סדרה 3 — לקראת הבגרות · פונקציות עם שורשים · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלת החקירה של הבגרות, מחולקות לסעיפים. כל תרגיל הוא סעיף אחד, עם אותה פתיחה. פרמטר מנקודת חיתוך ושתי אסימפטוטות; משיקים אנכיים וערך בקצה; ופרמטר משיפוע עם חיתוך של ישר.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו ובדקו אותו בנתון לפני שממשיכים.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=-5$ . א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}f(-5) &= 0 \ \Rightarrow \ -5+a \\ &= 0\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ : המונה מתאפס

a=5

המכנה חיובי תמיד, ולכן רק המונה

$a=5$ . מי שכתב $a=-5$ הציב את הנקודה עם הסימן ההפוך: $x+a=0$ ב- $x=-5$ נותן $a=5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=-5$ . ב. הציבו $a=5$ . מצאו את האסימפטוטות האופקיות של $f$ .

כש- $x \to +\infty$ : $y=$ ____ ; כש- $x \to -\infty$ : $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כש- $x \to +\infty$ : $y=$ 1 ; כש- $x \to -\infty$ : $y=$ -1

הפתרון:

\sqrt{x^2+20} \approx |x|

רחוק מ- $0$

\frac{x}{|x|} \to 1 \ (+\infty) ,\quad -1 \ (-\infty)

לפי הכיוון

x^2+20>0

ואין אסימפטוטה אנכית

$y=1$ ו- $y=-1$ . שתי אסימפטוטות שונות: זה מה שמבדיל את הפונקציה מפונקציה רציונלית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=-5$ . ג. הציבו $a=5$ . מצאו את נקודת הקיצון של $f$ .

$x=$ ____ , $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 4 , $y=$ 1.5

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+20)-x(x+5)}{(x^2+20)\sqrt{x^2+20}} \\ &= \frac{20-5x}{(x^2+20)\sqrt{x^2+20}}\end{aligned}

נגזרת של מנה

x=4: \ + \to -

מקסימום

\begin{aligned}f(4) &= \frac{9}{\sqrt{36}} \\ &= 1.5\end{aligned}

הערך

מקסימום $(4,\,1.5)$ . בדקו את הסימן משני הצדדים: $f'(0)>0$ ו- $f'(5)<0$ . אל תסתפקו ב- $f'=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

y = f(x)

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+20}}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=-5$ . ד. הציבו $a=5$ , והיעזרו בסקיצה שבשרטוט. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ בדיוק שני פתרונות?

$1<k<1.5$
$1 \leq k \leq 1.5$
$k<1.5$
$-1<k<1.5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $1<k<1.5$

הפתרון:

x<4: \ -1 \nearrow 1.5

עולה מהאסימפטוטה השמאלית עד המקסימום

x>4: \ 1.5 \searrow 1

יורדת לכיוון האסימפטוטה הימנית

1<k<1.5: \ 1+1

פתרון אחד בכל ענף

הנכונה: $1<k<1.5$ . $k=1$ נותן פתרון אחד ( $x=-0.5$ ): מימין הגרף רק מתקרב ל- $1$ . $k=1.5$ נותן אחד, המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x)=x+\sqrt{a-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישרים $x=-2$ ו- $x=2$ משיקים לגרף של $f$ . א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}a-x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\sqrt{a}\end{aligned}

משיקים אנכיים בקצוות התחום

\begin{aligned}\sqrt{a} &= 2 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

הקצוות הם $\pm 2$

$a=4$ . מי שכתב $a=2$ שכח שהקצה הוא $\sqrt{a}$ , לא $a$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x)=x+\sqrt{a-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישרים $x=-2$ ו- $x=2$ משיקים לגרף של $f$ . ב. הציבו $a=4$ . מהי נקודת המקסימום של $f$ ?

$(\sqrt{2},\,2\sqrt{2})$
$(0,\,2)$
$(2,\,2)$
$(\sqrt{2},\,2)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $(\sqrt{2},\,2\sqrt{2})$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{4-x^2} \\ &= x\end{aligned}

נקודה חשודה

\begin{aligned}4-x^2 &= x^2 \\ \ x \geq 0 \ \Rightarrow \ x &= \sqrt{2}\end{aligned}

$x=-\sqrt{2}$ נפסל: אגף ימין $x$

\begin{aligned}f(\sqrt{2}) &= \sqrt{2}+\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

הערך

הנכונה: $(\sqrt{2},\,2\sqrt{2})$ . במשוואה $\sqrt{4-x^2}=x$ צריך $x \geq 0$ . מי שלא בדק קיבל גם $-\sqrt{2}$ , ושם $f'(-\sqrt{2})=2 \neq 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x)=x+\sqrt{a-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישרים $x=-2$ ו- $x=2$ משיקים לגרף של $f$ . ג. הציבו $a=4$ . השלימו.

הערך הקטן ביותר של $f$ : ____ ; מספר נקודות הפיתול: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הערך הקטן ביותר של $f$ : -2 ; מספר נקודות הפיתול: 0

הפתרון:

\begin{aligned}f(-2) &= -2 \\ \quad f(2) &= 2\end{aligned}

הקצוות

-2 \leq x \leq \sqrt{2}: \ \nearrow \qquad \sqrt{2} \leq x \leq 2: \ \searrow

הערך הקטן ביותר בקצה השמאלי

f''(x)=\frac{-4}{(4-x^2)\sqrt{4-x^2}}<0

קעורה כלפי מטה בכל הפנים: אין פיתול

$-2$ ו- $0$ . הערך הקטן ביותר בתחום סגור יכול להיות בקצה, בלי $f'=0$ . מי שחיפש אותו רק בנקודות שבהן $f'=0$ לא מצא אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+a}}$ , כאשר $a>0$ . שיפוע המשיק לגרף של $f$ בנקודה $(0,\,0)$ הוא $\frac{1}{2}$ . א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+a)-x}{2(x+a)\sqrt{x+a}} \\ &= \frac{x+2a}{2(x+a)\sqrt{x+a}}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{2a}{2a\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

מציבים

a=4

מעלים בחזקת 2

$a=4$ . מי שכתב $a=2$ לא העלה בחזקת 2: $\sqrt{a}=2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+a}}$ , כאשר $a>0$ . שיפוע המשיק לגרף של $f$ בנקודה $(0,\,0)$ הוא $\frac{1}{2}$ . ב. הציבו $a=4$ . מה נכון לגבי $f$ ?

ל- $f$ מינימום ב- $x=-8$
$f$ יורדת ב- $x<0$
$f$ עולה בכל התחום, ו- $x=-4$ אסימפטוטה אנכית
ל- $f$ אסימפטוטה אופקית $y=1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $f$ עולה בכל התחום, ו- $x=-4$ אסימפטוטה אנכית

הפתרון:

x>-4

תחום

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x+8}{2(x+4)\sqrt{x+4}}>0 \ \\ \ x>-4\end{aligned}

$x+8>4>0$ בכל התחום

x \to -4^{+}: \ \frac{-4}{0^{+}} \to -\infty

אסימפטוטה אנכית

הנכונה: עולה בכל התחום. $x=-8$ מאפס את המונה של $f'$ , אבל הוא מחוץ לתחום. אין אסימפטוטה אופקית: $f$ גדלה כמו $\sqrt{x}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+a}}$ , כאשר $a>0$ . שיפוע המשיק לגרף של $f$ בנקודה $(0,\,0)$ הוא $\frac{1}{2}$ . ג. הציבו $a=4$ . מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם הישר $y=\frac{x}{3}$ .

$x=$ ____ ו- $x=$ ____ (מהקטן לגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 0 ו- $x=$ 5 (מהקטן לגדול)

הפתרון:

\frac{x}{\sqrt{x+4}}=\frac{x}{3}

משווים

\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ \sqrt{x+4} \\ &= 3\end{aligned}

אסור לחלק ב- $x$ בלי לבדוק $x=0$

\begin{aligned}x+4 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

f(5)=\frac{5}{3} \ \checkmark

בדיקה

$x=0$ ו- $x=5$ . מי שחילק את שני האגפים ב- $x$ איבד את הנקודה $(0,\,0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev