תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: תחום, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, משיק אנכי, נגזרת שנייה, פרמטר ומשוואות אי-רציונליות בתוך החקירה. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

נתונה f(x)=116−x2f(x)=\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}. כמה אסימפטוטות אנכיות יש לגרף?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

16−x2>0 ⇒ −4<x<416-x^2>0 \ \Rightarrow \ -4<x<4

תחום

x→±4: 10+→∞x \to \pm 4: \ \frac{1}{0^{+}} \to \infty

בשני הקצוות

שתיים: x=−4x=-4 ו-x=4x=4. המונה 11 לא מתאפס לעולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=6x−14x2+1f(x)=\frac{6x-1}{\sqrt{4x^2+1}}. מהי האסימפטוטה האופקית כש-x→−∞x \to -\infty? כתבו את ערך ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

4x2+1≈2∣x∣\sqrt{4x^2+1} \approx 2|x|

המכנה רחוק מ-00

x→−∞: 6x−2x=−3x \to -\infty: \ \frac{6x}{-2x}=-3

משמאל

y=−3y=-3. שתי טעויות אפשריות: 4x2=4∣x∣\sqrt{4x^2}=4|x| (צריך 2∣x∣2|x|), ו-∣x∣=x|x|=x משמאל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x−1f(x)=\sqrt{x-1}. מהו המשיק לגרף בנקודה (1, 0)(1,\,0)?

  1. אין משיק
  2. הישר x=1x=1
  3. הישר y=x−1y=x-1
  4. הישר y=0y=0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הישר x=1x=1

הפתרון:

f′(x)=12x−1→∞f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}} \to \infty

כש-x→1+x \to 1^{+}

הנכונה: x=1x=1, משיק אנכי. f(1)=0f(1)=0 לא אומר שהמשיק אופקי: ערך ושיפוע הם שני דברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

נתונה f(x)=xx−1f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-1}}. מצאו את נקודת המינימום.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 2 , y=y= 2

הפתרון:

f′(x)=2(x−1)−x2(x−1)x−1=x−22(x−1)x−1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-1)-x}{2(x-1)\sqrt{x-1}} \\ &= \frac{x-2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\end{aligned}

נגזרת

x=2: −→+x=2: \ - \to +

מינימום

f(2)=21=2\begin{aligned}f(2) &= \frac{2}{1} \\ &= 2\end{aligned}

הערך

(2, 2)(2,\,2). x=1x=1 איננו מינימום: הוא אסימפטוטה אנכית, ו-ff לא מוגדרת שם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו: x2+5=x+1\sqrt{x^2+5}=x+1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2+5=x2+2x+1x^2+5=x^2+2x+1

מעלים בחזקת 2

2x=4 ⇒ x=2\begin{aligned}2x &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

ה-x2x^2 מתבטל

9=3=2+1 ✓\begin{aligned}\sqrt{9} &= 3 \\ &= 2+1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

x=2x=2. גם כשה-x2x^2 מתבטל ונשאר פתרון אחד, בודקים: אגף ימין x+1x+1 חייב להיות אי-שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x2+16f(x)=\sqrt{x^2+16}. חשבו את f′′(0)f''(0).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

f′(x)=xx2+16f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}

נגזרת

f′′(x)=16(x2+16)x2+16f''(x)=\frac{16}{(x^2+16)\sqrt{x^2+16}}

נגזרת של מנה

f′′(0)=1664=0.25\begin{aligned}f''(0) &= \frac{16}{64} \\ &= 0.25\end{aligned}

מציבים

0.250.25. f′′>0f''>0: הגרף קעור כלפי מעלה, ו-(0, 4)(0,\,4) מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=2xx2+1f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}} מקבלת את הערך 22.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2x=2x2+1 ⇒ x2=x2+1\begin{aligned}2x &= 2\sqrt{x^2+1} \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= x^2+1\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

0=10=1

סתירה

הטענה לא נכונה. y=2y=2 היא האסימפטוטה הימנית: הגרף מתקרב אליה ולא מגיע. תחום הערכים −2<y<2-2<y<2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נתונה f(x)=axx2+1f(x)=\frac{ax}{\sqrt{x^2+1}}, כאשר a>0a>0. המרחק בין שתי האסימפטוטות האופקיות של הגרף הוא 1010. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

y=a (+∞)y=−a (−∞)\begin{aligned}y &= a \ (+\infty) \\ \quad y &= -a \ (-\infty)\end{aligned}

שתי אסימפטוטות

a−(−a)=2a=10\begin{aligned}a-(-a) &= 2a \\ &= 10\end{aligned}

המרחק בין ישרים אופקיים

a=5a=5

פותרים

a=5a=5. מי שכתב a=10a=10 חשב שיש ישר אחד בלבד, או שכח שהמרחק הוא 2a2a.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x−4x2+4f(x)=\frac{x-4}{\sqrt{x^2+4}}. מצאו את הערך המינימלי של ff. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2.24

הפתרון:

f′(x)=(x2+4)−x(x−4)(x2+4)x2+4=4x+4(x2+4)x2+4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+4)-x(x-4)}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}} \\ &= \frac{4x+4}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}\end{aligned}

נגזרת

x=−1: −→+x=-1: \ - \to +

מינימום

f(−1)=−55=−5≈−2.24\begin{aligned}f(-1) &= \frac{-5}{\sqrt{5}} \\ &= -\sqrt{5} \approx -2.24\end{aligned}

הערך

−2.24-2.24. הגרף יורד מהאסימפטוטה y=−1y=-1 עד −5-\sqrt{5}, ואז עולה לכיוון y=1y=1. המינימום מתחת לאסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x2+9−x2f(x)=\sqrt{x^2+9}-\frac{x}{2}. מצאו את הערך המינימלי של ff. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.6

הפתרון:

f′(x)=xx2+9−12=0 ⇒ 2x=x2+9\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= \sqrt{x^2+9}\end{aligned}

נקודה חשודה

4x2=x2+9 x≥0 ⇒ x=3\begin{aligned}4x^2 &= x^2+9 \\ \ x \geq 0 \ \Rightarrow \ x &= \sqrt{3}\end{aligned}

x=−3x=-\sqrt{3} נפסל: 2x2x שלילי

f(3)=12−32=332≈2.60\begin{aligned}f(\sqrt{3}) &= \sqrt{12}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60\end{aligned}

הערך

x→±∞: f→∞x \to \pm\infty: \ f \to \infty

בשני הכיוונים הגרף עולה: מינימום מוחלט

2.602.60. המשוואה 2x=x2+92x=\sqrt{x^2+9} היא משוואה אי-רציונלית בתוך החקירה: בלי הבדיקה מקבלים גם x=−3x=-\sqrt{3}, ושם f′(−3)=−1≠0f'(-\sqrt{3})=-1 \neq 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת