תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: גזירה, קיצון בקטע, זוגיות, מספר פתרונות, שטח ותנועה הרמונית. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡(2x+1)f(x)=\sin(2x+1)?

  1. 2cos⁡2x2\cos 2x
  2. 2cos⁡(2x+1)2\cos(2x+1)
  3. −2cos⁡(2x+1)-2\cos(2x+1)
  4. cos⁡(2x+1)\cos(2x+1)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 2cos⁡(2x+1)2\cos(2x+1)

הפתרון:

(sin⁡u)′=cos⁡u⋅u′u′=2\begin{aligned}(\sin u)' &= \cos u\cdot u' \\ \quad u' &= 2\end{aligned}

שרשרת

הנכונה: 2cos⁡(2x+1)2\cos(2x+1). הארגומנט נשאר כמו שהוא, 2x+12x+1, ורק הנגזרת הפנימית 22 יוצאת החוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=3cos⁡xf(x)=3\cos x. חשבו את f′(π2)f'\left(\frac{\pi}{2}\right).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f′(x)=−3sin⁡xf'(x)=-3\sin x
f′(π2)=−3f'\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-3

−3-3. מי שעונה 00 חישב את f(π2)f\left(\frac{\pi}{2}\right) ולא את f′f'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו: ∫0π/2cos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

[sin⁡x]0π/2=1−0=1\begin{aligned}[\sin x]_0^{\pi/2} &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

11. הפונקציה הקדומה של cos⁡x\cos x היא sin⁡x\sin x, בלי מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

מהו הערך הגדול ביותר של f(x)=3sin⁡x+cos⁡xf(x)=\sqrt3\sin x+\cos x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=3cos⁡x−sin⁡x=0⇒tan⁡x=3\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt3\cos x-\sin x \\ &= 0 \Rightarrow \tan x \\ &= \sqrt3\end{aligned}
x=π3: f=32+12=2\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{3}:\ f \\ &= \tfrac32+\tfrac12 \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום

22. לא 3+1\sqrt3+1: שני המחוברים אינם מקסימליים באותו xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x−2cos⁡xf(x)=x-2\cos x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. נקודות הקיצון הפנימיות הן ב-x=kπx=k\pi. מלאו את kk (אפשר לכתוב שבר).

מקסימום: x=x= ____ π\pi ; מינימום: x=x= ____ π\pi

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: x=x= 1.1666666666666667 π\pi ; מינימום: x=x= 1.8333333333333333 π\pi

הפתרון:

f′(x)=1+2sin⁡x=0⇒sin⁡x=−12\begin{aligned}f'(x) &= 1+2\sin x \\ &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= -\tfrac12\end{aligned}
x=7π6 11π6\begin{aligned}x &= \tfrac{7\pi}{6} \\ \ \tfrac{11\pi}{6}\end{aligned}

ברביע השלישי והרביעי

f′(3π2)=1−2<0f'\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=1-2<0

בין שתי הנקודות הפונקציה יורדת

מקסימום ב-7π6\frac{7\pi}{6} ומינימום ב-11π6\frac{11\pi}{6}. π6\frac{\pi}{6} ו-5π6\frac{5\pi}{6} פותרים sin⁡x=+12\sin x=+\frac12: הסימן של (cos⁡x)′(\cos x)' שוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=cos⁡xxf(x)=\dfrac{\cos x}{x} אי-זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(−x)=cos⁡(−x)−x=−cos⁡xx=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{\cos(-x)}{-x} \\ &= -\frac{\cos x}{x} \\ &= -f(x)\end{aligned}

הטענה נכונה. זוגית חלקי אי-זוגית היא אי-זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡2x=12\sin 2x=\frac12 בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

0≤2x≤4π0\le 2x\le 4\pi

שני סיבובים

2x=π65π613π617π6\begin{aligned}2x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \tfrac{5\pi}{6} \\ \tfrac{13\pi}{6} \\ \tfrac{17\pi}{6}\end{aligned}

שני פתרונות בכל סיבוב

ארבעה פתרונות. מי שעונה 22 פתר רק בסיבוב הראשון של 2x2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

מהו הערך הקטן ביותר של f(x)=cos⁡2x+4sin⁡xf(x)=\cos 2x+4\sin x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

f′(x)=−2sin⁡2x+4cos⁡x=4cos⁡x(1−sin⁡x)\begin{aligned}f'(x) &= -2\sin 2x+4\cos x \\ &= 4\cos x(1-\sin x)\end{aligned}

הנגזרת, מפורקת

x=π2 3π2\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

f(π2)=3f(3π2)=−1−4=−5f(0)=f(2π)=1\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= 3 \\ \quad f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= -1-4 \\ &= -5 \\ \quad f(0) &= f(2\pi) \\ &= 1\end{aligned}

משווים

−5-5, ב-x=3π2x=\frac{3\pi}{2}. דרך נוספת: f=1−2s2+4sf=1-2s^2+4s עם s=sin⁡xs=\sin x, ו-−1≤s≤1-1\le s\le 1. הערך הקטן ביותר מתקבל בקצה s=−1s=-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של y=sin⁡xy=\sin x ושל y=cos⁡xy=\cos x בקטע π4≤x≤5π4\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{5\pi}{4}. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.8284

הפתרון:

sin⁡x≥cos⁡x ב- π4≤x≤5π4\sin x\ge\cos x \ \text{ב-}\ \tfrac{\pi}{4}\le x\le\tfrac{5\pi}{4}

העליון הוא sin⁡x\sin x

∫π/45π/4(sin⁡x−cos⁡x) dx=[−cos⁡x−sin⁡x]π/45π/4\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx=[-\cos x-\sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4}
=2−(−2)=22≈2.83=\sqrt2-(-\sqrt2)=2\sqrt2\approx 2.83

22≈2.832\sqrt2\approx 2.83. הגרפים נחתכים בשני קצות הקטע, ולכן אין צורך לפצל. מי שמחסר cos⁡x−sin⁡x\cos x-\sin x מקבל −2.83-2.83, ושטח אינו שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גוף נע לפי x(t)=5cos⁡(2t)x(t)=5\cos(2t) ס״מ, tt בשניות. מהי התאוצה הגדולה ביותר שלו, בערך מוחלט (בס״מ לשנייה בריבוע)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

v(t)=−10sin⁡2ta(t)=−20cos⁡2t\begin{aligned}v(t) &= -10\sin 2t \\ \quad a(t) &= -20\cos 2t\end{aligned}

גוזרים פעמיים

∣a∣≤20|a|\le 20

ב-cos⁡2t=±1\cos 2t=\pm1, כלומר בקצוות x=±5x=\pm5

20=Aω220=A\omega^2. התאוצה הגדולה ביותר היא בקצוות התנועה, שם המהירות 00. מי שעונה 1010 עצר בנגזרת הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת