$

\begin{aligned}100 &= 3 \cdot 33+1 \ \Rightarrow \ a_{100} \\ &= a_1 \\ &= 3\end{aligned}

שארית $1$

ברגע ש- $a_1$ חוזר, הסדרה מחזורית. השארית בחלוקה ב- $3$ היא $1$ , ולכן $a_{100}=a_1$ . מי שמחלק $100$ ב- $3$ ומעגל לא נעזר בשארית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: הסדרה $a_1=1$ , $a_{n+1}=a_n+2n$ היא סדרה חשבונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}a_2 &= 3 \\ \ a_3 &= 7 \\ \ a_4 &= 13\end{aligned}

שלושה איברים

\begin{aligned}a_2-a_1 &= 2 \\ \quad a_3-a_2 &= 4\end{aligned}

ההפרשים שונים

הטענה אינה נכונה. מה שמוסיפים הוא $2n$ , והוא משתנה עם $n$ . בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד אותו מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה סדרה: $a_1=1$ ו- $a_{n+1}=3a_n+2$ . מגדירים $b_n=a_n+1$ . השלימו.

$b_n$ הנדסית עם מנה ____ , $b_4=$ ____ , $a_4=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $b_n$ הנדסית עם מנה 3 , $b_4=$ 54 , $a_4=$ 53

הפתרון:

\begin{aligned}b_{n+1} &= 3a_n+2+1 \\ &= 3(a_n+1) \\ &= 3b_n\end{aligned}

מציבים את הכלל

\begin{aligned}b_1 &= 2 \ \Rightarrow \ b_4 \\ &= 2 \cdot 3^3 \\ &= 54\end{aligned}

נוסחת האיבר הכללי

\begin{aligned}a_4 &= 54-1 \\ &= 53\end{aligned}

חוזרים ל- $a$

1 \to 5 \to 17 \to 53

בדיקה בכלל עצמו ✓

הטריק: $+2+1=3 \cdot 1$ , ולכן אפשר להוציא $3$ כגורם משותף. בסוף לא לשכוח לחזור מ- $b_4$ ל- $a_4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה סדרה: $a_1=1$ , $a_2=3$ ו- $a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$ . חשבו את $a_6$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 43

הפתרון:

\begin{aligned}a_3 &= 3+2 \cdot 1 \\ &= 5\end{aligned}

$n=1$

\begin{aligned}a_4 &= 5+2 \cdot 3 \\ &= 11\end{aligned}

\begin{aligned}a_5 &= 11+2 \cdot 5 \\ &= 21\end{aligned}

\begin{aligned}a_6 &= 21+2 \cdot 11 \\ &= 43\end{aligned}

$2a_n$ מכפיל את האיבר הרחוק מבין השניים. מי שמכפיל את הקרוב, $a_{n+1}$ , מקבל $a_3=7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה סדרה: $a_1=3$ ו- $a_{n+1}=1-\frac{1}{a_n}$ . חשבו את $a_1+a_2+\ldots+a_{30}$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31.67

הפתרון:

3, \ \frac{2}{3}, \ -\frac{1}{2}, \ 3, \ \ldots

מחזור של $3$

3+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{19}{6}

סכום מחזור אחד

10 \cdot \frac{19}{6}=\frac{95}{3} \approx 31.67

$30$ איברים הם $10$ מחזורים שלמים

סוכמים מחזור ומכפילים במספר המחזורים. אם $30$ לא היה מתחלק ב- $3$ , היה צריך להוסיף את האיברים שנשארו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

כלל נסיגה: איבר ראשון וכלל

סדרה חשבונית והנדסית בתחפושת

סדרה מחזורית

כלל שנשען על שני איברים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev