תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: נוסחאות הסכום וההפרש, זווית כפולה, סכום למכפלה, משוואות ופישוט. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

חשבו בלי מחשבון: sin⁡20∘cos⁡10∘+cos⁡20∘sin⁡10∘\sin 20^\circ\cos 10^\circ+\cos 20^\circ\sin 10^\circ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

sin⁡(20∘+10∘)=sin⁡30∘\sin(20^\circ+10^\circ)=\sin 30^\circ

סינוס של סכום

=12=\tfrac{1}{2}

זווית מיוחדת

הביטוי הוא נוסחת הסכום כפי שהיא בדף הנוסחאות, רק הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הערך המדויק של cos⁡75∘\cos 75^\circ?

  1. 2−64\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}
  2. 3−12\frac{\sqrt{3}-1}{2}
  3. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
  4. 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

הפתרון:

cos⁡(45∘+30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos 45^\circ\cos 30^\circ-\sin 45^\circ\sin 30^\circ

קוסינוס של סכום

=64−24=\tfrac{\sqrt{6}}{4}-\tfrac{\sqrt{2}}{4}

מציבים

הנכונה: 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} שכח את המינוס בקוסינוס של סכום. 2−64\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} שלילי, אבל 75∘75^\circ חדה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון cos⁡α=0.8\cos\alpha=0.8. חשבו את cos⁡2α\cos 2\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.28

הפתרון:

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1

הצורה עם cos⁡α\cos\alpha

=2⋅0.64−1=0.28=2\cdot 0.64-1=0.28

מציבים

מי שקיבל 0.60.6 כתב 2cos⁡α−12\cos\alpha-1, בלי הריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

חשבו את sin⁡105∘−sin⁡15∘\sin 105^\circ-\sin 15^\circ. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.71

הפתרון:

2cos⁡120∘2sin⁡90∘2=2cos⁡60∘sin⁡45∘2\cos\frac{120^\circ}{2}\sin\frac{90^\circ}{2}=2\cos 60^\circ\sin 45^\circ

הפרש סינוסים

=2⋅12⋅22=22≈0.71=2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.71

זוויות מיוחדות

התשובה המדויקת היא 22\frac{\sqrt{2}}{2}. בהפרש סינוסים הקוסינוס מקבל את הזווית האמצעית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו את המשוואה cos⁡2x=3cos⁡x−2\cos 2x=3\cos x-2 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ. מהו הפתרון הגדול, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 300

הפתרון:

2cos⁡2x−1=3cos⁡x−2 ⇒ 2cos⁡2x−3cos⁡x+1=0\begin{aligned}2\cos^2 x-1 &= 3\cos x-2 \ \Rightarrow \ 2\cos^2 x-3\cos x+1 \\ &= 0\end{aligned}

הצורה עם cos⁡x\cos x

(2cos⁡x−1)(cos⁡x−1)=0(2\cos x-1)(\cos x-1)=0

פירוק

x=60∘ 300∘ 0∘\begin{aligned}x &= 60^\circ \\ \ 300^\circ \\ \ 0^\circ\end{aligned}

cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} או cos⁡x=1\cos x=1

הגדול הוא 300∘300^\circ, מ-cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} ברביע הרביעי. מי שענה 60∘60^\circ שכח את −60∘+360∘-60^\circ+360^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פשטו את 1+cos⁡2xsin⁡2x\frac{1+\cos 2x}{\sin 2x} לכל xx שבו sin⁡2x≠0\sin 2x\neq 0.

  1. tan⁡x\tan x
  2. cos⁡x\cos x
  3. 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}
  4. cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}

הפתרון:

1+cos⁡2x=2cos⁡2x1+\cos 2x=2\cos^2 x

הצורה 2cos⁡2x−12\cos^2 x-1

2cos⁡2x2sin⁡xcos⁡x=cos⁡xsin⁡x\frac{2\cos^2 x}{2\sin x\cos x}=\frac{\cos x}{\sin x}

מצמצמים

הנכונה: cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x}. tan⁡x\tan x מתקבל כשה-1+cos⁡2x1+\cos 2x נמצא במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: למשוואה sin⁡x+cos⁡x=1.5\sin x+\cos x=1.5 יש פתרון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(sin⁡x+cos⁡x)2=1+sin⁡2x≤2(\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x\le 2

זווית כפולה

sin⁡x+cos⁡x≤2≈1.41<1.5\sin x+\cos x\le\sqrt{2}\approx 1.41<1.5

הוצאת שורש

הטענה אינה נכונה. כל אחד מהמחוברים יכול להגיע ל-11, אבל לא באותה זווית. הערך הגדול ביותר של הסכום הוא 2\sqrt{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

חשבו בלי מחשבון: tan⁡15∘+tan⁡75∘\tan 15^\circ+\tan 75^\circ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

tan⁡15∘=2−3tan⁡75∘=2+3\begin{aligned}\tan 15^\circ &= 2-\sqrt{3} \\ \quad \tan 75^\circ &= 2+\sqrt{3}\end{aligned}

טנגנס של הפרש ושל סכום

(2−3)+(2+3)=4(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4

השורשים מתבטלים

דרך נוספת: sin⁡15∘cos⁡15∘+cos⁡15∘sin⁡15∘=1sin⁡15∘cos⁡15∘=2sin⁡30∘=4\frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}+\frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}=\frac{1}{\sin 15^\circ\cos 15^\circ}=\frac{2}{\sin 30^\circ}=4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡4x+sin⁡2x=0\sin 4x+\sin 2x=0 בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2sin⁡3xcos⁡x=02\sin 3x\cos x=0

סכום סינוסים

sin⁡3x=0: x=πk3 ⇒ 0 π3 2π3 π\begin{aligned}\sin 3x &= 0: \ x \\ &= \tfrac{\pi k}{3} \ \Rightarrow \ 0 \\ \ \tfrac{\pi}{3} \\ \ \tfrac{2\pi}{3} \\ \ \pi\end{aligned}

ארבעה

cos⁡x=0: x=π2\begin{aligned}\cos x &= 0: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2}\end{aligned}

אחד

חמישה. התחום סגור, ולכן 00 ו-π\pi נספרים. הפתרון π2\frac{\pi}{2} מגיע מהגורם cos⁡x\cos x בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון sin⁡2x=23\sin 2x=\frac{2}{3}. חשבו את sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x+\cos^4 x. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.78

הפתרון:

sin⁡4x+cos⁡4x=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2x\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x

השלמה לריבוע

=1−12(2sin⁡xcos⁡x)2=1−12sin⁡22x=1-\tfrac{1}{2}(2\sin x\cos x)^2=1-\tfrac{1}{2}\sin^2 2x

זווית כפולה

=1−12⋅49=79≈0.78=1-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{9}=\tfrac{7}{9}\approx 0.78

מציבים

לא צריך לדעת את xx. הרעיון: a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2, ו-sin⁡2xcos⁡2x=14sin⁡22x\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת