סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: גזירה עם ארגומנט ליניארי, מחזור, זוגיות, אפסים בקטע, אינטגרל מיידי ומהירות מרבית. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים ערך (ff), שיפוע (f′f'), מקום (xx) או שטח? ובכל משוואה טריגונומטרית: כמה פתרונות יש בקטע?

תרגילים

תרגיל 1

מהי הנגזרת של f(x)=cos⁡5xf(x)=\cos 5x?

  1. −5sin⁡5x-5\sin 5x
  2. −sin⁡5x-\sin 5x
  3. −5cos⁡5x-5\cos 5x
  4. 5sin⁡5x5\sin 5x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −5sin⁡5x-5\sin 5x

הפתרון:

(cos⁡u)′=−sin⁡u⋅u′(\cos u)'=-\sin u\cdot u'

שרשרת

u=5x⇒u′=5\begin{aligned}u &= 5x \Rightarrow u' \\ &= 5\end{aligned}

הנכונה: −5sin⁡5x-5\sin 5x. שני דברים יוצאים החוצה: המינוס של הקוסינוס והמקדם 55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x)=\sin x+\cos x. חשבו את f′(π)f'(\pi).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f′(x)=cos⁡x−sin⁡xf'(x)=\cos x-\sin x

גוזרים כל מחובר

f′(π)=−1−0=−1\begin{aligned}f'(\pi) &= -1-0 \\ &= -1\end{aligned}

f′(π)=−1f'(\pi)=-1. מי שכתב f′(x)=cos⁡x+sin⁡xf'(x)=\cos x+\sin x שכח את המינוס, אבל כאן sin⁡π=0\sin\pi=0 מסתיר את הטעות. בדקו את הנוסחה, לא רק את המספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו המחזור של f(x)=cos⁡x3f(x)=\cos\frac{x}{3}? כתבו אותו בצורה T=kπT=k\pi.

T=T= ____ π\pi

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: T=T= 6 π\pi

הפתרון:

T=2π∣a∣a=13\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{|a|} \\ \quad a &= \tfrac13\end{aligned}

נוסחת המחזור

T=2π1/3=6π\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{1/3} \\ &= 6\pi\end{aligned}

T=6πT=6\pi. המקדם 13\frac13 מאט את הגל, ולכן המחזור גדל. מי שכופל במקום לחלק מקבל 2π3\frac{2\pi}{3}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=xcos⁡xf(x)=x\cos x אי-זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(−x)=(−x)cos⁡(−x)=−xcos⁡x=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= (-x)\cos(-x) \\ &= -x\cos x \\ &= -f(x)\end{aligned}

מציבים −x-x

הטענה נכונה. xx אי-זוגית ו-cos⁡x\cos x זוגית, והמכפלה שלהן אי-זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה פתרונות יש למשוואה cos⁡x=0\cos x=0 בקטע 0≤x≤3π0\le x\le 3\pi?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x=π2+nπx=\tfrac{\pi}{2}+n\pi

כל הפתרונות

x=π2 3π2 5π2\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2} \\ \ \tfrac{5\pi}{2}\end{aligned}

אלה שבקטע

שלושה פתרונות. 7π2>3π\frac{7\pi}{2}>3\pi, ולכן הוא מחוץ לקטע. כל פתרון נבדק מול הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו ∫cos⁡3x dx\int\cos 3x\,dx?

  1. sin⁡3x+C\sin 3x+C
  2. 3sin⁡3x+C3\sin 3x+C
  3. 13sin⁡3x+C\frac13\sin 3x+C
  4. −13sin⁡3x+C-\frac13\sin 3x+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 13sin⁡3x+C\frac13\sin 3x+C

הפתרון:

∫cos⁡(ax) dx=1asin⁡(ax)+C\int\cos(ax)\,dx=\tfrac{1}{a}\sin(ax)+C

אינטגרל מיידי

(13sin⁡3x)′=13⋅3cos⁡3x=cos⁡3x\begin{aligned}\left(\tfrac13\sin 3x\right)' &= \tfrac13\cdot 3\cos 3x \\ &= \cos 3x\end{aligned}

בדיקה בגזירה

הנכונה: 13sin⁡3x+C\frac13\sin 3x+C. 3sin⁡3x3\sin 3x היא טעות של גזירה במקום אינטגרל. ואין מינוס: המינוס שייך ל-∫sin⁡\int\sin.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו: ∫0πsin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

[−cos⁡x]0π=−cos⁡π+cos⁡0=1+1=2\begin{aligned}[-\cos x]_0^{\pi} &= -\cos\pi+\cos 0 \\ &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

22. הטעות הנפוצה היא [cos⁡x]0π=−2[\cos x]_0^{\pi}=-2: שלילי מתחת לגרף שכולו מעל הציר. סימן כזה מעיד על מינוס שנשכח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

גוף נע לפי x(t)=3sin⁡(2t)x(t)=3\sin(2t) ס״מ, tt בשניות. מהי המהירות הגדולה ביותר שלו (בס״מ לשנייה)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

v(t)=6cos⁡2tv(t)=6\cos 2t

גוזרים

vmax⁡=6v_{\max}=6

Aω=3⋅2A\omega=3\cdot 2

66 ס״מ לשנייה. 33 הוא המרחק הגדול ביותר, לא המהירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x. חשבו את f′(π3)f'\left(\frac{\pi}{3}\right).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f′(x)=1cos⁡2xf'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}

הנוסחה

cos⁡π3=12⇒f′=11/4=4\begin{aligned}\cos\tfrac{\pi}{3} &= \tfrac12 \Rightarrow f' \\ &= \frac{1}{1/4} \\ &= 4\end{aligned}

44. מי שמציב cos⁡π3\cos\frac{\pi}{3} בלי ריבוע מקבל 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. באיזה xx מקבלת ff את ערכה הגדול ביותר?

  1. x=3π2x=\frac{3\pi}{2}
  2. x=π2x=\frac{\pi}{2}
  3. x=2x=2
  4. x=πx=\pi
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=π2x=\frac{\pi}{2}

הפתרון:

f′(x)=2cos⁡x=0⇒x=π2 3π2\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

f(π2)=2f(3π2)=−2\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= 2 \\ \quad f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= -2\end{aligned}

משווים

הנכונה: x=π2x=\frac{\pi}{2}. 22 הוא הערך הגדול ביותר, לא המקום שבו הוא מתקבל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת