סדרה 3 — לקראת הבגרות · חקירת פונקציות טריגונומטריות · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלת הפונקציה הטריגונומטרית בבגרות, מחולקות לסעיפים. כל תרגיל הוא סעיף אחד, עם אותה פתיחה. חקירה עם נקודה שבה $f'=0$ בלי קיצון ומספר פתרונות; פרמטר, זוגיות וערכים קיצוניים; ותנועה הרמונית עם אינטגרל של המהירות.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. אחרי שמצאתם פרמטר, הציבו אותו ובדקו אותו בנתון לפני שממשיכים. ובכל קטע סגור, הקצוות נכנסים להשוואה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ , בצורה $x=k\pi$ .

$x=$ ____ $\pi$ , $x=$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 0.5 $\pi$ , $x=$ 1.5 $\pi$ (מהקטן לגדול)

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= 2\sin x\cos x+2\cos x \\ &= 2\cos x(\sin x+1)\end{aligned}

מפרקים לגורמים

\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}\sin x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

אותה נקודה שוב

שתי נקודות: $\frac{\pi}{2}$ ו- $\frac{3\pi}{2}$ . $\frac{3\pi}{2}$ מופיעה פעמיים, מכל גורם, אבל היא נקודה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון הפנימיות של $f$ וקבעו את סוגן.

מינימום $\left(\frac{\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מקסימום $\left(\frac{5\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$
מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מינימום $\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , ומקסימום $\left(\frac{3\pi}{2},0\right)$
מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ ומינימום $\left(\frac{3\pi}{2},0\right)$
מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מינימום $\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , ואין קיצון ב- $\frac{3\pi}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מינימום $\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , ואין קיצון ב- $\frac{3\pi}{2}$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos 2x-2\sin x \\ &= -2(2\sin x-1)(\sin x+1)\end{aligned}

$\cos 2x=1-2\sin^2x$

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{5\pi}{6} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

\sin x+1\ge 0

הגורם הזה אינו שלילי, ולכן הסימן של $f'$ נקבע לפי $1-2\sin x$

+\ |\ -\ |\ +\ |\ +

ב- $\frac{3\pi}{2}$ אין החלפת סימן

הנכונה: מקסימום ב- $\frac{\pi}{6}$ , מינימום ב- $\frac{5\pi}{6}$ , ואין קיצון ב- $\frac{3\pi}{2}$ . $f'\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$ , אבל הפונקציה עולה לפני הנקודה ואחריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ג. הוכיחו או הפריכו: ציר ה- $x$ משיק לגרף של $f$ בנקודה שבה $x=\frac{3\pi}{2}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= \sin 3\pi+2\cos\tfrac{3\pi}{2} \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה על ציר ה- $x$

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= 2\cos 3\pi-2\sin\tfrac{3\pi}{2} \\ &= -2+2 \\ &= 0\end{aligned}

שיפוע $0$

y=0

המשיק הוא ציר ה- $x$

הטענה נכונה. זו נקודה שבה המשיק אופקי והגרף חוצה אותו: אין שם קיצון, אבל ציר ה- $x$ עדיין משיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

y = f(x)

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ד. היעזרו בסקיצה שבשרטוט. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ פתרון אחד בלבד בקטע?

$2<k<\frac{3\sqrt3}{2}$
$k=\frac{3\sqrt3}{2}$ בלבד
$k=\frac{3\sqrt3}{2}$ או $k=-\frac{3\sqrt3}{2}$
$k=0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $k=\frac{3\sqrt3}{2}$ או $k=-\frac{3\sqrt3}{2}$

הפתרון:

2\nearrow\tfrac{3\sqrt3}{2}\searrow-\tfrac{3\sqrt3}{2}\nearrow 2

ערכי הפונקציה לאורך הקטע

k=\pm\tfrac{3\sqrt3}{2}

הישר נוגע רק בקיצון

\begin{aligned}k &= 0:\ x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

שני פתרונות

הנכונה: $k=\pm\frac{3\sqrt3}{2}$ . ב- $k=0$ יש שני פתרונות, כי הגרף ממשיך לעלות אחרי $\frac{3\pi}{2}$ . ב- $2<k<\frac{3\sqrt3}{2}$ יש שניים: אחד בעלייה הראשונה ואחד בירידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x-\cos^2 x$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{3}$ . א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= -a\sin x+2\cos x\sin x \\ &= \sin x(2\cos x-a)\end{aligned}

שרשרת על $\cos^2 x$

\begin{aligned}\sin\tfrac{\pi}{3}\neq 0 \Rightarrow 2\cdot\tfrac12-a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

$a=1$ . $(\cos^2 x)'=-2\cos x\sin x$ , ולכן מינוס כפול מינוס נותן $+2\cos x\sin x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x-\cos^2 x$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{3}$ . ב. הציבו $a=1$ . איזה נימוק מוכיח ש- $f$ זוגית?

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ ו- $f'\left(-\frac{\pi}{3}\right)=0$
$f(\pi)=f(-\pi)=-2$
$f(-x)=\cos(-x)-\cos^2(-x)=\cos x-\cos^2 x=f(x)$ לכל $x$
$f(0)=0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $f(-x)=\cos(-x)-\cos^2(-x)=\cos x-\cos^2 x=f(x)$ לכל $x$

הפתרון:

\cos(-x)=\cos x

הקוסינוס זוגי

f(-x)=f(x)

לכל $x$ בקטע הסימטרי

הנכונה: ההצבה של $-x$ . ערכים בשתי נקודות אינם הוכחה, גם כשהם שווים: זוגיות היא טענה על כל $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x-\cos^2 x$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{3}$ . ג. הציבו $a=1$ . מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f$ בקטע.

הגדול ביותר: ____ ; הקטן ביותר: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הגדול ביותר: 0.25 ; הקטן ביותר: -2

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \sin x(2\cos x-1) \\ &= 0\end{aligned}

$\sin x=0$ או $\cos x=\frac12$

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \pm\tfrac{\pi}{3} \\ \ \pm\pi\end{aligned}

נקודות חשודות וקצוות

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f\left(\pm\tfrac{\pi}{3}\right) &= \tfrac12-\tfrac14 \\ &= \tfrac14 \\ \quad f(\pm\pi) &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

משווים

הגדול ביותר $\frac14$ והקטן ביותר $-2$ , בקצוות. ב- $x=0$ יש מינימום מקומי בגובה $0$ : הוא אינו הערך הקטן ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

גוף נע על ישר, ומיקומו (במטרים) הוא $x(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ , כאשר $t$ בשניות ו- $0\le t\le 4$ . א. מהו זמן המחזור של התנועה (בשניות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{\omega} \\ &= \frac{2\pi}{\pi/2} \\ &= 4\end{aligned}

$\omega=\frac{\pi}{2}$

$T=4$ שניות: בקטע $0\le t\le 4$ יש מחזור שלם אחד. מי שעונה $\frac{\pi}{2}$ כתב את $\omega$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גוף נע על ישר, ומיקומו (במטרים) הוא $x(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ , כאשר $t$ בשניות ו- $0\le t\le 4$ . ב. מהי המהירות הגדולה ביותר של הגוף (במטר לשנייה)? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.2832

הפתרון:

\begin{aligned}v(t) &= 4\cdot\tfrac{\pi}{2}\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right) \\ &= 2\pi\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\end{aligned}

גוזרים

v_{\max}=2\pi\approx 6.28

ב- $t=0$ וב- $t=4$ , כשהגוף ב- $x=0$

$2\pi\approx 6.28$ . מי שעונה $4$ נתן את האמפליטודה, ומי שעונה $\frac{\pi}{2}$ שכח אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גוף נע על ישר, ומיקומו (במטרים) הוא $x(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ , כאשר $t$ בשניות ו- $0\le t\le 4$ . ג. חשבו את $\int_0^1 v(t)\,dt$ , והסבירו מה המספר מתאר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\int_0^1 v(t)\,dt=x(1)-x(0)

האינטגרל של המהירות הוא שינוי המיקום

\begin{aligned}x(1) &= 4\sin\tfrac{\pi}{2} \\ &= 4 \\ \quad x(0) &= 0\end{aligned}

4-0=4

$4$ מטר: הגוף עבר מ- $x=0$ לקצה $x=4$ . כאן $v\ge 0$ כל הזמן, ולכן שינוי המיקום שווה לדרך. ב- $\int_0^2$ היה יוצא $0$ , אף שהגוף עבר $8$ מטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev