גזירת פונקציות טריגונומטריות מורכבות · חקירת פונקציות טריגונומטריות · כיתה י״א

הסתכלו על הגל $y=\sin x$ לפני כל נוסחה. איפה הוא עולה הכי תלול? איפה הוא שטוח לרגע? עכשיו השוו לגל המקווקו $y=\cos x$ : בכל מקום שבו הגל הרציף שטוח, הגל המקווקו חוצה את ציר ה- $x$ .

y = sin x ו-y = cos x

y = sin x
y = cos x

הציר האופקי מסומן בכפולות של

\pi

. בפסגה (

x=\frac{\pi}{2}

) ובשפל (

x=\frac{3\pi}{2}

) של

\sin x

הערך של

\cos x

הוא

0

. ב-

x=0

, שם

\sin x

עולה הכי מהר,

\cos x

מגיע ל-

1

: הגל המקווקו הוא השיפוע של הגל הרציף.

לפי הגרף: מה השיפוע של $y=\sin x$ בנקודה $x=\pi$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=\pi$ הגל יורד הכי תלול, ו- $\cos\pi=-1$ . השיפוע הוא $-1$ : המשיק שם יורד בזווית של $45^\circ$ .

רדיאנים, ושלוש נוסחאות יסוד

בחשבון דיפרנציאלי הזווית נמדדת ברדיאנים: $\pi$ רדיאנים הם $180^\circ$ , ו- $\frac{\pi}{6}$ הם $30^\circ$ . רק ברדיאנים מתקיים הגבול $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ , ועליו נשענת הנוסחה $(\sin x)'=\cos x$ . במעלות היה מופיע המקדם $\frac{\pi}{180}$ בכל נגזרת.

\begin{aligned}(\sin x)' &= \cos x \qquad (\cos x)' \\ &= -\sin x \qquad (\tan x)' \\ &= \frac{1}{\cos^2 x}\end{aligned}

שלוש הנוסחאות נמצאות בדף הנוסחאות. המינוס בנגזרת של $\cos x$ הוא מקור רוב הטעויות.

הראו בעזרת כלל המנה ש- $(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$ .

להציג את התשובה והפתרון

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ , ולכן $(\tan x)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}$ . הזהות $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ סוגרת את החישוב.

ארגומנט ליניארי, חזקה ושורש

(\sin(ax+b))'=a\cos(ax+b)

הנגזרת הפנימית $a$ יוצאת החוצה כמקדם

(\cos(ax+b))'=-a\sin(ax+b)

גם כאן $a$ בחוץ, והמינוס נשאר

\begin{aligned}(\sin^2 x)' &= 2\sin x\cos x \\ &= \sin 2x\end{aligned}

שרשרת: החזקה היא הפונקציה החיצונית, הסינוס הוא הפנימית

\left(\sqrt{\cos x}\right)'=\frac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x}}

שורש של פונקציה טריגונומטרית: $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ כפול $u'$

משוואת משיק לפונקציה שהיא מכפלה

מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f(x)=x\cos 2x$ בנקודה שבה $x=\frac{\pi}{4}$ .

\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{4}\right) &= \tfrac{\pi}{4}\cos\tfrac{\pi}{2} \\ &= 0\end{aligned}

נקודת ההשקה: $\left(\frac{\pi}{4},\,0\right)$

f'(x)=\cos 2x-2x\sin 2x

כלל המכפלה, ובגורם השני שרשרת: $(\cos 2x)'=-2\sin 2x$

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{4}\right) &= \cos\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{2}\sin\tfrac{\pi}{2} \\ &= -\tfrac{\pi}{2}\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y &= -\tfrac{\pi}{2}\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right) \\ &= -\tfrac{\pi}{2}x+\tfrac{\pi^2}{8}\end{aligned}

משוואת המשיק

שלוש טעויות גזירה שחוזרות בבגרות.

(\cos 3x)'=-\sin 3x

(\cos 3x)'=-3\sin 3x

נשכחה הנגזרת הפנימית $3$ .

(\sin^2 x)'=2\cos x

(\sin^2 x)'=2\sin x\cos x

גוזרים את החזקה וגם את הסינוס שבתוכה.

\begin{aligned}f(x) &= \sin x \Rightarrow f'(30) \\ &= \cos 30^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{6}\right) &= \cos\tfrac{\pi}{6} \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

הנוסחאות נכונות רק ברדיאנים. $30^\circ$ הם $\frac{\pi}{6}$ , ו- $f'(30)$ הוא ערך בנקודה אחרת לגמרי.

לפני שגוזרים, שאלו על הביטוי: מכפלה? מנה? שרשרת? ואם יש שרשרת, כמה שכבות יש בה. ב- $\sin^2(3x)$ יש שלוש: חזקה, סינוס, $3x$ .

תרגילים

תרגיל 1

מהי הנגזרת של $f(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$ ?

$3\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$
$3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$
$\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$
$-3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$

הפתרון:

(\sin u)'=\cos u\cdot u'

שרשרת

\begin{aligned}u &= 3x-\tfrac{\pi}{4} \Rightarrow u' \\ &= 3\end{aligned}

הנגזרת הפנימית

הנכונה: $3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$ . הקבוע $-\frac{\pi}{4}$ אינו משפיע על הנגזרת הפנימית. מי שבחר $\cos(\dots)$ בלי $3$ שכח את השרשרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי הנגזרת של $f(x)=\tan 2x$ ?

$-\dfrac{2}{\cos^2 2x}$
$\dfrac{2}{\cos^2 2x}$
$\dfrac{2}{\sin^2 2x}$
$\dfrac{1}{\cos^2 2x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\dfrac{2}{\cos^2 2x}$

הפתרון:

(\tan u)'=\frac{u'}{\cos^2 u}

הנוסחה עם שרשרת

\begin{aligned}u &= 2x \Rightarrow u' \\ &= 2\end{aligned}

הנכונה: $\frac{2}{\cos^2 2x}$ . הנגזרת של $\tan$ חיובית תמיד: אין בה מינוס, ובמכנה מופיע $\cos$ ולא $\sin$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\cos^2 x$ . חשבו את $f'\left(\frac{\pi}{12}\right)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.5

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x\cdot(-\sin x) \\ &= -\sin 2x\end{aligned}

שרשרת, ואז זהות הזווית הכפולה

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{12}\right) &= -\sin\tfrac{\pi}{6} \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

מציבים

$f'\left(\frac{\pi}{12}\right)=-0.5$ . בלי הזהות $2\sin x\cos x=\sin 2x$ צריך לחשב $\sin\frac{\pi}{12}$ , שאינו ערך מוכר. המינוס בא מהנגזרת של $\cos x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=x\sin x$ . חשבו את $f'(\pi)$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3.14

הפתרון:

f'(x)=\sin x+x\cos x

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(\pi) &= 0+\pi\cdot(-1) \\ &= -\pi\approx -3.14\end{aligned}

$f'(\pi)=-\pi\approx-3.14$ . מי שכתב $f'(x)=\cos x$ גזר רק גורם אחד, וקיבל $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהי הנגזרת של $f(x)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ (בתחום שבו $\cos x\neq -1$ )?

$\dfrac{1}{1+\cos x}$
$-\dfrac{1}{1+\cos x}$
$-\dfrac{\cos x}{\sin x}$
$\dfrac{\cos x}{1+\cos x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\dfrac{1}{1+\cos x}$

הפתרון:

f'(x)=\frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x\cdot(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}

כלל המנה

=\frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}=\frac{\cos x+1}{(1+\cos x)^2}

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

=\frac{1}{1+\cos x}

מצמצמים

הנכונה: $\frac{1}{1+\cos x}$ . $-\frac{\cos x}{\sin x}$ מתקבל כשגוזרים מונה ומכנה בנפרד, וזה אסור. בלי הזהות הפיתגורית הצמצום לא נראה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=\sqrt{5-4\cos x}$ . חשבו את $f'\left(\frac{\pi}{3}\right)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4\sin x}{2\sqrt{5-4\cos x}} \\ &= \frac{2\sin x}{\sqrt{5-4\cos x}}\end{aligned}

שורש של פונקציה: הנגזרת הפנימית היא $4\sin x$

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{\pi}{3}\right) &= \frac{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt{5-2}} \\ &= \frac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=1$ . הנגזרת של $-4\cos x$ היא $+4\sin x$ : שני מינוסים. מי שמאבד אחד מהם מקבל $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f(x)=2\sin x+\cos 2x$ בנקודה שבה $x=0$ .

$y=$ ____ $x+$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=$ 2 $x+$ 1

הפתרון:

\begin{aligned}f(0) &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה $(0,\,1)$

\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x-2\sin 2x \Rightarrow f'(0) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y-1 &= 2(x-0) \Rightarrow y \\ &= 2x+1\end{aligned}

$y=2x+1$ . הנקודה נלקחת מ- $f$ והשיפוע מ- $f'$ . $\cos 0=1$ ולא $0$ : מי שמחליף ביניהם מקבל $y=2x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: הנגזרת של $f(x)=\sin^2 x+\cos^2 x$ היא $0$ לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2\sin x\cos x+2\cos x(-\sin x) \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים כל מחובר בשרשרת

\sin^2 x+\cos^2 x=1

ובלי לגזור: הפונקציה קבועה

הטענה נכונה. $f(x)=1$ לכל $x$ , ונגזרת של קבוע היא $0$ . הגזירה מאשרת את הזהות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

$\sin 2x$
$\cos\frac{x}{2}$
$\tan(x+1)$
$\sin^3 x$

$-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$
$\frac{1}{\cos^2(x+1)}$
$2\cos 2x$
$3\sin^2 x\cos x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\sin 2x$ — $2\cos 2x$ · $\cos\frac{x}{2}$ — $-\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$ · $\tan(x+1)$ — $\frac{1}{\cos^2(x+1)}$ · $\sin^3 x$ — $3\sin^2 x\cos x$

הפתרון:

(\cos\tfrac{x}{2})'=-\sin\tfrac{x}{2}\cdot\tfrac{1}{2}

הנגזרת הפנימית היא $\frac12$

(\sin^3 x)'=3\sin^2 x\cdot\cos x

החזקה בחוץ, הסינוס בפנים

ב- $\tan(x+1)$ הנגזרת הפנימית היא $1$ , ולכן אין מקדם. ב- $\sin^3 x$ שוכחים לעתים את $\cos x$ , הנגזרת של הפונקציה הפנימית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x)=x+\cos 2x$ בקטע $0\le x\le\pi$ . בכמה נקודות בקטע המשיק לגרף מקביל לישר $y=x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f'(x)=1-2\sin 2x

הנגזרת

\begin{aligned}1-2\sin 2x &= 1 \Rightarrow \sin 2x \\ &= 0\end{aligned}

שיפוע $1$ , כמו הישר

\begin{aligned}0\le 2x\le 2\pi \Rightarrow 2x &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi\end{aligned}

כל הפתרונות בקטע של $2x$

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi\end{aligned}

שלוש נקודות

שלוש נקודות. כש- $x$ עובר על $[0,\pi]$ , הזווית $2x$ עוברת על $[0,2\pi]$ : הקטע מוכפל. מי שפותר $\sin 2x=0$ רק ב- $[0,\pi]$ מאבד את $x=\pi$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

רדיאנים, ושלוש נוסחאות יסוד

ארגומנט ליניארי, חזקה ושורש

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev