פרמטר, הגרף של f′ ושטח · חקירת פונקציות טריגונומטריות · כיתה י״א

בשאלת החקירה של הבגרות, החקירה עצמה היא רק ההתחלה. אחריה באים פרמטר שנקבע מנתון, זיהוי הגרף של $f'$ , מספר הפתרונות של $f(x)=k$ ושטח. הנה $f(x)=\sin^2 x$ (רציף) והנגזרת שלה $f'(x)=\sin 2x$ (מקווקו), על אותם צירים.

f(x) = sin²x ו-f′(x) = sin 2x

f
f′

הציר האופקי מסומן בכפולות של

\pi

. בכל מקסימום של

f

הגרף של

f'

חוצה את הציר מלמעלה למטה, ובכל מינימום מלמטה למעלה. במקום שבו

f

עולה הכי מהר,

f'

בשיא.

לפי הגרף: מה הסימן של $f'$ בתחום $\frac{\pi}{2}<x<\pi$ , ומה עושה שם $f$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$f'$ שלילית שם, כי $2x$ נמצא בין $\pi$ ל- $2\pi$ . לכן $f$ יורדת, מ- $1$ ב- $\frac{\pi}{2}$ עד $0$ ב- $\pi$ .

פרמטר מנתון

כל נתון הופך למשוואה. נקודה על הגרף: $f(x_0)=y_0$ . קיצון ב- $x_0$ : $f'(x_0)=0$ . משיק מקביל לישר: $f'(x_0)=m$ . ציר ה- $x$ משיק בקיצון: $f'(x_0)=0$ וגם $f(x_0)=0$ . אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו ובדקו שהקיצון באמת קיצון.

פרמטר מקיצון

לפונקציה $f(x)=a\cos x+\sin 2x$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{6}$ . מצאו את $a$ ואת סוג הקיצון.

f'(x)=-a\sin x+2\cos 2x

הנגזרת

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= -\tfrac{a}{2}+2\cdot\tfrac12 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

קיצון: הנגזרת מתאפסת

\begin{aligned}f'(0) &= 2>0 \\ \qquad f'\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= -2-2 \\ &= -4<0\end{aligned}

בודקים סימנים משני הצדדים

\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= \sqrt3+\tfrac{\sqrt3}{2} \\ &= \tfrac{3\sqrt3}{2}\end{aligned}

מקסימום

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=k$

מעבירים על הסקיצה ישר אופקי $y=k$ וסופרים את נקודות החיתוך. מספר החיתוכים משתנה רק כשהישר עובר בערך קיצון או בערך של קצה. לכן אלה המספרים שקובעים את התשובה.

כמה פתרונות יש למשוואה $\sin^2 x=\frac14$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\sin x=\frac12$ או $\sin x=-\frac12$ . לכל אחת שני פתרונות בסיבוב: $\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$ . ארבעה פתרונות. מי ששוכח את $-\frac12$ מקבל רק שניים.

אינטגרלים מיידיים ושטח

\begin{aligned}\int\sin(ax+b)\,dx &= -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C \qquad \int\cos(ax+b)\,dx \\ &= \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C\end{aligned}

בגזירה $a$ יוצא החוצה ככפל. באינטגרל הוא יוצא כחילוק.

שטח בשני חלקים

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=\sin 2x$ וציר ה- $x$ בקטע $0\le x\le\pi$ .

\sin 2x\ge 0 \ \text{ב-}\ 0\le x\le\tfrac{\pi}{2},\qquad \sin 2x\le 0 \ \text{ב-}\ \tfrac{\pi}{2}\le x\le\pi

הגרף חוצה את הציר ב- $\frac{\pi}{2}$

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx &= \left[-\tfrac12\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &= \tfrac12+\tfrac12 \\ &= 1\end{aligned}

החלק שמעל הציר

\int_{\pi/2}^{\pi}\sin 2x\,dx=-1

החלק שמתחת לציר: אינטגרל שלילי

\begin{aligned}S &= 1+|-1| \\ &= 2\end{aligned}

השטח הוא סכום הערכים המוחלטים

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}f'(x)\,dx &= f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-f(0) \\ &= 1-0\end{aligned}

ובדרך אחרת: $\sin 2x$ היא הנגזרת של $\sin^2 x$

שלוש טעויות באינטגרל ובשטח.

\int\sin x\,dx=\cos x+C

\int\sin x\,dx=-\cos x+C

בדיקה בגזירה: $(-\cos x)'=\sin x$ .

\int\cos 2x\,dx=2\sin 2x+C

\int\cos 2x\,dx=\tfrac12\sin 2x+C

המקדם $2$ מתחלק, הוא לא מוכפל.

\begin{aligned}S &= \int_0^{2\pi}\sin x\,dx \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 2\int_0^{\pi}\sin x\,dx \\ &= 4\end{aligned}

החלק שמעל הציר והחלק שמתחתיו מתקזזים באינטגרל. שטח מחשבים בנפרד בכל חלק.

כשהשאלה מבקשת שטח מתחת לגרף של $f'$ , אין צורך למצוא אינטגרל: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$ . כל מה שצריך הוא ערכי $f$ בשני הקצוות.

תרגילים

תרגיל 1

הגרף של $f(x)=a\sin x+\cos 2x$ עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{2},\,3\right)$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= a\cdot 1+\cos\pi \\ &= a-1\end{aligned}

מציבים את $x$ של הנקודה

\begin{aligned}a-1 &= 3 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

משווים ל- $y$ של הנקודה

$a=4$ . $\cos\pi=-1$ ולא $1$ : מי שטועה בזה מקבל $a=2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לפונקציה $f(x)=a\sin 2x+\cos x$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{6}$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

f'(x)=2a\cos 2x-\sin x

שרשרת: $2$ יוצא מ- $\sin 2x$

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= 2a\cdot\tfrac12-\tfrac12 \\ &= a-\tfrac12 \\ &= 0\end{aligned}

קיצון

a=\tfrac12

$a=0.5$ . מי ששוכח את הנגזרת הפנימית $2$ מקבל $a=1$ . הנתון «קיצון» הוא נתון על $f'$ , לא על $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=2\cos x-\cos 2x+a$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ציר ה- $x$ משיק לגרף של $f$ בנקודת המינימום שלו. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= -2\sin x+2\sin 2x \\ &= 2\sin x(2\cos x-1)\end{aligned}

הנגזרת, מפורקת

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{3} \\ \ \pi \\ \ \tfrac{5\pi}{3} \\ \ 2\pi\end{aligned}

נקודות חשודות וקצוות

\begin{aligned}f(\pi) &= -2-1+a \\ &= a-3\end{aligned}

הערך הקטן ביותר, ב- $x=\pi$

\begin{aligned}a-3 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

משיק לציר ה- $x$ : הערך המינימלי הוא $0$

$a=3$ . בנקודת המינימום $f'=0$ לכל $a$ , ולכן התנאי החדש הוא $f=0$ שם. ב- $x=\frac{\pi}{3}$ יש מקסימום, לא מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

y = f′(x)

בשרטוט הגרף של $f'$ , הנגזרת של פונקציה $f$ , בקטע $0\le x\le 2\pi$ . איזו מהפונקציות יכולה להיות $f$ ?

$f(x)=\cos 2x$
$f(x)=\sin 2x$
$f(x)=\sin^2 x$
$f(x)=\cos^2 x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $f(x)=\cos^2 x$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(0) &= 0 \\ \qquad f'(x)<0 \ \ (0<x<\tfrac{\pi}{2})\end{aligned}

קוראים מהגרף: יוצא מ- $0$ ויורד

\begin{aligned}(\cos^2 x)' &= -2\cos x\sin x \\ &= -\sin 2x\end{aligned}

מתאים: גובה $1$ ומחזור $\pi$

(\cos 2x)'=-2\sin 2x

גובה $2$ : לא מתאים

הנכונה: $\cos^2 x$ . $(\sin^2 x)'=\sin 2x$ מתחילה בעלייה. $(\cos 2x)'=-2\sin 2x$ מגיעה עד $2$ , והגרף מגיע רק עד $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

y = f(x)

בשרטוט הגרף של $f(x)=2\cos x-\cos 2x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=1.2$ בקטע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \ f\left(\tfrac{\pi}{3}\right) &= 1.5 \\ \ f(\pi) &= -3 \\ \ f\left(\tfrac{5\pi}{3}\right) &= 1.5 \\ \ f(2\pi) &= 1\end{aligned}

ערכי הקיצון והקצוות

1<1.2<1.5

הישר עובר בין ערך הקצה לערך המקסימום

4

חיתוך אחד בכל אחד מארבעת הקטעים המונוטוניים

ארבעה פתרונות. הישר $y=1.2$ נמצא מעל ערכי הקצוות ( $1$ ), ולכן הוא חותך גם ליד $x=0$ וגם ליד $x=2\pi$ . מי שסופר רק את הירידה הגדולה עונה $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

y = f(x)

בשרטוט הגרף של $f(x)=2\cos x-\cos 2x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ בדיוק שני פתרונות בקטע?

$-3<k<1$
$-3<k<1.5$
$-3<k<1$ או $k=1.5$
$-3\le k\le 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $-3<k<1$ או $k=1.5$

הפתרון:

-3<k<1

הישר חותך רק את הירידה אל $-3$ ואת העלייה ממנה

k=1.5

הישר עובר בשתי נקודות המקסימום בדיוק

\begin{aligned}k &= 1:\ 4 \\ \qquad 1<k<1.5:\ 4 \\ \qquad k &= -3:\ 1\end{aligned}

הערכים האחרים

הנכונה: $-3<k<1$ או $k=1.5$ . ב- $k=1$ יש ארבעה פתרונות, כי גם הקצוות $x=0$ ו- $x=2\pi$ נחשבים. ו- $k=1.5$ נשכח בקלות: שתי נקודות משיקה הן שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו: $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\int\sin 2x\,dx=-\tfrac12\cos 2x+C

אינטגרל מיידי עם ארגומנט ליניארי

\begin{aligned}\left[-\tfrac12\cos 2x\right]_0^{\pi/4} &= -\tfrac12\cos\tfrac{\pi}{2}+\tfrac12\cos 0 \\ &= 0+\tfrac12\end{aligned}

$0.5$ . מי שכותב $-2\cos 2x$ מכפיל במקום לחלק, ומקבל $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=\sin x$ וציר ה- $x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\int_0^{\pi}\sin x\,dx &= [-\cos x]_0^{\pi} \\ &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

מעל הציר

\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx=-2

מתחת לציר

\begin{aligned}S &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

השטח $4$ . האינטגרל על כל הקטע הוא $0$ , כי שני החלקים מתקזזים. שטח אינו אינטגרל אחד כשהגרף חוצה את הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=\sin^2 x$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישר $x=\frac{\pi}{2}$ , בקטע $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f'(x)=\sin 2x\ge 0 \ \text{ב-}\ 0\le x\le\tfrac{\pi}{2}

הגרף של $f'$ מעל הציר

\begin{aligned}S &= \int_0^{\pi/2}f'(x)\,dx \\ &= f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-f(0) \\ &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

המשפט היסודי

השטח $1$ . לא צריך למצוא אינטגרל של $\sin 2x$ : השטח מתחת ל- $f'$ הוא ההפרש בין ערכי $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הוכיחו או הפריכו: $\int_0^{2\pi}\cos x\,dx=0$ , ולכן השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=\cos x$ וציר ה- $x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ הוא $0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\int_0^{2\pi}\cos x\,dx &= [\sin x]_0^{2\pi} \\ &= 0\end{aligned}

החלק הראשון נכון

\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1

אבל השטח: מחלקים לפי האפסים $\frac{\pi}{2}$ ו- $\frac{3\pi}{2}$

\begin{aligned}S &= 1+2+1 \\ &= 4\end{aligned}

הטענה לא נכונה. האינטגרל אכן $0$ , אבל השטח הוא $4$ . אינטגרל סופר שטח מתחת לציר בסימן שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

פרמטר מנתון

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k

אינטגרלים מיידיים ושטח

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=k$