תנועה הרמונית ותופעות מחזוריות · חקירת פונקציות טריגונומטריות · כיתה י״א

משקולת תלויה על קפיץ. מושכים אותה $3$ ס״מ למטה ומשחררים. היא עולה ויורדת סביב נקודת שיווי המשקל, שוב ושוב. בגרף: המיקום $x(t)$ (רציף) והמהירות $v(t)$ (מקווקו). $t$ בשניות.

מיקום ומהירות של המשקולת

x(t)
v(t)

x(t)=3\sin 2t

ס״מ ו-

v(t)=6\cos 2t

ס״מ לשנייה. כשהמשקולת בקצה (

x=3

) המהירות אפס. כשהיא עוברת בנקודת שיווי המשקל (

x=0

) המהירות הגדולה ביותר.

לפי הגרף: מה המהירות של המשקולת ברגע שבו היא בנקודה הגבוהה ביותר, $x=3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

אפס. בקצה המשקולת עוצרת לרגע ומשנה כיוון. בגרף, הגרף המקווקו חוצה את ציר ה- $t$ בדיוק שם.

המהירות והתאוצה הן נגזרות

x(t)=A\sin(\omega t)

מיקום: $A$ היא האמפליטודה, המרחק הגדול ביותר מנקודת שיווי המשקל

\begin{aligned}v(t) &= x'(t) \\ &= A\omega\cos(\omega t)\end{aligned}

מהירות: נגזרת המיקום

\begin{aligned}a(t) &= v'(t) \\ &= -A\omega^2\sin(\omega t) \\ &= -\omega^2x(t)\end{aligned}

תאוצה: נגזרת המהירות, תמיד בכיוון הפוך למיקום

T=\frac{2\pi}{\omega}

זמן מחזור: הזמן של תנודה שלמה

תנועה שבה $a(t)=-\omega^2x(t)$ נקראת תנועה הרמונית. שלוש מסקנות נובעות מהנוסחאות. המהירות הגדולה ביותר היא $A\omega$ , והיא מתקבלת בנקודת שיווי המשקל. בקצוות ( $x=\pm A$ ) המהירות $0$ . התאוצה הגדולה ביותר, $A\omega^2$ , מתקבלת דווקא בקצוות.

גוף נע לפי $x(t)=4\cos(\pi t)$ . מהו זמן המחזור, ומהי המהירות הגדולה ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

$T=\frac{2\pi}{\pi}=2$ שניות. $v(t)=-4\pi\sin(\pi t)$ , ולכן המהירות הגדולה ביותר (בערך מוחלט) היא $4\pi\approx 12.57$ .

קצב שינוי של תופעה מחזורית

גאות ושפל בנמל אשדוד

גובה המים בנמל (במטרים) הוא $h(t)=3+2\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ , כאשר $t$ בשעות מחצות. מתי המים עולים הכי מהר בין $t=0$ ל- $t=12$ , ובאיזה קצב?

\begin{aligned}h'(t) &= 2\cdot\tfrac{\pi}{6}\cos\left(\tfrac{\pi}{6}t\right) \\ &= \tfrac{\pi}{3}\cos\left(\tfrac{\pi}{6}t\right)\end{aligned}

קצב השינוי הוא הנגזרת

\begin{aligned}\cos\left(\tfrac{\pi}{6}t\right) &= 1 \Rightarrow t \\ &= 0 \\ \ 12\end{aligned}

הקצב הגדול ביותר

h'(0)=\tfrac{\pi}{3}\approx 1.05

מטר לשעה

h(0)=3

באותו רגע המים בדיוק בגובה האמצע

שלוש טעויות בתנועה הרמונית.

v_{\max}=A

v_{\max}=A\omega

$A$ הוא מרחק, לא מהירות. הגזירה מוציאה את $\omega$ החוצה.

\begin{aligned}x(t) &= A \Rightarrow v \\ &= A\omega\end{aligned}

\begin{aligned}x(t) &= A \Rightarrow v \\ &= 0\end{aligned}

בקצה התנועה הגוף עוצר לרגע ומשנה כיוון.

T=\frac{\omega}{2\pi}

T=\frac{2\pi}{\omega}

$\omega$ גדול יותר פירושו תנודה מהירה יותר, כלומר זמן מחזור קצר יותר.

ברדיאנים בלבד: $t$ בשניות, $\omega$ ברדיאנים לשנייה. הנוסחה $v=A\omega\cos(\omega t)$ נכונה רק כך.

תרגילים

תרגיל 1

גוף נע לפי $x(t)=5\sin(4t)$ , כאשר $t$ בשניות. מהו זמן המחזור? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5708

הפתרון:

\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{\omega} \\ &= \frac{2\pi}{4} \\ &= \frac{\pi}{2}\approx 1.57\end{aligned}

$\omega=4$

$T=\frac{\pi}{2}\approx 1.57$ שניות. מי שעונה $\frac{4}{2\pi}$ הפך את השבר: זה מספר התנודות בשנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

גוף נע לפי $x(t)=5\sin(4t)$ ס״מ, כאשר $t$ בשניות. מהי המהירות הגדולה ביותר של הגוף (בס״מ לשנייה)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

v(t)=20\cos(4t)

גוזרים: $5\cdot 4$

|v|\le 20

הקוסינוס בין $-1$ ל- $1$

$20$ ס״מ לשנייה, $A\omega=5\cdot 4$ . מי שעונה $5$ בלבד נתן את המרחק הגדול ביותר, לא את המהירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

גוף נע לפי $x(t)=2\cos(3t)$ . מהי המהירות שלו $v(t)$ ?

$6\sin(3t)$
$-2\sin(3t)$
$-6\sin(3t)$
$-18\cos(3t)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $-6\sin(3t)$

הפתרון:

\begin{aligned}v(t) &= x'(t) \\ &= 2\cdot(-\sin 3t)\cdot 3\end{aligned}

שרשרת

הנכונה: $-6\sin(3t)$ . $-18\cos 3t$ היא התאוצה, נגזרת שנייה. $-2\sin 3t$ שוכחת את הנגזרת הפנימית $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גוף נע לפי $x(t)=6\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ מטר, $t$ בשניות. מהי המהירות שלו ברגע $t=\frac{2}{3}$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.7124

הפתרון:

\begin{aligned}v(t) &= 6\cdot\tfrac{\pi}{2}\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right) \\ &= 3\pi\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\end{aligned}

גוזרים

\begin{aligned}v\left(\tfrac23\right) &= 3\pi\cos\tfrac{\pi}{3} \\ &= \tfrac{3\pi}{2}\approx 4.71\end{aligned}

מציבים

$v\approx 4.71$ מטר לשנייה. הזווית היא $\frac{\pi}{2}\cdot\frac23=\frac{\pi}{3}$ ברדיאנים. במחשבון במצב מעלות יוצא מספר אחר לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: אם $x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$ , אז $x''(t)=-\omega^2x(t)$ לכל $t$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x'(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi)

גזירה ראשונה

\begin{aligned}x''(t) &= -A\omega^2\sin(\omega t+\varphi) \\ &= -\omega^2x(t)\end{aligned}

גזירה שנייה

הטענה נכונה. ההזזה $\varphi$ לא משנה את הקשר: בכל תנועה הרמונית התאוצה פרופורציונלית למיקום, בסימן הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

גובה המים בנמל הוא $h(t)=3+2\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ מטר, כאשר $t$ בשעות מחצות. השלימו.

גובה מרבי: ____ מטר ; בפעם הראשונה בשעה $t=$ ____ ; זמן מחזור: ____ שעות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גובה מרבי: 5 מטר ; בפעם הראשונה בשעה $t=$ 3 ; זמן מחזור: 12 שעות

הפתרון:

\begin{aligned}\sin\left(\tfrac{\pi}{6}t\right) &= 1 \Rightarrow h \\ &= 3+2 \\ &= 5\end{aligned}

הגובה המרבי

\begin{aligned}\tfrac{\pi}{6}t &= \tfrac{\pi}{2} \Rightarrow t \\ &= 3\end{aligned}

בפעם הראשונה

\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{\pi/6} \\ &= 12\end{aligned}

זמן המחזור

$5$ מטר בשעה $3$ , ומחזור של $12$ שעות. מי שעונה $T=\frac{\pi}{6}$ כתב את $\omega$ במקום את $T$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גובה המים בנמל הוא $h(t)=3+2\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ מטר, כאשר $t$ בשעות. מהו קצב השינוי של גובה המים בשעה $t=4$ (במטר לשעה)? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.5236

הפתרון:

h'(t)=\tfrac{\pi}{3}\cos\left(\tfrac{\pi}{6}t\right)

הנגזרת

\begin{aligned}h'(4) &= \tfrac{\pi}{3}\cos\tfrac{2\pi}{3} \\ &= -\tfrac{\pi}{6}\approx -0.52\end{aligned}

מציבים

$h'(4)\approx-0.52$ : המים יורדים בחצי מטר לשעה בערך. הסימן השלילי הוא חלק מהתשובה. $h(4)$ הוא הגובה, לא הקצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

גובה המים בנמל הוא $h(t)=3+2\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ מטר, $0\le t\le 12$ . באיזו שעה המים יורדים הכי מהר?

$t=9$
$t=3$
$t=12$
$t=6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $t=6$

הפתרון:

h'(t)=\tfrac{\pi}{3}\cos\left(\tfrac{\pi}{6}t\right)

הקצב

\begin{aligned}\cos\left(\tfrac{\pi}{6}t\right) &= -1 \Rightarrow t \\ &= 6\end{aligned}

הקצב השלילי ביותר

h(6)=3

המים בגובה האמצע

הנכונה: $t=6$ . ב- $t=9$ המים הכי נמוכים, ושם הם מפסיקים לרדת: הקצב $0$ . הירידה המהירה ביותר היא באמצע הדרך, בגובה $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גוף נע לפי $x(t)=4\sin(2t)$ , $t$ בשניות. באיזה רגע $t>0$ מגיע גודל המהירות לערכו הגדול ביותר בפעם הראשונה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5708

הפתרון:

v(t)=8\cos 2t

הנגזרת

\begin{aligned}|v| &= 8 \Rightarrow \cos 2t \\ &= \pm1 \Rightarrow 2t \\ &= \pi\end{aligned}

הפתרון הראשון אחרי $t=0$

\begin{aligned}t &= \tfrac{\pi}{2}\approx 1.57 \\ \qquad x\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= 4\sin\pi \\ &= 0\end{aligned}

הגוף בנקודת שיווי המשקל

$t=\frac{\pi}{2}\approx 1.57$ . גם ב- $t=0$ המהירות מרבית, אבל השאלה מבקשת $t>0$ . מי שפותר $\cos 2t=1$ בלבד מקבל $t=\pi$ , ומפספס את המהירות $-8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גוף נע לפי $x(t)=3\sin(2t)$ ס״מ. כמה סנטימטרים הוא עובר בזמן מחזור אחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{2} \\ &= \pi\end{aligned}

זמן המחזור

0\to 3\to 0\to -3\to 0

מסלול של מחזור אחד

3+3+3+3=12

ארבע פעמים האמפליטודה

\int_0^{\pi}|6\cos 2t|\,dt=12

בדיקה באינטגרל של גודל המהירות

$12$ ס״מ, $4A$ . המיקום אחרי מחזור שלם חוזר ל- $0$ , אבל הדרך שעבר הגוף אינה $0$ . מי שעונה $6$ ספר רק הלוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המהירות והתאוצה הן נגזרות

קצב שינוי של תופעה מחזורית

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev