האיבר הכללי · כלל נסיגה · כיתה י״א

סדרה היא רשימה ממוספרת: לכל מקום $n=1,2,3,\ldots$ יש איבר $a_n$ . בציור שלפניכם כל נקודה היא איבר של הסדרה $a_n=\frac{(-1)^n \cdot 8}{n}$ . הסתכלו על הנקודות לפני כל כלל.

שמונת האיברים הראשונים

הנקודות אינן מחוברות בקו: לסדרה יש איבר רק במקומות השלמים

n=1,2,3,\ldots

. הסימן מתחלף בכל צעד, והמרחק מ-

0

הולך וקטן.

לפי הציור: האם הסדרה עולה? האם היא יורדת?

להציג את התשובה והפתרון

אף אחד מהשניים. האיברים מתחלפים בסימן: $-8$ , $4$ , $-\frac{8}{3}$ , $2$ ... סדרה כזו נקראת סדרה מתחלפת. היא לא עולה ולא יורדת, אבל הערך המוחלט של האיברים קטן.

איבר לפי המקום

\begin{aligned}a_n &= f(n) \qquad n \\ &= 1 \\ 2 \\ 3 \\ \ldots\end{aligned}

כשהסדרה נתונה לפי המקום, מציבים את $n$ ומקבלים את האיבר ישירות, בלי לחשב את האיברים שלפניו. כדי לבדוק אם מספר נמצא בסדרה, משווים את $a_n$ למספר ופותרים. המספר הוא איבר רק אם $n$ יוצא מספר טבעי.

האם 40 ו-20 הם איברים בסדרה?

נתונה הסדרה $a_n=n^2-3n$ .

\begin{aligned}a_5 &= 25-15 \\ &= 10\end{aligned}

קודם איבר אחד, כדי להרגיש את הסדרה

\begin{aligned}n^2-3n &= 40 \ \Rightarrow \ (n-8)(n+5) \\ &= 0\end{aligned}

משווים ל- $40$

n=8 \quad (n=-5 \ \text{נפסל})

מקום הוא מספר טבעי. לכן $a_8=40$

\begin{aligned}n^2-3n-20 &= 0 \ \Rightarrow \ n \\ &= \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}\end{aligned}

$89$ אינו ריבוע של מספר שלם, ולכן $n$ אינו טבעי: $20$ אינו בסדרה

בסדרה $a_n=2n^2-n$ : האם $15$ הוא איבר? אם כן, באיזה מקום?

להציג את התשובה והפתרון

$2n^2-n-15=0$ , ולכן $n=\frac{1 \pm 11}{4}$ : $n=3$ או $n=-2.5$ . רק $n=3$ טבעי. כן, $a_3=18-3=15$ .

עולה או יורדת? — ההפרש $a_{n+1}-a_n$

סדרה עולה אם $a_{n+1}-a_n>0$ לכל $n$ , ויורדת אם $a_{n+1}-a_n<0$ לכל $n$ . מחשבים את ההפרש באופן כללי, באותיות. שלושה איברים לא מוכיחים שום דבר.

הוכחה שסדרה עולה

נתונה $a_n=\frac{3n}{n+1}$ . הוכיחו שהסדרה עולה.

a_{n+1}=\frac{3(n+1)}{n+2}

מציבים $n+1$ בכל מקום שבו מופיע $n$

a_{n+1}-a_n=\frac{3(n+1)^2-3n(n+2)}{(n+1)(n+2)}

מכנה משותף

=\frac{3}{(n+1)(n+2)}

במונה: $3n^2+6n+3-3n^2-6n=3$

\frac{3}{(n+1)(n+2)}>0

המונה והמכנה חיוביים לכל $n$ טבעי, ולכן הסדרה עולה

סדרה מתחלפת וסדרה בשני כללים

(-1)^n

$-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots$ — במקום זוגי $1$ , במקום אי-זוגי $-1$

(-1)^{n+1}

$1,\ -1,\ 1,\ -1,\ \ldots$ — הפוך: מתחילה בפלוס

a_n=\begin{cases} n+5 & n \ \text{אי-זוגי} \\ 2n & n \ \text{זוגי} \end{cases}

שני כללים: קודם בודקים את זוגיות המקום, ורק אז מציבים

בסדרה של השורה השלישית: חשבו את $a_7$ ואת $a_8$ . האם הסדרה עולה?

להציג את התשובה והפתרון

$7$ אי-זוגי: $a_7=7+5=12$ . $8$ זוגי: $a_8=2 \cdot 8=16$ . הסדרה אינה עולה: $a_1=6$ ו- $a_2=4$ , כלומר $a_2<a_1$ .

שלוש הטעויות של האיבר הכללי.

\begin{aligned}a_n &= n^2 \ \Rightarrow \ a_{n+1} \\ &= n^2+1\end{aligned}

a_{n+1}=(n+1)^2

$a_{n+1}$ פירושו להציב $n+1$ במקום $n$ . $n^2+1$ הוא $a_n+1$ , איבר אחר לגמרי.

a_1<a_2<a_3 \ \Rightarrow \ \text{עולה}

a_{n+1}-a_n>0 \ \text{לכל} \ n

בסדרה $a_n=10n-n^2$ : $9<16<21$ , אבל $a_6=24<a_5=25$ . בודקים את ההפרש באופן כללי.

\begin{aligned}n^2-3n &= 40 \ \Rightarrow \ n \\ &= 8 \ \text{או} \ n \\ &= -5\end{aligned}

n=8

מקום בסדרה הוא מספר טבעי. פתרון שלילי או שבור של המשוואה נפסל.

בכל שאלה על איבר כללי שאלו: מבקשים ערך של איבר (מציבים $n$ ), או מקום של ערך (פותרים משוואה ב- $n$ ובודקים שהוא טבעי)?

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הסדרה $a_n=n^2-4n+1$ . חשבו את $a_6$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

a_6=36-24+1

מציבים $n=6$

=13

הצבה אחת, בלי לחשב את $a_1$ עד $a_5$ . זה היתרון של נוסחה לפי המקום. שימו לב לסדר הפעולות: $6^2=36$ קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הסדרה $a_n=\frac{3n+5}{n+1}$ . באיזה מקום $n$ מופיע האיבר $3.2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\frac{3n+5}{n+1}=3.2

משווים

3n+5=3.2n+3.2

כופלים במכנה

\begin{aligned}1.8 &= 0.2n \ \Rightarrow \ n \\ &= 9\end{aligned}

$n$ טבעי ✓

\begin{aligned}a_9 &= \frac{32}{10} \\ &= 3.2\end{aligned}

בדיקה

מי שמציב $n=3.2$ בנוסחה בלבל בין מקום לבין ערך. מחפשים את $n$ שעבורו $a_n=3.2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הסדרה $a_n=n^2-5n$ . באילו מקומות מופיע האיבר $-6$ ?

$-6$ אינו איבר בסדרה
$n=2$ ו- $n=3$
$n=-2$ ו- $n=-3$
$n=2$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $n=2$ ו- $n=3$

הפתרון:

n^2-5n+6=0

משווים ל- $-6$

(n-2)(n-3)=0

מפרקים

\begin{aligned}a_2 &= 4-10 \\ &= -6 \\ \quad a_3 &= 9-15 \\ &= -6\end{aligned}

בדיקה

הנכונה: $n=2$ ו- $n=3$ . אותו ערך יכול להופיע בשני מקומות, כי הסדרה יורדת ואחר כך עולה. $n=-2$ ו- $n=-3$ הם טעות בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: המספר $50$ הוא איבר בסדרה $a_n=n^2+n$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

n^2+n-50=0

משווים ל- $50$

\begin{aligned}\Delta &= 1+200 \\ &= 201\end{aligned}

$201$ אינו ריבוע של מספר שלם

\begin{aligned}a_6 &= 42 \\ \quad a_7 &= 56\end{aligned}

$50$ נופל בין שני איברים עוקבים

הטענה אינה נכונה. $n$ אינו טבעי. הבדיקה בשני האיברים הסמוכים מאשרת: הסדרה עולה וקופצת מ- $42$ ל- $56$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הסדרה המתחלפת $a_n=(-1)^n(2n+1)$ . חשבו את $a_1+a_2+\ldots+a_{10}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= -3 \\ \ a_2 &= 5 \\ \ a_3 &= -7 \\ \ a_4 &= 9\end{aligned}

ארבעה איברים ראשונים

\begin{aligned}a_1+a_2 &= 2 \\ \quad a_3+a_4 &= 2\end{aligned}

מזווגים איבר אי-זוגי עם הזוגי שאחריו

5 \cdot 2=10

חמישה זוגות

בסכום של סדרה מתחלפת מזווגים. מי שמחשב $(-1)^1 \cdot 3$ כ- $3$ שכח ש- $(-1)$ בחזקה אי-זוגית שלילי, ומקבל $0$ או $-10$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הסדרה: $a_n=n^2$ כאשר $n$ אי-זוגי, ו- $a_n=\frac{n}{2}$ כאשר $n$ זוגי. השלימו.

$a_5=$ ____ , $a_{10}=$ ____ , $a_{11}+a_{12}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_5=$ 25 , $a_{10}=$ 5 , $a_{11}+a_{12}=$ 127

הפתרון:

\begin{aligned}a_5 &= 5^2 \\ &= 25\end{aligned}

$5$ אי-זוגי

\begin{aligned}a_{10} &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

$10$ זוגי

\begin{aligned}a_{11}+a_{12} &= 121+6 \\ &= 127\end{aligned}

כלל אחר לכל אחד מהשניים

קודם בודקים את זוגיות המקום, ורק אז בוחרים כלל. מי שמציב את $10$ בכלל $n^2$ מקבל $100$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הסדרה $a_n=\frac{n+4}{n}$ . מה נכון?

הסדרה עולה
הסדרה קבועה
הסדרה יורדת
הסדרה לא עולה ולא יורדת

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הסדרה יורדת

הפתרון:

a_n=1+\frac{4}{n}

מפרקים את השבר

\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= \frac{4}{n+1}-\frac{4}{n} \\ &= \frac{-4}{n(n+1)}\end{aligned}

ההפרש

\frac{-4}{n(n+1)}<0

לכל $n$ טבעי

הנכונה: הסדרה יורדת. המונה $n+4$ גדל, ולכן נדמה שהסדרה עולה. אבל המכנה גדל באותו קצב, ו- $\frac{4}{n}$ קטן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הסדרה $a_n=15n-n^2$ . מהו האיבר הגדול ביותר בסדרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56

הפתרון:

\begin{aligned}n &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

קודקוד הפרבולה $15x-x^2$

\begin{aligned}a_7 &= 105-49 \\ &= 56 \\ \quad a_8 &= 120-64 \\ &= 56\end{aligned}

$7.5$ אינו מקום, ולכן בודקים את שני המקומות הסמוכים

\begin{aligned}a_6 &= 54 \\ \quad a_9 &= 54\end{aligned}

הסדרה עולה עד $a_7$ ויורדת אחרי $a_8$

האיבר הגדול ביותר הוא $56$ , והוא מופיע פעמיים. מי שמציב $n=7.5$ מקבל $56.25$ , ערך שאינו איבר בסדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו את הסדרות: באילו מהן הסימן מתחלף בכל צעד?

מתחלף בכל צעד
לא מתחלף

$-n^2$
$(-1)^{2n} \cdot n$
$(-1)^n \cdot n$
$(-1)^n+2$
$(-2)^n$
$\left(-\frac{1}{3}\right)^n$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(-1)^n \cdot n$ — מתחלף בכל צעד · $(-2)^n$ — מתחלף בכל צעד · $\left(-\frac{1}{3}\right)^n$ — מתחלף בכל צעד · $(-1)^n+2$ — לא מתחלף · $(-1)^{2n} \cdot n$ — לא מתחלף · $-n^2$ — לא מתחלף

הפתרון:

(-1)^n+2: \ 1,\ 3,\ 1,\ 3,\ \ldots

הערכים מתחלפים, אבל כולם חיוביים

(-1)^{2n}=1

חזקה זוגית תמיד: $a_n=n$

-n^2: \ -1,\ -4,\ -9,\ \ldots

כולם שליליים

«מתחלף» פירושו הסימן מתחלף: חיובי, שלילי, חיובי. $(-1)^n+2$ קופצת בין שני ערכים, אבל לא משנה סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הסדרה $a_n=(-1)^n \cdot n+n$ . חשבו את $a_1+a_2+\ldots+a_{20}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 220

הפתרון:

\begin{aligned}n \ \text{אי-זוגי}: \ a_n &= -n+n \\ &= 0\end{aligned}

חצי מהאיברים מתאפסים

n \ \text{זוגי}: \ a_n=2n

$a_2=4 ,\ a_4=8 ,\ \ldots ,\ a_{20}=40$

\begin{aligned}4+8+\ldots+40 &= \frac{10(4+40)}{2} \\ &= 220\end{aligned}

עשרה איברים במקומות הזוגיים

קודם מפרקים לפי זוגיות: הסדרה היא בעצם $0,4,0,8,0,12,\ldots$ . מי שמחשב עשרים איברים של $2n$ מקבל $420$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

איבר לפי המקום

עולה או יורדת? — ההפרש an+1−ana_{n+1}-a_nan+1​−an​

סדרה מתחלפת וסדרה בשני כללים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

עולה או יורדת? — ההפרש $a_{n+1}-a_n$