סדרה 3 — לקראת הבגרות · זהויות טריגונומטריות · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: משולש שווה שוקיים ושטח בזווית כפולה, פונקציה שהופכת לפרבולה ב- $\sin x$ , ביטוי שמתגלה כקבוע, ומשוואה עם סכום למכפלה.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. ובסוף כל משוואה בודקים שני דברים: שהערך של $\sin$ או $\cos$ בין $-1$ ל- $1$ , ושהפתרון בתחום ההגדרה של הביטוי המקורי.

תרגילים

תרגיל 1

AB=AC=k

\angle BAC=2\alpha

, והגובה

AD

חוצה את הזווית.

במשולש שווה שוקיים $ABC$ נתון $AB=AC=k$ ו- $\angle BAC=2\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<90^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס $BC$ . א. הביעו את $BC$ באמצעות $k$ ו- $\alpha$ .

$BC=2k\cos\alpha$
$BC=k\sin 2\alpha$
$BC=2k\sin\alpha$
$BC=k\sin\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $BC=2k\sin\alpha$

הפתרון:

\angle BAD=\alpha

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש

BD=k\sin\alpha

במשולש ישר הזווית $ABD$ : הניצב שמול $\alpha$ שווה ליתר כפול $\sin\alpha$

\begin{aligned}BC &= 2BD \\ &= 2k\sin\alpha\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

הנכונה: $2k\sin\alpha$ . $2k\cos\alpha$ הוא $2AD$ — הניצב שליד $\alpha$ . $k\sin 2\alpha$ מערבב את הזווית הכפולה עם הצלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

AB=AC=k

\angle BAC=2\alpha

, והגובה

AD

חוצה את הזווית.

במשולש שווה שוקיים $ABC$ נתון $AB=AC=k$ ו- $\angle BAC=2\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<90^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס $BC$ . ב. הראו כי שטח המשולש הוא $S=\frac{1}{2}k^2\sin 2\alpha$ , וחשבו אותו כאשר $k=6$ ו- $\alpha=15^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AD \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 2k\sin\alpha\cdot k\cos\alpha\end{aligned}

נוסחת שטח משולש: בסיס כפול גובה חלקי 2, עם $AD=k\cos\alpha$

=k^2\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha

זהות הזווית הכפולה

\tfrac{1}{2}\cdot 36\cdot\sin 30^\circ=9

מציבים $k=6$ , $2\alpha=30^\circ$

אותה תוצאה מתקבלת מנוסחת השטח $\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin\angle BAC$ — כי הזווית בראש היא $2\alpha$ . מי שהציב $\sin 15^\circ$ שכח שהזווית כפולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

AB=AC=k

\angle BAC=2\alpha

, והגובה

AD

חוצה את הזווית.

במשולש שווה שוקיים $ABC$ נתון $AB=AC=k$ ו- $\angle BAC=2\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<90^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס $BC$ . ג. נתון ששטח המשולש הוא $\frac{k^2}{4}$ . מצאו את שני הערכים האפשריים של $\alpha$ , במעלות, מהקטן לגדול.

$\alpha=$ ____ או $\alpha=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\alpha=$ 15 או $\alpha=$ 75

הפתרון:

\begin{aligned}\tfrac{1}{2}k^2\sin 2\alpha &= \tfrac{k^2}{4} \ \Rightarrow \ \sin 2\alpha \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

השטח מסעיף ב, ומחלקים ב- $k^2>0$

\begin{aligned}0^\circ<2\alpha<180^\circ \ \Rightarrow \ 2\alpha &= 30^\circ \ \text{או} \ 2\alpha \\ &= 150^\circ\end{aligned}

לסינוס שתי זוויות בחצי המעגל העליון

\begin{aligned}\alpha &= 15^\circ \ \text{או} \ \alpha \\ &= 75^\circ\end{aligned}

שתיהן בתחום

שני משולשים שונים עם אותו שטח: זווית ראש של $30^\circ$ או של $150^\circ$ . מי שמצא רק $15^\circ$ שכח את הזווית הקהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה $f(x)=\cos 2x+2\sin x$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ . א. הראו כי $f(x)=-2\sin^2 x+2\sin x+1$ . כמה נקודות חיתוך יש לגרף של $f$ עם ציר ה- $x$ בתחום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\cos 2x=1-2\sin^2 x

הצורה עם $\sin x$

\begin{aligned}2s^2-2s-1 &= 0 \\ \ s &= \sin x \ \Rightarrow \ s \\ &= \tfrac{1\pm\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

משוואה ריבועית

\begin{aligned}\tfrac{1+\sqrt{3}}{2}\approx 1.37>1 \ \text{נפסל} \\ \qquad \sin x &= \tfrac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.37\end{aligned}

רק ערך אחד בין $-1$ ל- $1$

\sin x\approx -0.37: \ \text{שתי זוויות, ברביע השלישי וברביע הרביעי}

ישר אופקי שלילי פוגש את המעגל פעמיים

שתיים. הערך $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ גדול מ- $1$ ונפסל. מי שספר ארבע לא בדק אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x)=\cos 2x+2\sin x$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ . ב. מצאו את הערך המקסימלי של $f$ בתחום. (היעזרו בצורה מסעיף א.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

\begin{aligned}h(s) &= -2s^2+2s+1 \\ \quad -1\le s\le 1\end{aligned}

$f$ כפונקציה של $s=\sin x$

\begin{aligned}s_0 &= -\tfrac{2}{2\cdot(-2)} \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

קודקוד הפרבולה, והוא בתוך הקטע

\begin{aligned}h\left(\tfrac{1}{2}\right) &= -\tfrac{1}{2}+1+1 \\ &= \tfrac{3}{2}\end{aligned}

הערך המקסימלי

בלי נגזרת: $f$ היא פרבולה הפוכה ב- $\sin x$ . מי שהציב $\sin x=1$ קיבל $1$ — אבל הקודקוד נמצא ב- $\frac{1}{2}$ , לא בקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה $f(x)=\cos 2x+2\sin x$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ . ג. באילו ערכי $x$ בתחום מקבלת $f$ את הערך המקסימלי?

$x=\frac{\pi}{6}$ בלבד
$x=\frac{\pi}{3}$ ו- $x=\frac{2\pi}{3}$
$x=\frac{\pi}{2}$
$x=\frac{\pi}{6}$ ו- $x=\frac{5\pi}{6}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x=\frac{\pi}{6}$ ו- $x=\frac{5\pi}{6}$

הפתרון:

\sin x=\tfrac{1}{2}

המקסימום מסעיף ב

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{5\pi}{6}\end{aligned}

שתי זוויות ב- $0\le x\le 2\pi$

הנכונה: $\frac{\pi}{6}$ ו- $\frac{5\pi}{6}$ . $f$ מקבלת את המקסימום פעמיים. $\frac{\pi}{2}$ הוא המקום שבו $\sin x$ מקסימלי, לא $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון הביטוי $g(x)=\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\cos 3x}{\cos x}$ , המוגדר לכל $x$ שבו $\sin x\neq 0$ ו- $\cos x\neq 0$ . א. הוכיחו או הפריכו: $g(x)=2$ לכל $x$ בתחום ההגדרה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

g(x)=\frac{\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x}{\sin x\cos x}

מכנה משותף

\begin{aligned}\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x &= \sin(3x-x) \\ &= \sin 2x\end{aligned}

סינוס של הפרש, מימין לשמאל

\begin{aligned}\frac{\sin 2x}{\sin x\cos x} &= \frac{2\sin x\cos x}{\sin x\cos x} \\ &= 2\end{aligned}

זווית כפולה

הטענה נכונה. הביטוי נראה תלוי ב- $x$ , אבל הוא קבוע. המפתח: המונה אחרי מכנה משותף הוא נוסחת הפרש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון הביטוי $g(x)=\frac{\sin 3x}{\sin x}-\frac{\cos 3x}{\cos x}$ , המוגדר לכל $x$ שבו $\sin x\neq 0$ ו- $\cos x\neq 0$ . ב. כמה פתרונות יש למשוואה $g(x)=2\cos x$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

\begin{aligned}2 &= 2\cos x \ \Rightarrow \ \cos x \\ &= 1\end{aligned}

לפי סעיף א

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ 2\pi\end{aligned}

הפתרונות בתחום

\begin{aligned}\sin 0 &= \sin 2\pi \\ &= 0\end{aligned}

שם $g$ אינה מוגדרת: שני הפתרונות נפסלים

אין פתרון. $\cos x=1$ דווקא בנקודות שבהן $\sin x=0$ , ושם $g$ לא מוגדרת. תמיד בודקים את התחום של הביטוי המקורי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה המשוואה $\sin 5x-\sin x=\sin 2x$ . א. מהו הפתרון הכללי של המשוואה?

$x=\frac{\pi k}{2}$
$x=\frac{\pi k}{2}$ או $x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}$
$x=\pi k$ או $x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}$
$x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x=\frac{\pi k}{2}$ או $x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}$

הפתרון:

\sin 5x-\sin x=2\cos 3x\sin 2x

הפרש סינוסים

\sin 2x\,(2\cos 3x-1)=0

גורם משותף — לא מחלקים

\begin{aligned}\sin 2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi k}{2}\end{aligned}

$2x=\pi k$

\begin{aligned}\cos 3x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ 3x \\ &= \pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\tfrac{\pi}{9}+\tfrac{2\pi k}{3}\end{aligned}

מחלקים ב- $3$ גם את המחזור

הנכונה: $x=\frac{\pi k}{2}$ או $x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}$ . $x=\pi k$ שכח לחלק ב- $2$ ומאבד את $\frac{\pi}{2}$ . בלי המשפחה $\frac{\pi k}{2}$ חילקו ב- $\sin 2x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה המשוואה $\sin 5x-\sin x=\sin 2x$ . ב. כמה פתרונות יש למשוואה בתחום $0\le x\le\pi$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi k}{2}: \ 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi\end{aligned}

שלושה, עם הקצוות

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{9}+\tfrac{2\pi k}{3}: \ \tfrac{\pi}{9} \\ \ \tfrac{7\pi}{9}\end{aligned}

$k=0,1$

x=-\tfrac{\pi}{9}+\tfrac{2\pi k}{3}: \ \tfrac{5\pi}{9}

$k=1$ ; עם $k=0$ שלילי

שישה: $0, \frac{\pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \pi$ . במשפחה עם $-\frac{\pi}{9}$ , $k=0$ נותן מספר שלילי — מתחילים מ- $k=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev