פותרים יחד · חקירת פונקציות טריגונומטריות · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון שאלת הפונקציה הטריגונומטרית בבגרות: חקירה מלאה בקטע, פרמטר וזוגיות, מנה עם אסימפטוטה ו«חור», וזיהוי הגרף של $f'$ עם שטח. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. והזכירו לעצמכם את הקטע: כל פתרון של משוואה טריגונומטרית נבדק מולו.

1 — חקירה מלאה בקטע

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\cos 2x+2\sin x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . א. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ג. כמה נקודות חיתוך עם ציר ה- $x$ יש לגרף? ד. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ בדיוק שני פתרונות?

\begin{aligned}f(x) &= \cos 2x+2\sin x \\ \quad 0\le x\le 2\pi\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנגזרת תתפרק לגורמים, וכל גורם נותן משוואה טריגונומטרית משלו.

א. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= -2\sin 2x+2\cos x \\ &= 2\cos x(1-2\sin x)\end{aligned}

$\sin 2x=2\sin x\cos x$ , ואז מוציאים $2\cos x$ כגורם משותף.

א. חשודות

\begin{aligned}\cos x &= 0:\ x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \tfrac{3\pi}{2} \qquad \sin x &= \tfrac12:\ x \\ &= \tfrac{\pi}{6} \\ \tfrac{5\pi}{6}\end{aligned}

ארבע נקודות בקטע, שתיים מכל גורם.

א. ערכים

\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= f\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) \\ &= \tfrac32 \quad f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) \\ &= 1 \quad f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) \\ &= -3\end{aligned}

ובקצוות $f(0)=f(2\pi)=1$ .

ב. סימנים

+\ \big|\ -\ \big|\ +\ \big|\ -\ \big|\ +

בחמשת התחומים, לפי הסדר. למשל $f'(\pi)=2\cdot(-1)\cdot 1<0$ .

א. ו-ב.

\max\left(\tfrac{\pi}{6},\tfrac32\right),\ \min\left(\tfrac{\pi}{2},1\right),\ \max\left(\tfrac{5\pi}{6},\tfrac32\right),\ \min\left(\tfrac{3\pi}{2},-3\right)

עולה ב- $0<x<\frac{\pi}{6}$ , ב- $\frac{\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{6}$ וב- $\frac{3\pi}{2}<x<2\pi$ . יורדת בשני התחומים האחרים.

ג.

\begin{aligned}1-2\sin^2 x+2\sin x &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= \tfrac{1-\sqrt3}{2}\approx-0.37\end{aligned}

הפתרון השני, $\frac{1+\sqrt3}{2}>1$ , נפסל. ל- $\sin x=-0.37$ יש שני פתרונות בקטע: שתי נקודות חיתוך.

ד.

-3<k<1 \quad \text{או} \quad k=\tfrac32

ב- $k=1$ יש ארבעה פתרונות: $0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $2\pi$ ועוד אחד בירידה אל $-3$ .

סעיף ג לא דורש זווית מדויקת. מספיק לדעת כמה פעמים $\sin x$ מקבל ערך נתון בסיבוב אחד.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם $\left(\frac{\pi}{2},\,1\right)$ היא נקודת המינימום של $f$ בקטע כולו?

להציג את התשובה והפתרון

לא. היא מינימום מקומי בלבד: $f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-3<1$ . הערך הקטן ביותר בקטע הוא $-3$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 (וגם שאלה 5) ברשימה למטה.

2 — זוגיות ופרמטר מקיצון

פעילות אינטראקטיבית

פרמטר מנקודת קיצון

נתונה $f(x)=(1-\cos x)(a+\cos x)$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ , ו- $a$ פרמטר. א. הוכיחו ש- $f$ זוגית. ב. ל- $f$ יש קיצון ב- $x=\frac{2\pi}{3}$ . מצאו את $a$ . ג. מצאו את הערך הגדול ביותר של $f$ בקטע.

$a=2$ , הערך הגדול ביותר $\frac94$

$a=2$ , הערך הגדול ביותר $2$

$a=0$ , הערך הגדול ביותר $\frac94$

$a=-2$ , הערך הגדול ביותר $0$

איך מוכיחים שהפונקציה זוגית?

מציבים $-x$ ומשתמשים ב- $\cos(-x)=\cos x$

להציג את התשובה והפתרון

כל הביטוי בנוי מ- $\cos x$ , ולכן $f(-x)=f(x)$ לכל $x$ .

בודקים ש- $f(1)=f(-1)$

להציג את התשובה והפתרון

דוגמה אחת אינה הוכחה. צריך לכל $x$ .

\begin{aligned}f(-x) &= (1-\cos(-x))(a+\cos(-x)) \\ &= (1-\cos x)(a+\cos x) \\ &= f(x)\end{aligned}

הוכחה לכל $x$ בקטע הסימטרי.

מה הנגזרת?

$f'(x)=\sin x(2\cos x+a-1)$

להציג את התשובה והפתרון

כלל המכפלה, ואז $\sin x$ יוצא כגורם משותף.

$f'(x)=\sin x\cdot(-\sin x)$

להציג את התשובה והפתרון

זו מכפלת הנגזרות. בכלל המכפלה יש שני מחוברים.

\begin{aligned}f'(x) &= \sin x(a+\cos x)+(1-\cos x)(-\sin x) \\ &= \sin x(2\cos x+a-1)\end{aligned}

מה נותן הנתון «קיצון ב- $\frac{2\pi}{3}$ »?

$f'\left(\frac{2\pi}{3}\right)=0$

להציג את התשובה והפתרון

$\sin\frac{2\pi}{3}\neq 0$ , ולכן הסוגריים מתאפסים.

$f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=0$

להציג את התשובה והפתרון

קיצון הוא נתון על $f'$ , לא על $f$ .

\begin{aligned}2\cdot\left(-\tfrac12\right)+a-1 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

איפה נמצא הערך הגדול ביותר?

משווים את $x=0$ , $x=\pm\frac{2\pi}{3}$ והקצוות $x=\pm\pi$

להציג את התשובה והפתרון

$\sin x=0$ נותן את $0$ ואת $\pm\pi$ , והסוגריים נותנים את $\pm\frac{2\pi}{3}$ .

רק ב- $x=\frac{2\pi}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

צריך להשוות לכל הנקודות החשודות ולקצוות.

\begin{aligned}f(0) &= 0 \quad f\left(\pm\tfrac{2\pi}{3}\right) \\ &= \tfrac32\cdot\tfrac32 \\ &= \tfrac94 \quad f(\pm\pi) \\ &= 2\cdot 1 \\ &= 2\end{aligned}

$\frac94>2$ .

להציג את התשובה והפתרון

$a=2$ , והערך הגדול ביותר $\frac94$ , ב- $x=\pm\frac{2\pi}{3}$ . הקצוות נותנים $2$ : קרוב, אבל פחות.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה נקודות חיתוך עם ציר ה- $x$ יש לגרף של $f(x)=(1-\cos x)(2+\cos x)$ בקטע?

להציג את התשובה והפתרון

אחת, $x=0$ . $1-\cos x=0$ רק שם, ו- $2+\cos x\ge 1>0$ תמיד. בנקודה $(0,0)$ הגרף משיק לציר ה- $x$ : זה מינימום.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מנה: אסימפטוטה או «חור»

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\dfrac{1+\sin x}{\cos x}$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את האסימפטוטות האנכיות. ג. הוכיחו של- $f$ אין נקודות קיצון. ד. האם הגרף חותך את ציר ה- $x$ ?

\begin{aligned}f(x) &= \frac{1+\sin x}{\cos x} \\ \quad 0\le x\le 2\pi\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בכל נקודה שבה המכנה מתאפס, בודקים גם את המונה.

א.

\cos x\neq 0 \Rightarrow x\neq\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{3\pi}{2}

כל הקטע פרט לשתי נקודות.

ב. ב-π/2

1+\sin\tfrac{\pi}{2}=2\neq 0

המונה אינו מתאפס: $x=\frac{\pi}{2}$ אסימפטוטה.

ב. ב-3π/2

\begin{aligned}\frac{1+\sin x}{\cos x} &= \frac{(1+\sin x)(1-\sin x)}{\cos x(1-\sin x)} \\ &= \frac{\cos x}{1-\sin x}\to\frac{0}{2} \\ &= 0\end{aligned}

גם המונה מתאפס. אחרי הכפל בצמוד הגבול סופי: נקודה חסרה, לא אסימפטוטה.

ג. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos^2 x+(1+\sin x)\sin x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1+\sin x}{\cos^2 x}\end{aligned}

כלל המנה ו- $\sin^2x+\cos^2x=1$ .

ג.

1+\sin x>0 \ \ (x\neq\tfrac{3\pi}{2}) \Rightarrow f'(x)>0

הנגזרת חיובית בכל התחום. $f$ עולה בכל קטע של התחום, ולכן אין קיצון פנימי.

ד.

\begin{aligned}1+\sin x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

אבל $\frac{3\pi}{2}$ אינו בתחום. לכן הגרף לא חותך את ציר ה- $x$ .

שני סעיפים נשענים על אותה נקודה, $\frac{3\pi}{2}$ : שם אין אסימפטוטה, ושם גם אין אפס.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו הגבול של $f$ כש- $x$ מתקרב ל- $\frac{\pi}{2}$ משמאל?

להציג את התשובה והפתרון

$+\infty$ . המונה מתקרב ל- $2$ , והמכנה $\cos x$ חיובי וקטן משמאל ל- $\frac{\pi}{2}$ . מימין $\cos x<0$ , והגבול $-\infty$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — איזה גרף הוא של $f'$ , ומה השטח

שני גרפים: I ו-II

הציר האופקי מסומן בכפולות של

\pi

. אחד הגרפים הוא של

f

, והשני של

f'

פעילות אינטראקטיבית

זיהוי הגרף של $f'$ ושטח

בשרטוט שני גרפים בקטע $0\le x\le\pi$ : של $f(x)=\sin x(1+\cos x)$ ושל הנגזרת $f'$ . א. איזה גרף הוא של $f'$ ? ב. מצאו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ וציר ה- $x$ בקטע $0\le x\le\frac{\pi}{3}$ .

II, והשטח $\frac{3\sqrt3}{4}$

I, והשטח $\frac{3\sqrt3}{4}$

II, והשטח $\frac{3\sqrt3}{2}$

II, והשטח $1$

איך מזהים את הגרף של $f'$ ?

הוא חוצה את הציר בדיוק איפה שלגרף השני יש קיצון

להציג את התשובה והפתרון

גרף II חוצה את הציר ב- $\frac{\pi}{3}$ , בדיוק מתחת לשיא של גרף I.

הוא הגרף הנמוך יותר

להציג את התשובה והפתרון

גובה אינו מבחן. מה שקובע הוא הקשר בין קיצון לבין אפס.

\begin{aligned}f'(x) &= \cos x+\cos 2x \\ &= (2\cos x-1)(\cos x+1)\end{aligned}

מתאפסת ב- $x=\frac{\pi}{3}$ וב- $x=\pi$ , ו- $f'(0)=2$ : זה גרף II.

איך מחשבים את השטח מתחת ל- $f'$ ?

$f\left(\frac{\pi}{3}\right)-f(0)$

להציג את התשובה והפתרון

$f'\ge 0$ בקטע, ו- $\int_a^b f'=f(b)-f(a)$ .

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right)-f'(0)$

להציג את התשובה והפתרון

זה ההפרש של הנגזרת, לא של הפונקציה.

\begin{aligned}S &= \int_0^{\pi/3}f'(x)\,dx \\ &= f\left(\tfrac{\pi}{3}\right)-f(0)\end{aligned}

כמה זה $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ?

$\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac32=\frac{3\sqrt3}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ ו- $1+\cos\frac{\pi}{3}=\frac32$ .

$\frac{\sqrt3}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את הגורם $1+\cos x$ .

\begin{aligned}S &= \tfrac{3\sqrt3}{4}-0 \\ &= \tfrac{3\sqrt3}{4}\approx 1.30\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

גרף II הוא של $f'$ , והשטח $\frac{3\sqrt3}{4}\approx 1.30$ . לא היה צורך לחשב אינטגרל של $\cos x+\cos 2x$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ וציר ה- $x$ בקטע $\frac{\pi}{3}\le x\le\pi$ ?

להציג את התשובה והפתרון

שם $f'\le 0$ , ולכן $S=f\left(\frac{\pi}{3}\right)-f(\pi)=\frac{3\sqrt3}{4}-0=\frac{3\sqrt3}{4}$ . אותו שטח: $f$ עולה ויורדת בדיוק באותו גובה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=\cos 2x-2\sin x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . השלימו.

הערך הקטן ביותר: ____ ; הערך הגדול ביותר: ____ ; מספר נקודות המקסימום הפנימיות: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הערך הקטן ביותר: -3 ; הערך הגדול ביותר: 1.5 ; מספר נקודות המקסימום הפנימיות: 2

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= -2\sin 2x-2\cos x \\ &= -2\cos x(2\sin x+1)\end{aligned}

הנגזרת, מפורקת

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2} \\ \ \tfrac{7\pi}{6} \\ \ \tfrac{11\pi}{6}\end{aligned}

נקודות חשודות

\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= -3 \\ \ f\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) &= f\left(\tfrac{11\pi}{6}\right) \\ &= \tfrac32 \\ \ f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= 1\end{aligned}

ערכים; בקצוות $f=1$

מינימום $-3$ ב- $\frac{\pi}{2}$ , ושתי נקודות מקסימום בגובה $\frac32$ . $\sin x=-\frac12$ נותן שתי נקודות, ב- $\frac{7\pi}{6}$ וב- $\frac{11\pi}{6}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=(2-\cos x)(a+\cos x)$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ . ל- $f$ יש קיצון ב- $x=\frac{\pi}{3}$ . השלימו.

$a=$ ____ ; הערך הגדול ביותר: ____ ; מספר נקודות החיתוך עם ציר $x$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ 1 ; הערך הגדול ביותר: 2.25 ; מספר נקודות החיתוך עם ציר $x$ : 2

הפתרון:

f'(x)=\sin x(2\cos x+a-2)

כלל המכפלה

\begin{aligned}1+a-2 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

מציבים $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$

\begin{aligned}f\left(\pm\tfrac{\pi}{3}\right) &= \tfrac32\cdot\tfrac32 \\ &= \tfrac94 \\ \quad f(0) &= 2 \\ \quad f(\pm\pi) &= 0\end{aligned}

משווים

\begin{aligned}1+\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\pi\end{aligned}

אפסים

$a=1$ , הערך הגדול ביותר $\frac94=2.25$ , ושתי נקודות חיתוך בקצוות $x=\pm\pi$ . מי שבודק רק את $x=0$ מקבל $2$ ומפספס את המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\dfrac{1-\sin x}{\cos x}$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . איזה משפט נכון?

יש אסימפטוטה אנכית אחת, $x=\frac{\pi}{2}$ , ו- $f$ עולה בכל קטע של תחומה
יש אסימפטוטה אנכית אחת, $x=\frac{3\pi}{2}$ , ו- $f$ עולה בכל קטע של תחומה
יש אסימפטוטה אנכית אחת, $x=\frac{3\pi}{2}$ , ו- $f$ יורדת בכל קטע של תחומה
יש שתי אסימפטוטות אנכיות, $x=\frac{\pi}{2}$ ו- $x=\frac{3\pi}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג יש אסימפטוטה אנכית אחת, $x=\frac{3\pi}{2}$ , ו- $f$ יורדת בכל קטע של תחומה

הפתרון:

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2}:\ \frac{1-\sin x}{\cos x} \\ &= \frac{\cos x}{1+\sin x}\to 0\end{aligned}

גם המונה מתאפס: נקודה חסרה

\begin{aligned}x &= \tfrac{3\pi}{2}:\ 1-\sin x \\ &= 2\neq 0\end{aligned}

אסימפטוטה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-\cos^2 x+(1-\sin x)\sin x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\sin x-1}{\cos^2 x}\le 0\end{aligned}

יורדת

הנכונה: אסימפטוטה אחת ב- $\frac{3\pi}{2}$ , ויורדת. זו תמונת הראי של שאלה 3: המינוס הפך גם את מקום ה«חור» וגם את כיוון המונוטוניות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=\cos x(1+\sin x)$ בקטע $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ וציר ה- $x$ בקטע $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{6}$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.299

הפתרון:

f'(x)=(1-2\sin x)(1+\sin x)\ge 0 \ \text{ב-}\ -\tfrac{\pi}{2}\le x\le\tfrac{\pi}{6}

הגרף של $f'$ מעל הציר

S=f\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-f\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)

המשפט היסודי

=\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac32-0=\tfrac{3\sqrt3}{4}\approx 1.30

$S=\frac{3\sqrt3}{4}\approx 1.30$ . $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0\cdot 0=0$ . הבדיקה שהגרף של $f'$ מעל הציר בכל הקטע היא חלק מהתשובה: אחרת צריך לפצל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=\cos 2x-2\sin x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ (הפונקציה של שאלה 1). לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ בדיוק שני פתרונות?

$-3<k<\frac32$
$-3<k<1$
$-3\le k\le 1$
$-3<k<1$ או $k=\frac32$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $-3<k<1$ או $k=\frac32$

הפתרון:

1\searrow -3\nearrow\tfrac32\searrow 1\nearrow\tfrac32\searrow 1

הערכים לאורך הקטע

-3<k<1

רק הירידה אל $-3$ והעלייה ממנה

k=\tfrac32

שתי נקודות המקסימום

הנכונה: $-3<k<1$ או $k=\frac32$ . ב- $k=1$ יש ארבעה פתרונות, כי $x=0$ ו- $x=2\pi$ נכללים בקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה מלאה בקטע

2 — זוגיות ופרמטר מקיצון

3 — מנה: אסימפטוטה או «חור»

4 — איזה גרף הוא של f′f'f′, ומה השטח

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

4 — איזה גרף הוא של $f'$ , ומה השטח