סדרה 2 — בינוני · פונקציות עם שורשים · כיתה י״א

עשר שאלות של שניים או שלושה שלבים: מנה מתחת לשורש, קיצון שיורד מתחת לאסימפטוטה, משיק, פרמטר, משוואה עם שני פתרונות וקעירות.

בכל שאלה עם פרמטר: גוזרים עם הפרמטר, מציבים את הנתון, ואז בודקים את הפרמטר בנתון המקורי.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{\frac{x-3}{x+1}}$ .

$x<$ ____ או $x \geq$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x<$ -1 או $x \geq$ 3

הפתרון:

\frac{x-3}{x+1} \geq 0

מה שמתחת לשורש

x<-1: \ \frac{-}{-}>0 \qquad -1<x<3: \ \frac{-}{+}<0 \qquad x \geq 3: \ \geq 0

טבלת סימנים

x=-1 \notin D

המכנה מתאפס

$x<-1$ או $x \geq 3$ . $x=3$ נכלל (מונה $0$ ), $x=-1$ לא (מכנה $0$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}}$ . מצאו את הערך המינימלי של $f$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.15

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+3)-x(x-1)}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}} \\ &= \frac{x+3}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}\end{aligned}

נגזרת של מנה

x=-3: \ - \to +

מינימום

\begin{aligned}f(-3) &= \frac{-4}{\sqrt{12}} \\ &= -\frac{2}{\sqrt{3}} \approx -1.15\end{aligned}

הערך

$-1.15$ . זה מתחת לאסימפטוטה השמאלית $y=-1$ : הגרף יורד מתחתיה ואז עולה בחזרה. מי שכתב $-1$ חשב שהאסימפטוטה היא הערך הקטן ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+1}}$ . השלימו.

כש- $x \to +\infty$ : $y=$ ____ ; כש- $x \to -\infty$ : $y=$ ____ ; הגרף חוצה את $y=2$ ב- $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כש- $x \to +\infty$ : $y=$ 2 ; כש- $x \to -\infty$ : $y=$ -2 ; הגרף חוצה את $y=2$ ב- $x=$ 0.75

הפתרון:

\frac{2x}{|x|} \to \pm 2

האסימפטוטות

\begin{aligned}2x+1 &= 2\sqrt{x^2+1} \ \Rightarrow \ 4x^2+4x+1 \\ &= 4x^2+4\end{aligned}

פותרים $f(x)=2$

\begin{aligned}x &= 0.75: \ \frac{2.5}{1.25} \\ &= 2 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

$2$ , $-2$ ו- $0.75$ . הגרף עובר את האסימפטוטה הימנית ב- $x=0.75$ , ומתקרב אליה אחר כך מלמעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2-6x}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=8$ חותך את ציר ה- $y$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

\begin{aligned}f(8) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה $(8,\,4)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x}} \ \Rightarrow \ f'(8) \\ &= \frac{10}{8} \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

שיפוע

\begin{aligned}y &= 4+\frac{5}{4}(x-8) \\ &= \frac{5}{4}x-6\end{aligned}

משוואת המשיק

\begin{aligned}x &= 0: \ y \\ &= -6\end{aligned}

החיתוך

$-6$ . הטעות הנפוצה בנגזרת: לשכוח את $2x-6$ במונה, הנגזרת של מה שמתחת לשורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לאיזו פונקציה יש משיק אנכי ב- $x=0$ ?

$\sqrt{x}+x$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$
$x\sqrt{x}$
$\sqrt{x+1}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\sqrt{x}+x$

הפתרון:

\left(\sqrt{x}+x\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1 \to \infty

ו- $f(0)=0$

\left(x\sqrt{x}\right)'=\frac{3}{2}\sqrt{x} \to 0

יוצא שטוח

\frac{1}{\sqrt{x}} \ : \ x>0

$f(0)$ לא מוגדרת: אסימפטוטה

הנכונה: $\sqrt{x}+x$ . ל- $\frac{1}{\sqrt{x}}$ אין נקודה ב- $x=0$ : זו אסימפטוטה. ב- $\sqrt{x+1}$ השיפוע ב- $0$ הוא $\frac{1}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=\sqrt{x}+\frac{a}{\sqrt{x}}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת מינימום ב- $x=4$ . מצאו את הערך המינימלי של $f$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{a}{2x\sqrt{x}} \\ &= \frac{x-a}{2x\sqrt{x}}\end{aligned}

מכנה משותף

\begin{aligned}x &= a \\ &= 4\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת ב- $x=a$

\begin{aligned}f(4) &= 2+\frac{4}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הערך

$4$ . שני שלבים: קודם $a=4$ , ואז מציבים ב- $f$ , לא ב- $f'$ . מי שענה $0$ נתן את $f'(4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: הגרף של $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$ חותך את האסימפטוטה $y=1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\sqrt{x^2+9}>|x| \geq x

לכל $x$

f(x)<1

המונה קטן מהמכנה

הטענה לא נכונה. $f(x)=1$ נותן $x^2=x^2+9$ , סתירה. יש פונקציות שחוצות את האסימפטוטה שלהן, אבל זו לא אחת מהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו: $\frac{x}{\sqrt{x-2}}=3$

הפתרון הקטן: ____ , הפתרון הגדול: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הפתרון הקטן: 3 , הפתרון הגדול: 6

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 3\sqrt{x-2} \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 9x-18\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}x^2-9x+18 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= 6\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}\frac{3}{1} &= 3 \ \checkmark \qquad \frac{6}{2} \\ &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

$3$ ו- $6$ . שניהם בתחום $x>2$ ושניהם מתאימים. המינימום של הפונקציה $f(4)=2\sqrt{2} \approx 2.83$ קטן מ- $3$ , ולכן יש שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+4}$ . מה נכון?

$f$ משנה קעירות ב- $x=\pm 2$
$f$ קעורה כלפי מטה בכל $x$
$f$ קעורה כלפי מעלה בכל $x$ , ואין לה נקודת פיתול
יש ל- $f$ נקודת פיתול ב- $(0,\,2)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $f$ קעורה כלפי מעלה בכל $x$ , ואין לה נקודת פיתול

הפתרון:

f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

נגזרת

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{(x^2+4)-x^2}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}} \\ &= \frac{4}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}>0\end{aligned}

חיובית תמיד

הנכונה: קעורה כלפי מעלה, בלי פיתול. $(0,\,2)$ היא מינימום ( $f'(0)=0$ ), לא פיתול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x)=\frac{x^2-a}{\sqrt{x+3}}$ , ו- $a$ פרמטר. לגרף של $f$ אין אסימפטוטה אנכית. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

x>-3

תחום

\begin{aligned}(-3)^2-a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 9\end{aligned}

המונה חייב להתאפס ב- $x=-3$

\frac{(x-3)(x+3)}{\sqrt{x+3}}=(x-3)\sqrt{x+3} \to 0

בדיקה

$a=9$ . מי שכתב $a=-9$ הציב $-3$ בלי להעלות בחזקת 2: $(-3)^2=9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev