סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות ברמה בינונית: סימנים לפי רביעים, משוואה ריבועית אחרי זהות, פתרון כללי ברדיאנים, הוכחת זהות, ושרשרת של זוויות כפולות. בכל שאלה שני צעדים לפחות.

בכל משוואה: לא מחלקים בביטוי שעלול להיות 00 — מוציאים אותו כגורם משותף. ובכל ערך נתון: קודם הרביע, ורק אחר כך הסימן.

תרגילים

תרגיל 1

נתון sin⁡α=1213\sin\alpha=\frac{12}{13} ו-90∘<α<180∘90^\circ<\alpha<180^\circ. נתון cos⁡β=0.6\cos\beta=0.6 ו-270∘<β<360∘270^\circ<\beta<360^\circ. חשבו את cos⁡(α−β)\cos(\alpha-\beta). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.97

הפתרון:

cos⁡α=−513sin⁡β=−0.8\begin{aligned}\cos\alpha &= -\tfrac{5}{13} \\ \quad \sin\beta &= -0.8\end{aligned}

הסימנים לפי הרביעים

cos⁡(α−β)=(−513)(0.6)+1213(−0.8)\cos(\alpha-\beta)=\left(-\tfrac{5}{13}\right)(0.6)+\tfrac{12}{13}(-0.8)

קוסינוס של הפרש: פלוס באמצע

=−3−9.613=−12.613≈−0.97=\frac{-3-9.6}{13}=-\frac{12.6}{13}\approx -0.97

מחשבים

שני סימנים שליליים, מרביעים שונים. מי ששכח אחד מהם קיבל 0.510.51 או −0.51-0.51.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון cos⁡α=−0.6\cos\alpha=-0.6 ו-90∘<α<180∘90^\circ<\alpha<180^\circ. השלימו.

sin⁡2α=\sin 2\alpha= ____ , cos⁡2α=\cos 2\alpha= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡2α=\sin 2\alpha= -0.96 , cos⁡2α=\cos 2\alpha= -0.28

הפתרון:

sin⁡α=0.8\sin\alpha=0.8

ברביע השני הסינוס חיובי

sin⁡2α=2⋅0.8⋅(−0.6)=−0.96\begin{aligned}\sin 2\alpha &= 2\cdot 0.8\cdot(-0.6) \\ &= -0.96\end{aligned}

זווית כפולה

cos⁡2α=2⋅0.36−1=−0.28\begin{aligned}\cos 2\alpha &= 2\cdot 0.36-1 \\ &= -0.28\end{aligned}

הצורה עם cos⁡α\cos\alpha

שני הערכים שליליים: 180∘<2α<360∘180^\circ<2\alpha<360^\circ, ו-2α2\alpha ברביע השלישי. בדיקה: 0.962+0.282=10.96^2+0.28^2=1 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו את המשוואה cos⁡2x+3sin⁡x−2=0\cos 2x+3\sin x-2=0 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ. מהו סכום כל הפתרונות, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 270

הפתרון:

1−2sin⁡2x+3sin⁡x−2=0 ⇒ 2sin⁡2x−3sin⁡x+1=0\begin{aligned}1-2\sin^2 x+3\sin x-2 &= 0 \ \Rightarrow \ 2\sin^2 x-3\sin x+1 \\ &= 0\end{aligned}

זווית כפולה עם sin⁡x\sin x

(2sin⁡x−1)(sin⁡x−1)=0(2\sin x-1)(\sin x-1)=0

פירוק

x=30∘ 150∘ 90∘\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 150^\circ \\ \ 90^\circ\end{aligned}

sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} או sin⁡x=1\sin x=1

30∘+150∘+90∘=270∘30^\circ+150^\circ+90^\circ=270^\circ

הסכום

sin⁡x=1\sin x=1 נותן זווית אחת בסיבוב. מי שקיבל 180∘180^\circ שכח את 90∘90^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו הפתרון הכללי של המשוואה sin⁡2x+sin⁡x=0\sin 2x+\sin x=0?

  1. x=πkx=\pi k או x=±2π3+2πkx=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k
  2. x=πkx=\pi k או x=±π3+2πkx=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k
  3. x=2πkx=2\pi k
  4. x=±2π3+2πkx=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א x=πkx=\pi k או x=±2π3+2πkx=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k

הפתרון:

2sin⁡xcos⁡x+sin⁡x=0 ⇒ sin⁡x (2cos⁡x+1)=0\begin{aligned}2\sin x\cos x+\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ \sin x\,(2\cos x+1) \\ &= 0\end{aligned}

זווית כפולה וגורם משותף

sin⁡x=0 ⇒ x=πk\begin{aligned}\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pi k\end{aligned}

המשפחה הראשונה

cos⁡x=−12 ⇒ x=±2π3+2πk\begin{aligned}\cos x &= -\tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k\end{aligned}

המשפחה השנייה

הנכונה: x=πkx=\pi k או x=±2π3+2πkx=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k. ±π3\pm\frac{\pi}{3} מתאים ל-cos⁡x=+12\cos x=+\frac{1}{2} — הסימן נשכח. בלי x=πkx=\pi k חילקו ב-sin⁡x\sin x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו כי sin⁡2xsin⁡x−cos⁡2xcos⁡x=1cos⁡x\frac{\sin 2x}{\sin x}-\frac{\cos 2x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x} לכל xx שבו sin⁡x≠0\sin x\neq 0 ו-cos⁡x≠0\cos x\neq 0.

  • sin⁡x≠0\sin x\neq 0 ו-cos⁡x≠0\cos x\neq 0
  • sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x
  • cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=2\cos^2 x-1

sin⁡2xsin⁡x−cos⁡2xcos⁡x=1cos⁡x\frac{\sin 2x}{\sin x}-\frac{\cos 2x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}

להציג את התשובה והפתרון
  1. sin⁡2xsin⁡x=2cos⁡x\frac{\sin 2x}{\sin x}=2\cos x — זווית כפולה, וצמצום ב-sin⁡x\sin x
  2. cos⁡2xcos⁡x=2cos⁡2x−1cos⁡x\frac{\cos 2x}{\cos x}=\frac{2\cos^2 x-1}{\cos x} — הצורה עם cos⁡x\cos x
  3. 2cos⁡x−2cos⁡2x−1cos⁡x=2cos⁡2x−2cos⁡2x+1cos⁡x2\cos x-\frac{2\cos^2 x-1}{\cos x}=\frac{2\cos^2 x-2\cos^2 x+1}{\cos x} — מכנה משותף cos⁡x\cos x
  4. sin⁡2xsin⁡x−cos⁡2xcos⁡x=1cos⁡x\frac{\sin 2x}{\sin x}-\frac{\cos 2x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x} — האיברים ±2cos⁡2x\pm 2\cos^2 x מתבטלים

הפתרון:

2cos⁡x−2cos⁡2x−1cos⁡x=1cos⁡x2\cos x-\frac{2\cos^2 x-1}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}

מכנה משותף

בחירת הצורה של cos⁡2x\cos 2x היא העיקר: 2cos⁡2x−12\cos^2 x-1 מתאימה למכנה cos⁡x\cos x. המלכודת: לצמצם את cos⁡2x\cos 2x עם cos⁡x\cos x כאילו הם «אותו קוסינוס».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו בלי מחשבון: cos⁡20∘cos⁡40∘cos⁡80∘\cos 20^\circ\cos 40^\circ\cos 80^\circ. (רמז: כפלו וחלקו ב-sin⁡20∘\sin 20^\circ.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

sin⁡20∘cos⁡20∘=12sin⁡40∘\sin 20^\circ\cos 20^\circ=\tfrac{1}{2}\sin 40^\circ

זווית כפולה, פעם ראשונה

12sin⁡40∘cos⁡40∘=14sin⁡80∘\tfrac{1}{2}\sin 40^\circ\cos 40^\circ=\tfrac{1}{4}\sin 80^\circ

פעם שנייה

14sin⁡80∘cos⁡80∘=18sin⁡160∘=18sin⁡20∘\begin{aligned}\tfrac{1}{4}\sin 80^\circ\cos 80^\circ &= \tfrac{1}{8}\sin 160^\circ \\ &= \tfrac{1}{8}\sin 20^\circ\end{aligned}

פעם שלישית, ו-sin⁡160∘=sin⁡20∘\sin 160^\circ=\sin 20^\circ

18sin⁡20∘sin⁡20∘=18\frac{\frac{1}{8}\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ}=\frac{1}{8}

מחלקים ב-sin⁡20∘\sin 20^\circ

הזווית מוכפלת בכל שלב: 20∘,40∘,80∘,160∘20^\circ, 40^\circ, 80^\circ, 160^\circ. הצעד האחרון עובד כי sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: cos⁡15∘−sin⁡15∘=22\cos 15^\circ-\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

cos⁡15∘=6+24sin⁡15∘=6−24\begin{aligned}\cos 15^\circ &= \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\ \quad \sin 15^\circ &= \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{aligned}

הערכים המדויקים

6+2−6+24=224=22\begin{aligned}\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} &= \tfrac{2\sqrt{2}}{4} \\ &= \tfrac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

ההפרש

הטענה נכונה. דרך נוספת: (cos⁡15∘−sin⁡15∘)2=1−sin⁡30∘=12(\cos 15^\circ-\sin 15^\circ)^2=1-\sin 30^\circ=\frac{1}{2}, וההפרש חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בפתרון של sin⁡2x=cos⁡x\sin 2x=\cos x בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

2sin⁡xcos⁡x=cos⁡x2\sin x\cos x=\cos x
2sin⁡x=12\sin x=1
x=30∘ 150∘\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 150^\circ\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2sin⁡x=12\sin x=1 → cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos x\,(2\sin x-1)=0

הפתרון:

cos⁡x (2sin⁡x−1)=0\cos x\,(2\sin x-1)=0

גורם משותף במקום חילוק

cos⁡x=0: x=90∘ 270∘\begin{aligned}\cos x &= 0: \ x \\ &= 90^\circ \\ \ 270^\circ\end{aligned}

הפתרונות שאבדו

x=30∘ 90∘ 150∘ 270∘\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 90^\circ \\ \ 150^\circ \\ \ 270^\circ\end{aligned}

ארבעה פתרונות

השורה השנייה מחלקת ב-cos⁡x\cos x, ומאבדת את 90∘90^\circ ואת 270∘270^\circ. בדיקה: ב-x=90∘x=90^\circ שני האגפים 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה פתרונות יש למשוואה cos⁡3x+cos⁡x=0\cos 3x+\cos x=0 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ\le x\le 180^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2cos⁡2xcos⁡x=02\cos 2x\cos x=0

סכום קוסינוסים

cos⁡2x=0: x=45∘ 135∘\begin{aligned}\cos 2x &= 0: \ x \\ &= 45^\circ \\ \ 135^\circ\end{aligned}

x=45∘+90∘kx=45^\circ+90^\circ k

cos⁡x=0: x=90∘\begin{aligned}\cos x &= 0: \ x \\ &= 90^\circ\end{aligned}

אחד בתחום

שלושה: 45∘,90∘,135∘45^\circ, 90^\circ, 135^\circ. חצי תחום נותן חצי מששת הפתרונות של סיבוב שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון tan⁡α=2\tan\alpha=2 ו-tan⁡(α+β)=1\tan(\alpha+\beta)=1. מצאו את tan⁡β\tan\beta. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.33

הפתרון:

2+t1−2t=1t=tan⁡β\begin{aligned}\frac{2+t}{1-2t} &= 1 \\ \quad t &= \tan\beta\end{aligned}

נוסחת הטנגנס של סכום

2+t=1−2t ⇒ 3t=−1\begin{aligned}2+t &= 1-2t \ \Rightarrow \ 3t \\ &= -1\end{aligned}

כפל במכנה

t=−13≈−0.33t=-\tfrac{1}{3}\approx -0.33

פותרים

דרך נוספת: tan⁡β=tan⁡((α+β)−α)=1−21+2=−13\tan\beta=\tan((\alpha+\beta)-\alpha)=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}. אותה תוצאה, בנוסחת ההפרש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת