סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בדרגה בינונית: גזירת מכפלה ושורש, משוואת משיק, קיצון וערך מרבי, תחומי עלייה וירידה, פרמטר, שטח, זוגיות ותנועה. רוב השאלות דורשות שניים או שלושה צעדים.

בכל שאלת קיצון: פתרו את f′(x)=0f'(x)=0 בקטע כולו, וקבעו את סוג הקיצון לפי הסימן של f′f'. ערך הפונקציה בנקודה לבדו אינו אומר אם היא מקסימום.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=sin⁡2xcos⁡xf(x)=\sin^2 x\cos x. חשבו את f′(π4)f'\left(\frac{\pi}{4}\right). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3536

הפתרון:

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡x+sin⁡2x⋅(−sin⁡x)f'(x)=2\sin x\cos x\cdot\cos x+\sin^2 x\cdot(-\sin x)

כלל המכפלה, ובגורם הראשון שרשרת

=2sin⁡xcos⁡2x−sin⁡3x=2\sin x\cos^2 x-\sin^3 x
f′(π4)=2⋅22⋅12−24=24≈0.35\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{4}\right) &= 2\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac12-\tfrac{\sqrt2}{4} \\ &= \tfrac{\sqrt2}{4}\approx 0.35\end{aligned}

(22)3=24\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3=\frac{\sqrt2}{4}

24≈0.35\frac{\sqrt2}{4}\approx 0.35. מי שגוזר את sin⁡2x\sin^2 x ל-2sin⁡x2\sin x בלי cos⁡x\cos x מאבד את השרשרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את משוואת המשיק לגרף של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x בנקודה שבה x=π2x=\frac{\pi}{2}. עגלו את המספר החופשי לשתי ספרות אחרי הנקודה.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= -2 x+x+ 3.1416

הפתרון:

f(π2)=sin⁡π=0\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= \sin\pi \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה (π2,0)\left(\frac{\pi}{2},0\right)

f′(x)=2cos⁡2x⇒f′(π2)=2cos⁡π=−2\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos 2x \Rightarrow f'\left(\tfrac{\pi}{2}\right) \\ &= 2\cos\pi \\ &= -2\end{aligned}

השיפוע

y=−2(x−π2)=−2x+π\begin{aligned}y &= -2\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \\ &= -2x+\pi\end{aligned}

y=−2x+πy=-2x+\pi, והמספר החופשי π≈3.14\pi\approx 3.14. מי שכותב y=−2xy=-2x שכח להכפיל את −2-2 ב-−π2-\frac{\pi}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=sin⁡x−cos⁡xf(x)=\sin x-\cos x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. היכן נקודות הקיצון הפנימיות?

  1. מקסימום ב-3π4\frac{3\pi}{4}, מינימום ב-7π4\frac{7\pi}{4}
  2. מקסימום ב-π4\frac{\pi}{4}, מינימום ב-5π4\frac{5\pi}{4}
  3. מקסימום ב-π2\frac{\pi}{2}, מינימום ב-3π2\frac{3\pi}{2}
  4. מינימום ב-3π4\frac{3\pi}{4}, מקסימום ב-7π4\frac{7\pi}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקסימום ב-3π4\frac{3\pi}{4}, מינימום ב-7π4\frac{7\pi}{4}

הפתרון:

f′(x)=cos⁡x+sin⁡x=0⇒tan⁡x=−1\begin{aligned}f'(x) &= \cos x+\sin x \\ &= 0 \Rightarrow \tan x \\ &= -1\end{aligned}

מחלקים ב-cos⁡x≠0\cos x\neq 0

x=3π4 7π4\begin{aligned}x &= \tfrac{3\pi}{4} \\ \ \tfrac{7\pi}{4}\end{aligned}

הטנגנס שלילי ברביע השני והרביעי

f(3π4)=2f(7π4)=−2\begin{aligned}f\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) &= \sqrt2 \\ \quad f\left(\tfrac{7\pi}{4}\right) &= -\sqrt2\end{aligned}

סוג הקיצון

הנכונה: מקסימום ב-3π4\frac{3\pi}{4}, מינימום ב-7π4\frac{7\pi}{4}. π4\frac{\pi}{4} ו-5π4\frac{5\pi}{4} פותרים tan⁡x=+1\tan x=+1: מי שגזר (cos⁡x)′=sin⁡x(\cos x)'=\sin x מגיע לשם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הערך הגדול ביותר של f(x)=sin⁡x−cos⁡xf(x)=\sin x-\cos x? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.4142

הפתרון:

x=3π4x=\tfrac{3\pi}{4}

נקודת המקסימום

f=22−(−22)=2≈1.41\begin{aligned}f &= \tfrac{\sqrt2}{2}-\left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right) \\ &= \sqrt2\approx 1.41\end{aligned}

2≈1.41\sqrt2\approx 1.41. זה יותר מ-11: כל מחובר לבדו מגיע ל-11, אבל לא באותו xx, והסכום מגיע רק ל-2\sqrt2 ולא ל-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=2+cos⁡xf(x)=\sqrt{2+\cos x}. חשבו את f′(π2)f'\left(\frac{\pi}{2}\right). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.3536

הפתרון:

f′(x)=−sin⁡x22+cos⁡xf'(x)=\frac{-\sin x}{2\sqrt{2+\cos x}}

שורש של פונקציה

f′(π2)=−122≈−0.35f'\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\frac{-1}{2\sqrt2}\approx-0.35

−122≈−0.35-\frac{1}{2\sqrt2}\approx-0.35. הסימן השלילי בא מ-(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x. מי שמאבד אותו עונה 0.350.35.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x+2cos⁡xf(x)=x+2\cos x. מיינו את התחומים: עולה או יורדת?

  • עולה
  • יורדת
  • π3<x<2π3\frac{\pi}{3}<x<\frac{2\pi}{3}
  • π6<x<5π6\frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6}
  • 5π6<x<2π\frac{5\pi}{6}<x<2\pi
  • 0<x<π60<x<\frac{\pi}{6}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0<x<π60<x<\frac{\pi}{6} — עולה · π6<x<5π6\frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6} — יורדת · π3<x<2π3\frac{\pi}{3}<x<\frac{2\pi}{3} — יורדת · 5π6<x<2π\frac{5\pi}{6}<x<2\pi — עולה

הפתרון:

f′(x)=1−2sin⁡xf'(x)=1-2\sin x

הנגזרת

f′<0  ⟺  sin⁡x>12  ⟺  π6<x<5π6f'<0 \iff \sin x>\tfrac12 \iff \tfrac{\pi}{6}<x<\tfrac{5\pi}{6}

יורדת

יורדת רק ב-π6<x<5π6\frac{\pi}{6}<x<\frac{5\pi}{6}, וגם בכל תת-תחום שלו. f′=1−2sin⁡xf'=1-2\sin x: המחובר 11 מזיז את הגבול מ-00 ו-π\pi ל-π6\frac{\pi}{6} ו-5π6\frac{5\pi}{6}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לפונקציה f(x)=asin⁡x+cos⁡xf(x)=a\sin x+\cos x יש נקודת קיצון ב-x=π3x=\frac{\pi}{3}. מצאו את aa. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.7321

הפתרון:

f′(x)=acos⁡x−sin⁡xf'(x)=a\cos x-\sin x

הנגזרת

a2−32=0⇒a=3≈1.73\begin{aligned}\tfrac{a}{2}-\tfrac{\sqrt3}{2} &= 0 \Rightarrow a \\ &= \sqrt3\approx 1.73\end{aligned}

מציבים x=π3x=\frac{\pi}{3}

a=3≈1.73a=\sqrt3\approx 1.73. הנתון «קיצון» נותן משוואה על f′f'. מי שמשווה את f(π3)f\left(\frac{\pi}{3}\right) ל-00 פותר שאלה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=cos⁡xy=\cos x וציר ה-xx בקטע 0≤x≤π0\le x\le\pi.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

∫0π/2cos⁡x dx=1\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1

מעל הציר

∫π/2πcos⁡x dx=−1\int_{\pi/2}^{\pi}\cos x\,dx=-1

מתחת לציר

S=1+1=2\begin{aligned}S &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

השטח 22. ∫0πcos⁡x dx=0\int_0^{\pi}\cos x\,dx=0, אבל זה אינו השטח: חייבים לפצל ב-π2\frac{\pi}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הפונקציה f(x)=sin⁡xx2+1+xf(x)=\dfrac{\sin x}{x^2+1}+x היא:

  1. זוגית
  2. גם זוגית וגם אי-זוגית
  3. לא זוגית ולא אי-זוגית
  4. אי-זוגית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אי-זוגית

הפתרון:

sin⁡(−x)(−x)2+1=−sin⁡xx2+1\frac{\sin(-x)}{(-x)^2+1}=-\frac{\sin x}{x^2+1}

המחובר הראשון

f(−x)=−sin⁡xx2+1−x=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= -\frac{\sin x}{x^2+1}-x \\ &= -f(x)\end{aligned}

הנכונה: אי-זוגית. x2+1x^2+1 זוגי ו-sin⁡x\sin x אי-זוגי, והמנה אי-זוגית. סכום של שתי פונקציות אי-זוגיות הוא אי-זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גוף נע לפי x(t)=2cos⁡(πt)x(t)=2\cos(\pi t) מטר, tt בשניות. השלימו לגבי הרגע t=13t=\frac13. עגלו את המהירות לשתי ספרות אחרי הנקודה.

מיקום: ____ מטר ; מהירות: ____ מטר לשנייה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מיקום: 1 מטר ; מהירות: -5.4414 מטר לשנייה

הפתרון:

x(13)=2cos⁡π3=1\begin{aligned}x\left(\tfrac13\right) &= 2\cos\tfrac{\pi}{3} \\ &= 1\end{aligned}

מיקום

v(t)=−2πsin⁡(πt)v(t)=-2\pi\sin(\pi t)

גוזרים

v(13)=−2π⋅32=−π3≈−5.44\begin{aligned}v\left(\tfrac13\right) &= -2\pi\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} \\ &= -\pi\sqrt3\approx-5.44\end{aligned}

x=1x=1 ו-v≈−5.44v\approx-5.44: הגוף נע לכיוון נקודת שיווי המשקל. מי שעונה −2sin⁡π3-2\sin\frac{\pi}{3} שכח את הנגזרת הפנימית π\pi.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת