חקירה בקטע נתון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

פונקציה טריגונומטרית חוזרת על עצמה, ולכן יש לה אינסוף נקודות קיצון. לכן בבגרות היא נחקרת תמיד בקטע נתון. הנה הגרף של f(x)=sin⁡2x−2sin⁡xf(x)=\sin 2x-2\sin x בקטע −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi. לפני כל חישוב, קראו בו את הקיצון, את האפסים ואת הסימטריה.

y = sin 2x − 2 sin x
מקסימוםמינימום(0,0)-1π-0.75π-0.5π-0.25π0π0.25π0.5π0.75π1π-3-2-1123xy
הציר האופקי מסומן בכפולות של π\pi. הגרף סימטרי לראשית. ליד x=0x=0 הוא נעשה שטוח לרגע ובכל זאת ממשיך לרדת.

לפי הגרף: כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש בקטע, ומה קורה לגרף ב-x=0x=0?

להציג את התשובה והפתרון

שלוש: x=−πx=-\pi, x=0x=0 ו-x=πx=\pi. ב-x=0x=0 המשיק אופקי, אבל הגרף יורד לפניו וגם אחריו. זו אינה נקודת קיצון.

שלבי החקירה בקטע

11

תחום הגדרה: שורש, מכנה, tan⁡\tan. מה שנשאר מהקטע הנתון

22

זוגיות ומחזור: מציבים −x-x. פונקציה זוגית או אי-זוגית חוסכת חצי מהעבודה

33

חיתוך עם הצירים: משוואה טריגונומטרית, ורק הפתרונות שבקטע

44

נגזרת ומשוואה f′(x)=0f'(x)=0 בקטע, לרוב אחרי פירוק לגורמים

55

טבלת סימנים, כולל הקצוות של הקטע

66

סקיצה: קצוות, קיצון, אפסים, אסימפטוטות

חקירה מלאה בקטע סימטרי

נתונה f(x)=sin⁡2x−2sin⁡xf(x)=\sin 2x-2\sin x בקטע −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi. חקרו את הפונקציה.

f(−x)=sin⁡(−2x)−2sin⁡(−x)=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \sin(-2x)-2\sin(-x) \\ &= -f(x)\end{aligned}

אי-זוגית: הגרף סימטרי לראשית

f(x)=2sin⁡xcos⁡x−2sin⁡x=2sin⁡x(cos⁡x−1)\begin{aligned}f(x) &= 2\sin x\cos x-2\sin x \\ &= 2\sin x(\cos x-1)\end{aligned}

מפרקים לגורמים

sin⁡x=0 או cos⁡x=1⇒x=−π 0 π\begin{aligned}\sin x &= 0 \ \text{או}\ \cos x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= -\pi \\ \ 0 \\ \ \pi\end{aligned}

אפסים

f′(x)=2cos⁡2x−2cos⁡x=2(2cos⁡2x−cos⁡x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos 2x-2\cos x \\ &= 2(2\cos^2 x-\cos x-1)\end{aligned}

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=2\cos^2 x-1

2(2cos⁡x+1)(cos⁡x−1)=0⇒x=±2π3 0\begin{aligned}2(2\cos x+1)(\cos x-1) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\tfrac{2\pi}{3} \\ \ 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב-cos⁡x\cos x

f(2π3)=−32−3=−332\begin{aligned}f\left(\tfrac{2\pi}{3}\right) &= -\tfrac{\sqrt3}{2}-\sqrt3 \\ &= -\tfrac{3\sqrt3}{2}\end{aligned}

ומאי-הזוגיות: f(−2π3)=332f\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt3}{2}

למה x=0x=0 אינה נקודת קיצון, אף ש-f′(0)=0f'(0)=0?

להציג את התשובה והפתרון

משני צדי x=0x=0 הנגזרת שלילית: cos⁡x−1<0\cos x-1<0 ו-2cos⁡x+1>02\cos x+1>0. הפונקציה יורדת לפני 00 וגם אחריו. נגזרת אפס בלי החלפת סימן אינה קיצון.

זוגיות ומחזור

f(−x)=f(x)f(-x)=f(x): פונקציה זוגית, סימטרית לציר ה-yy. f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x): אי-זוגית, סימטרית לראשית. כדי להוכיח מציבים −x-x ומשתמשים ב-cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x וב-sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x. המחזור של sin⁡(ax+b)\sin(ax+b) ושל cos⁡(ax+b)\cos(ax+b) הוא 2π∣a∣\frac{2\pi}{|a|}, ושל tan⁡(ax+b)\tan(ax+b) הוא π∣a∣\frac{\pi}{|a|}.

האם f(x)=xsin⁡xf(x)=x\sin x זוגית, אי-זוגית, או אף אחת מהן?

להציג את התשובה והפתרון

f(−x)=(−x)sin⁡(−x)=(−x)(−sin⁡x)=xsin⁡x=f(x)f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x). זוגית. מכפלה של שתי פונקציות אי-זוגיות היא זוגית.

אסימפטוטה אנכית או «חור»

tan⁡x\tan x, ומנה שבמכנה שלה cos⁡x\cos x או sin⁡x\sin x, אינן מוגדרות כשהמכנה מתאפס. בכל נקודה כזאת בודקים את המונה. אם המונה אינו מתאפס, יש אסימפטוטה אנכית. אם גם המונה מתאפס, מצמצמים ובודקים שוב: לפעמים נשארת רק נקודה חסרה.

שלוש טעויות בחקירה בקטע.

f′(0)=0⇒קיצוןf'(0)=0 \Rightarrow \text{קיצון}
f′: −→0→−⇒איןf':\ -\to 0\to - \Rightarrow \text{אין}

נגזרת אפס היא רק נקודה חשודה. קיצון יש רק כש-f′f' מחליפה סימן, וטבלת הסימנים מכריעה.

cos⁡x=12⇒x=π3\begin{aligned}\cos x &= \tfrac12 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{3}\end{aligned}
x=π3 או x=5π3\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{3} \ \text{או}\ x \\ &= \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

בכל סיבוב יש שני פתרונות. בודקים את כל הקטע.

f(x)=sin⁡2xcos⁡x: x=π2 אסימפטוטה\begin{aligned}f(x) &= \frac{\sin 2x}{\cos x}: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \ \text{אסימפטוטה}\end{aligned}
2sin⁡xcos⁡xcos⁡x=2sin⁡x\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x

גם המונה מתאפס ב-π2\frac{\pi}{2}. אחרי הצמצום נשארת נקודה חסרה, לא אסימפטוטה.

בקטע סגור, הקצוות שייכים לחקירה: הם נכנסים לטבלת הסימנים, והערכים שם יכולים להיות הגדולים או הקטנים ביותר.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=32cos⁡x+1f(x)=\dfrac{3}{2\cos x+1} בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. באילו נקודות של הקטע ff אינה מוגדרת?

  1. x=π3x=\frac{\pi}{3} ו-x=5π3x=\frac{5\pi}{3}
  2. x=2π3x=\frac{2\pi}{3} ו-x=4π3x=\frac{4\pi}{3}
  3. היא מוגדרת בכל הקטע
  4. x=2π3x=\frac{2\pi}{3} בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=2π3x=\frac{2\pi}{3} ו-x=4π3x=\frac{4\pi}{3}

הפתרון:

2cos⁡x+1=0⇒cos⁡x=−12\begin{aligned}2\cos x+1 &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

המכנה מתאפס

x=2π3 4π3\begin{aligned}x &= \tfrac{2\pi}{3} \\ \ \tfrac{4\pi}{3}\end{aligned}

שני פתרונות בסיבוב

הנכונה: 2π3\frac{2\pi}{3} ו-4π3\frac{4\pi}{3}. π3\frac{\pi}{3} ו-5π3\frac{5\pi}{3} פותרים cos⁡x=+12\cos x=+\frac12: טעות בסימן. «2π3\frac{2\pi}{3} בלבד» שוכחת את הפתרון השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לגרף של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

0≤2x≤4π0\le 2x\le 4\pi

הקטע של הזווית 2x2x

2x=0 π 2π 3π 4π\begin{aligned}2x &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi \\ \ 3\pi \\ \ 4\pi\end{aligned}

sin⁡\sin מתאפס בכפולות של π\pi

x=0 π2 π 3π2 2π\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi \\ \ \tfrac{3\pi}{2} \\ \ 2\pi\end{aligned}

חמש נקודות

חמש נקודות, כולל שני הקצוות. מי שעונה 33 פתר sin⁡x=0\sin x=0 ושכח שהמחזור של sin⁡2x\sin 2x הוא π\pi.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}. חשבו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=0x=0. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3333

הפתרון:

f′(x)=cos⁡x(2+cos⁡x)+sin⁡2x(2+cos⁡x)2=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos x(2+\cos x)+\sin^2 x}{(2+\cos x)^2} \\ &= \frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}\end{aligned}

כלל המנה ו-sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1

f′(0)=39=13≈0.33\begin{aligned}f'(0) &= \frac{3}{9} \\ &= \frac13\approx 0.33\end{aligned}

מציבים

f′(0)=13≈0.33f'(0)=\frac13\approx 0.33. בכלל המנה (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x, ולכן מופיע +sin⁡2x+\sin^2 x. מי שכותב −sin⁡2x-\sin^2 x מקבל אותו ערך ב-x=0x=0, אבל נוסחה שגויה בכל נקודה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מיינו את הפונקציות: זוגית או אי-זוגית?

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • cos⁡3x\cos 3x
  • sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}
  • sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x
  • tan⁡x\tan x
  • xsin⁡xx\sin x
  • x2sin⁡xx^2\sin x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: cos⁡3x\cos 3x — זוגית · xsin⁡xx\sin x — זוגית · sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x} — זוגית · x2sin⁡xx^2\sin x — אי-זוגית · tan⁡x\tan x — אי-זוגית · sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x — אי-זוגית

הפתרון:

sin⁡(−x)=−sin⁡xcos⁡(−x)=cos⁡x\begin{aligned}\sin(-x) &= -\sin x \\ \quad \cos(-x) &= \cos x\end{aligned}

מציבים −x-x

(−x)2sin⁡(−x)=−x2sin⁡x(-x)^2\sin(-x)=-x^2\sin x

זוגית כפול אי-זוגית: אי-זוגית

sin⁡(−x)−x=sin⁡xx\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}

אי-זוגית חלקי אי-זוגית: זוגית

הכלל כמו בכפל סימנים: זוגית כפול זוגית, או אי-זוגית כפול אי-זוגית, נותנת זוגית. אחרת אי-זוגית. sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\frac12\sin 2x, ולכן אי-זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x−2sin⁡xf(x)=x-2\sin x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. נקודות הקיצון הפנימיות הן ב-x=kπx=k\pi. מלאו את kk (אפשר לכתוב שבר, למשל 2/3).

מינימום: x=x= ____ π\pi ; מקסימום: x=x= ____ π\pi

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום: x=x= 0.3333333333333333 π\pi ; מקסימום: x=x= 1.6666666666666667 π\pi

הפתרון:

f′(x)=1−2cos⁡x=0⇒cos⁡x=12\begin{aligned}f'(x) &= 1-2\cos x \\ &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= \tfrac12\end{aligned}

נקודות חשודות

x=π3 5π3\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{3} \\ \ \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

בקטע

f′(0)=−1<0f′(π)=3>0f′(2π)=−1<0\begin{aligned}f'(0) &= -1<0 \\ \quad f'(\pi) &= 3>0 \\ \quad f'(2\pi) &= -1<0\end{aligned}

סימן הנגזרת בכל תחום

min⁡ x=π3max⁡ x=5π3\begin{aligned}\min\ x &= \tfrac{\pi}{3} \\ \qquad \max\ x &= \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

מ-−- ל-++ מינימום, מ-++ ל-−- מקסימום

המינימום ב-π3\frac{\pi}{3} והמקסימום ב-5π3\frac{5\pi}{3}. מי שמחליף ביניהם לא בדק את הסימן של f′f': הפתרונות של cos⁡x=12\cos x=\frac12 לבדם לא אומרים איזה סוג קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה אסימפטוטות אנכיות יש לגרף של f(x)=sin⁡2xcos⁡xf(x)=\dfrac{\sin 2x}{\cos x} בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi?

  1. שתיים: x=π2x=\frac{\pi}{2} ו-x=3π2x=\frac{3\pi}{2}
  2. אין אף אחת
  3. אחת: x=π2x=\frac{\pi}{2}
  4. אחת: x=3π2x=\frac{3\pi}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אין אף אחת

הפתרון:

cos⁡x=0⇒x=π2 3π2\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

הפונקציה אינה מוגדרת שם

2sin⁡xcos⁡xcos⁡x=2sin⁡x\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x

גם המונה מתאפס: מצמצמים

f(x)→2,f(x)→−2f(x)\to 2,\quad f(x)\to -2

הגבולות ב-π2\frac{\pi}{2} וב-3π2\frac{3\pi}{2} סופיים

הנכונה: אין. הגרף הוא y=2sin⁡xy=2\sin x עם שתי נקודות חסרות. מי שעונה «שתיים» בדק רק את המכנה ולא את המונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x} בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. מהו הערך הגדול ביותר של ff? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5774

הפתרון:

f′(x)=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2=0⇒cos⁡x=−12\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2} \\ &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= -\tfrac12\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

x=2π3: f=3232=33≈0.58\begin{aligned}x &= \tfrac{2\pi}{3}:\ f \\ &= \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac32} \\ &= \frac{\sqrt3}{3}\approx 0.58\end{aligned}

מקסימום: f′f' עוברת מ-++ ל-−-

x=4π3: f=−33\begin{aligned}x &= \tfrac{4\pi}{3}:\ f \\ &= -\tfrac{\sqrt3}{3}\end{aligned}

מינימום

f(0)=f(2π)=0\begin{aligned}f(0) &= f(2\pi) \\ &= 0\end{aligned}

הקצוות

הערך הגדול ביותר 33≈0.58\frac{\sqrt3}{3}\approx 0.58, ב-x=2π3x=\frac{2\pi}{3}. הוא לא ב-x=π2x=\frac{\pi}{2}, שם sin⁡x\sin x מקסימלי: גם המכנה משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=x−sin⁡xf(x)=x-\sin x יש נקודת קיצון ב-x=0x=0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f′(x)=1−cos⁡x⇒f′(0)=0\begin{aligned}f'(x) &= 1-\cos x \Rightarrow f'(0) \\ &= 0\end{aligned}

נקודה חשודה

1−cos⁡x≥01-\cos x\ge 0

הנגזרת אינה שלילית אף פעם

f′(−0.1)>0,f′(0.1)>0f'(-0.1)>0,\quad f'(0.1)>0

אין החלפת סימן

הטענה לא נכונה. הפונקציה עולה משני הצדדים של x=0x=0. f′(0)=0f'(0)=0 לבדו אינו מספיק לקיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו המחזור של f(x)=sin⁡2x+cos⁡3xf(x)=\sin 2x+\cos 3x?

  1. 2π2\pi
  2. 2π3\frac{2\pi}{3}
  3. π\pi
  4. 6π6\pi
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2π2\pi

הפתרון:

T1=2π2=πT2=2π3\begin{aligned}T_1 &= \tfrac{2\pi}{2} \\ &= \pi \\ \qquad T_2 &= \tfrac{2\pi}{3}\end{aligned}

המחזור של כל מחובר

2π=2T1=3T2\begin{aligned}2\pi &= 2T_1 \\ &= 3T_2\end{aligned}

הכפולה המשותפת הקטנה ביותר

הנכונה: 2π2\pi. צריך מספר ששני הגלים חוזרים בו יחד: 2π2\pi הוא שני מחזורים של הראשון ושלושה של השני. 6π6\pi הוא מכפלה ולא הכפולה הקטנה ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=2sin⁡x+xf(x)=2\sin x+x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. באיזה תחום הפונקציה יורדת?

  1. 2π3<x<4π3\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}
  2. 0<x<2π30<x<\frac{2\pi}{3}
  3. π2<x<3π2\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}
  4. π3<x<5π3\frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2π3<x<4π3\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}

הפתרון:

f′(x)=2cos⁡x+1<0⇒cos⁡x<−12f'(x)=2\cos x+1<0 \Rightarrow \cos x<-\tfrac12

יורדת כשהנגזרת שלילית

2π3<x<4π3\tfrac{2\pi}{3}<x<\tfrac{4\pi}{3}

הקשת שבה cos⁡x<−12\cos x<-\frac12

הנכונה: 2π3<x<4π3\frac{2\pi}{3}<x<\frac{4\pi}{3}. π2<x<3π2\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2} הוא התחום שבו cos⁡x<0\cos x<0, ושם שוכחים את המחובר +1+1 בנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת