פותרים יחד · פונקציות עם שורשים · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלת השורש של הבגרות: פרמטר מקיצון ואסימפטוטות שונות; ישר שאולי חותך את הגרף; משיק אנכי וקעירות; ו«האם ייתכן?». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. אחרי כל שאלה, שאלה תאומה מחכה לכם למטה.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם כותבים בבחינה. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פרמטר מנקודת קיצון, ושתי אסימפטוטות

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{ax+6}{\sqrt{x^2+12}}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את האסימפטוטות של $f$ . ג. מצאו את נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. ד. מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם האסימפטוטה האופקית הימנית.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{ax+6}{\sqrt{x^2+12}} \\ \quad f'(2) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנגזרת נכתבת עם $a$ , ורק אחר כך מציבים.

א. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+12)-x(ax+6)}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}} \\ &= \frac{12a-6x}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}}\end{aligned}

נגזרת של מנה. $ax^2$ מתבטל.

א.

\begin{aligned}12a-12 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

$f(x)=\frac{x+6}{\sqrt{x^2+12}}$ .

ב. אנכית

x^2+12>0

התחום הוא כל $x$ : אין אסימפטוטה אנכית.

ב. אופקיות

\begin{aligned}x \to +\infty: \ \frac{x}{|x|} &= 1 \qquad x \to -\infty: \ \frac{x}{|x|} \\ &= -1\end{aligned}

$y=1$ מימין, $y=-1$ משמאל.

ג. סוג

\begin{aligned}f'(0) &= \frac{12}{12\sqrt{12}}>0 \qquad f'(3) \\ &= \frac{-6}{21\sqrt{21}}<0\end{aligned}

עולה ואחר כך יורדת.

ג.

\begin{aligned}f(2) &= \frac{8}{\sqrt{16}} \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום $(2,\,2)$ .

ד. משוואה

\begin{aligned}x+6 &= \sqrt{x^2+12} \ \Rightarrow \ x^2+12x+36 \\ &= x^2+12 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

פותרים $f(x)=1$ .

ד. בדיקה

\frac{-2+6}{\sqrt{16}}=1 \ \checkmark

הנקודה $(-2,\,1)$ .

שני דברים ששאלות כאלה בודקות: $\sqrt{x^2}=|x|$ בסעיף ב, והבדיקה בסעיף ד.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם הגרף חותך גם את האסימפטוטה השמאלית $y=-1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $f(x)=-1$ נותן $x+6=-\sqrt{x^2+12}$ , ולכן $x+6<0$ . בחזקת 2 מתקבל שוב $x=-2$ , אבל $-2+6=4>0$ , והוא נפסל. אין פתרון.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — האם הישר חותך את הגרף?

פעילות אינטראקטיבית

$f(x)=\sqrt{2x^2+7}$ והישר $y=x-2$

נתונה $f(x)=\sqrt{2x^2+7}$ . מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם הישר $y=x-2$ .

אין נקודות חיתוך

$x=-1$ ו- $x=-3$

$x=-1$ בלבד

$x=-3$ בלבד

איזו משוואה פותרים?

$\sqrt{2x^2+7}=x-2$

להציג את התשובה והפתרון

בנקודת חיתוך לגרף ולישר אותו $y$ .

$\sqrt{2x^2+7}=0$

להציג את התשובה והפתרון

זו החיתוך עם ציר ה- $x$ , לא עם הישר.

\sqrt{2x^2+7}=x-2

השורש כבר מבודד.

מעלים בחזקת 2. מה מתקבל?

$x^2+4x+3=0$

להציג את התשובה והפתרון

$2x^2+7=x^2-4x+4$ .

$x^2+3=0$

להציג את התשובה והפתרון

$(x-2)^2=x^2-4x+4$ , לא $x^2+4$ .

\begin{aligned}x^2+4x+3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= -3\end{aligned}

שני מועמדים.

מה עכשיו?

בודקים במשוואה המקורית

להציג את התשובה והפתרון

ההעלאה בחזקת 2 עלולה להוסיף פתרונות זרים.

עונים: שתי נקודות חיתוך

להציג את התשובה והפתרון

אגף ימין $x-2$ חייב להיות אי-שלילי. בדקו.

\begin{aligned}x &= -1: \ x-2 \\ &= -3<0 \qquad x \\ &= -3: \ x-2 \\ &= -5<0\end{aligned}

שני המועמדים נפסלים: שורש אינו שלילי.

להציג את התשובה והפתרון

אין נקודות חיתוך. אפשר לראות את זה גם בלי חישוב: $\sqrt{2x^2+7}>\sqrt{x^2}=|x| \geq x>x-2$ . הגרף תמיד מעל הישר.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם הישר היה $y=x+2$ ? כמה נקודות חיתוך היו?

להציג את התשובה והפתרון

$2x^2+7=x^2+4x+4$ נותן $x^2-4x+3=0$ , כלומר $x=1$ או $x=3$ . בבדיקה $x+2=3$ ו- $x+2=5$ , שניהם חיוביים: $\sqrt{9}=3$ ✓ ו- $\sqrt{25}=5$ ✓. שתי נקודות, $(1,\,3)$ ו- $(3,\,5)$ .

השאלות התאומות: שאלות 2 ו-5 ברשימה למטה.

3 — משיק אנכי, משיק רגיל וקעירות

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\sqrt{ax-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=10$ משיק לגרף של $f$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת המקסימום. ג. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=2$ . ד. הוכיחו ש- $f$ קעורה כלפי מטה בכל פנים התחום.

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{ax-x^2} \\ \quad x &= 10 \ \text{משיק}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». משיק אנכי מופיע בקצה התחום, שם מה שמתחת לשורש מתאפס.

א.

\begin{aligned}10a-100 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 10\end{aligned}

$x=10$ הוא קצה: $ax-x^2=0$ שם.

ב. תחום

10x-x^2 \geq 0 \ \Rightarrow \ 0 \leq x \leq 10

בין השורשים של $x(10-x)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{10-2x}{2\sqrt{10x-x^2}} \\ &= \frac{5-x}{\sqrt{10x-x^2}}\end{aligned}

כלל השרשרת. בשני הקצוות המכנה $0$ והמונה לא: משיקים אנכיים ב- $x=0$ וב- $x=10$ .

ב. מקסימום

\begin{aligned}x &= 5 \\ \quad f(5) &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

$+ \to -$ : מקסימום $(5,\,5)$ .

ג. נקודה

\begin{aligned}f(2) &= \sqrt{16} \\ &= 4 \\ \quad f'(2) &= \frac{3}{4}\end{aligned}

הנקודה $(2,\,4)$ והשיפוע $\frac{3}{4}$ .

ג. משיק

\begin{aligned}y-4 &= \tfrac{3}{4}(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= \tfrac{3}{4}x+\tfrac{5}{2}\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע.

ד.

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{-\sqrt{g}-(5-x)\frac{g'}{2\sqrt{g}}}{g} \\ &= \frac{-g-(5-x)^2}{g\sqrt{g}} \\ \quad g &= 10x-x^2\end{aligned}

נגזרת של מנה, עם $g'=10-2x=2(5-x)$ .

ד. מסקנה

\begin{aligned}-g-(5-x)^2 &= -(10x-x^2)-(25-10x+x^2) \\ &= -25\end{aligned}

$f''(x)=\frac{-25}{g\sqrt{g}}<0$ לכל $0<x<10$ .

$y=\sqrt{10x-x^2}$ הוא חצי מעגל שמרכזו $(5,\,0)$ ורדיוסו $5$ . לכן יש לו שני משיקים אנכיים, והוא קעור כלפי מטה.

לעשות את הפעילות ב-elev

בסעיף ג, האם הנקודה $(2,\,4)$ נמצאת בתחום שבו $f$ עולה?

להציג את התשובה והפתרון

כן. $f$ עולה ב- $0<x<5$ , ו- $2$ בתוך הקטע. זה מתאים לשיפוע החיובי $\frac{3}{4}$ . שיפוע שלילי היה מסמן טעות.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — «האם ייתכן?»: שיפוע גדול מדי

פעילות אינטראקטיבית

משיק ששיפועו $2$ ?

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ . האם יש לגרף של $f$ משיק ששיפועו $2$ ? נמקו.

לא: השיפוע הגדול ביותר הוא $1$

כן, ב- $x=0$

כן, בשתי נקודות סימטריות

כן, קרוב לאסימפטוטה

מה צריך לחשב?

את $f'(x)$ , ולבדוק אם $f'(x)=2$ אפשרי

להציג את התשובה והפתרון

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת.

את $f(x)=2$

להציג את התשובה והפתרון

זה שואל על גובה $2$ , לא על שיפוע.

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}

נגזרת של מנה.

מהו הערך הגדול ביותר של $f'$ ?

$1$ , ב- $x=0$

להציג את התשובה והפתרון

המכנה הכי קטן כש- $x^2=0$ .

אין ערך גדול ביותר

להציג את התשובה והפתרון

$x^2+1 \geq 1$ , ולכן המכנה $\geq 1$ .

(x^2+1)^{\frac{3}{2}} \geq 1 \ \Rightarrow \ 0<f'(x) \leq 1

כל שיפוע של משיק נמצא בין $0$ ל- $1$ .

אז?

$f'(x)=2$ בלתי אפשרי

להציג את התשובה והפתרון

$2>1$ .

אפשר, אם $x$ גדול מאוד

להציג את התשובה והפתרון

רחוק הגרף נצמד לאסימפטוטה: השיפוע שואף ל- $0$ .

2>1

אין משיק כזה.

להציג את התשובה והפתרון

אין משיק ששיפועו $2$ . השיפוע הגדול ביותר הוא $f'(0)=1$ , בנקודת הפיתול $(0,\,0)$ . «האם ייתכן?» נענה בחסם: מראים ש- $f'$ לא יכולה להגיע לערך.

לעשות את הפעילות ב-elev

ולאיזה משיק של $f$ השיפוע הוא $\frac{1}{8}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$(x^2+1)^{\frac{3}{2}}=8$ , כלומר $x^2+1=4$ ו- $x=\pm\sqrt{3}$ . שני משיקים, בנקודות סימטריות: $f$ אי-זוגית, ולכן $f'$ זוגית.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=\frac{ax+12}{\sqrt{x^2+12}}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . השלימו.

$a=$ ____ ; הערך בנקודת הקיצון: ____ ; האסימפטוטה כש- $x \to -\infty$ : $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ 2 ; הערך בנקודת הקיצון: 4 ; האסימפטוטה כש- $x \to -\infty$ : $y=$ -2

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+12)-x(ax+12)}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}} \\ &= \frac{12a-12x}{(x^2+12)\sqrt{x^2+12}}\end{aligned}

גוזרים עם $a$

\begin{aligned}12a-24 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

מציבים $x=2$

\begin{aligned}f(2) &= \frac{16}{\sqrt{16}} \\ &= 4\end{aligned}

הערך

x \to -\infty: \ \frac{2x}{-x}=-2

משמאל $|x|=-x$

$a=2$ , מקסימום $(2,\,4)$ , ומשמאל $y=-2$ . מי שכתב $y=2$ גם משמאל השתמש ב- $\sqrt{x^2}=x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+12}$ . מהן נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם הישר $y=2x$ ?

$(2,\,4)$ ו- $(-2,\,-4)$
אין נקודות חיתוך
$(-2,\,-4)$ בלבד
$(2,\,4)$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $(2,\,4)$ בלבד

הפתרון:

\begin{aligned}\sqrt{x^2+12} &= 2x \ \Rightarrow \ x^2+12 \\ &= 4x^2\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שני מועמדים

\begin{aligned}x &= -2: \ 2x \\ &= -4<0\end{aligned}

נפסל: שורש אינו שלילי

\begin{aligned}x &= 2: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

הנקודה $(2,\,4)$

הנכונה: $(2,\,4)$ בלבד. $(-2,\,-4)$ מתקבלת מהמשוואה $\sqrt{x^2+12}=-2x$ , לא מהמשוואה שלנו. הגרף של $f$ כולו מעל ציר ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\sqrt{ax-x^2}$ , כאשר $a>0$ . הישר $x=8$ משיק לגרף של $f$ . השלימו.

$a=$ ____ ; הערך המקסימלי: ____ ; $f''(4)=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ 8 ; הערך המקסימלי: 4 ; $f''(4)=$ -0.25

הפתרון:

\begin{aligned}8a-64 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

המשיק האנכי בקצה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4-x}{\sqrt{8x-x^2}} \ \Rightarrow \ x \\ &= 4 \\ \ f(4) &= 4\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{-(8x-x^2)-(4-x)^2}{(8x-x^2)^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{-16}{(8x-x^2)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}

כמו בשאלה 3

\begin{aligned}f''(4) &= \frac{-16}{64} \\ &= -0.25\end{aligned}

$16^{\frac{3}{2}}=64$

$a=8$ , מקסימום $4$ ו- $f''(4)=-0.25$ . זה חצי מעגל ברדיוס $4$ . מי שמחפש את $a$ מ- $f'(8)=0$ מבלבל משיק אנכי עם משיק אופקי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף של $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ יש משיק ששיפועו $1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f'(x)=\frac{4}{(x^2+4)^{\frac{3}{2}}}

נגזרת

(x^2+4)^{\frac{3}{2}} \geq 8 \ \Rightarrow \ f'(x) \leq \frac{1}{2}

החסם, ב- $x=0$

1>\frac{1}{2}

לא ניתן

הטענה לא נכונה. השיפוע הגדול ביותר הוא $\frac{1}{2}$ . את «האם ייתכן» לא עונים בניסוי של נקודה אחת: מוצאים את הערך הגדול ביותר של $f'$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של הגרף עם הישר $y=3-x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x^2+3=9-6x+x^2

מעלים בחזקת 2

\begin{aligned}6x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

ה- $x^2$ מתבטל

\begin{aligned}\sqrt{4} &= 2 \\ &= 3-1 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

$x=1$ , והבדיקה עוברת. גם כשיש מועמד אחד, בודקים: עם $y=x-3$ אותו חישוב היה נותן $x=1$ , ושם $x-3=-2$ והוא נפסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — פרמטר מנקודת קיצון, ושתי אסימפטוטות

2 — האם הישר חותך את הגרף?

3 — משיק אנכי, משיק רגיל וקעירות

4 — «האם ייתכן?»: שיפוע גדול מדי

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev