סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: נוסחאות הסכום וההפרש, זווית כפולה, סכום למכפלה ומשוואה פשוטה. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: איזו נוסחה מתאימה לצורה שמולי? ביטוי ארוך של סינוסים וקוסינוסים הוא לעתים קרובות נוסחה שנקראת מימין לשמאל.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו בלי מחשבון: sin⁡40∘cos⁡20∘+cos⁡40∘sin⁡20∘\sin 40^\circ\cos 20^\circ+\cos 40^\circ\sin 20^\circ.

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. sin⁡20∘\sin 20^\circ
  3. 11
  4. 12\frac{1}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 32\frac{\sqrt{3}}{2}

הפתרון:

sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α+β)\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)

סינוס של סכום, מימין לשמאל

sin⁡60∘=32\sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}

זווית מיוחדת

הנכונה: 32\frac{\sqrt{3}}{2}. sin⁡20∘\sin 20^\circ מתקבל עם הנוסחה של הפרש, ו-12\frac{1}{2} הוא cos⁡60∘\cos 60^\circ, לא sin⁡60∘\sin 60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו בלי מחשבון: cos⁡50∘cos⁡10∘−sin⁡50∘sin⁡10∘\cos 50^\circ\cos 10^\circ-\sin 50^\circ\sin 10^\circ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α+β)\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)

המינוס באמצע: קוסינוס של סכום

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}

זווית מיוחדת

המינוס באמצע אומר «סכום», לא «הפרש». מי שחישב cos⁡40∘\cos 40^\circ התבלבל בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את cos⁡275∘−sin⁡275∘\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.87

הפתרון:

cos⁡2α−sin⁡2α=cos⁡2α\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha

זווית כפולה

cos⁡150∘=−32≈−0.87\cos 150^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx -0.87

הרביע השני: קוסינוס שלילי

150∘150^\circ ברביע השני, ולכן התוצאה שלילית. בדיקה: sin⁡75∘>cos⁡75∘\sin 75^\circ>\cos 75^\circ, ולכן ההפרש שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון sin⁡α=0.28\sin\alpha=0.28. חשבו את cos⁡2α\cos 2\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8432

הפתרון:

cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha

הצורה עם sin⁡α\sin\alpha בלבד

=1−2⋅0.0784=0.8432=1-2\cdot 0.0784=0.8432

מציבים

אין צורך לדעת את cos⁡α\cos\alpha או את הרביע: הצורה 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha משתמשת רק בנתון. מי שקיבל 0.440.44 כתב 1−2sin⁡α1-2\sin\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באיזה ביטוי אפשר להחליף את cos⁡2α\cos 2\alpha כך שיישאר רק sin⁡α\sin\alpha?

  1. 2sin⁡2α−12\sin^2\alpha-1
  2. 1−2sin⁡α1-2\sin\alpha
  3. 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha
  4. 1−sin⁡2α1-\sin^2\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha

הפתרון:

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=(1−sin⁡2α)−sin⁡2α\begin{aligned}\cos 2\alpha &= \cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\ &= (1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\end{aligned}

מחליפים cos⁡2α\cos^2\alpha

=1−2sin⁡2α=1-2\sin^2\alpha

מכנסים

הנכונה: 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha. 2sin⁡2α−12\sin^2\alpha-1 הפוך בסימן. 1−sin⁡2α1-\sin^2\alpha הוא cos⁡2α\cos^2\alpha, לא cos⁡2α\cos 2\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: לכל α\alpha מתקיים sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

α=90∘: sin⁡180∘=02sin⁡90∘=2\begin{aligned}\alpha &= 90^\circ: \ \sin 180^\circ \\ &= 0 \\ \quad 2\sin 90^\circ &= 2\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה אינה נכונה. הנכון: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha. השוויון מתקיים רק כש-sin⁡α=0\sin\alpha=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לאיזה ביטוי שווה sin⁡7x+sin⁡3x\sin 7x+\sin 3x?

  1. 2sin⁡5xcos⁡2x2\sin 5x\cos 2x
  2. 2cos⁡5xsin⁡2x2\cos 5x\sin 2x
  3. 2sin⁡10xcos⁡4x2\sin 10x\cos 4x
  4. sin⁡10x\sin 10x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2sin⁡5xcos⁡2x2\sin 5x\cos 2x

הפתרון:

7x+3x2=5x7x−3x2=2x\begin{aligned}\frac{7x+3x}{2} &= 5x \\ \quad \frac{7x-3x}{2} &= 2x\end{aligned}

הזווית האמצעית וחצי ההפרש

2sin⁡5xcos⁡2x2\sin 5x\cos 2x

סכום סינוסים

הנכונה: 2sin⁡5xcos⁡2x2\sin 5x\cos 2x. 2cos⁡5xsin⁡2x2\cos 5x\sin 2x הוא ההפרש sin⁡7x−sin⁡3x\sin 7x-\sin 3x. 2sin⁡10xcos⁡4x2\sin 10x\cos 4x לא חילק ב-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון tan⁡α=3\tan\alpha=3 ו-tan⁡β=12\tan\beta=\frac{1}{2}. חשבו את tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

tan⁡(α+β)=3+121−3⋅12\tan(\alpha+\beta)=\frac{3+\frac{1}{2}}{1-3\cdot\frac{1}{2}}

נוסחת הטנגנס של סכום

=3.5−0.5=−7=\frac{3.5}{-0.5}=-7

מחשבים

המכנה שלילי, ולכן התוצאה שלילית אף ששני הטנגנסים חיוביים. מי שענה 3.53.5 חיבר טנגנסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה פתרונות יש למשוואה cos⁡2x=0\cos 2x=0 בתחום 0∘≤x<360∘0^\circ\le x<360^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2x=90∘+180∘k2x=90^\circ+180^\circ k

הפתרון הכללי של cos⁡θ=0\cos\theta=0

x=45∘+90∘k: 45∘ 135∘ 225∘ 315∘\begin{aligned}x &= 45^\circ+90^\circ k: \ 45^\circ \\ \ 135^\circ \\ \ 225^\circ \\ \ 315^\circ\end{aligned}

מחלקים ב-22 גם את המחזור

ארבעה. הזווית 2x2x מסתובבת פעמיים כש-xx מסתובב פעם אחת, ולכן יש פי שניים פתרונות. מי שענה 22 לא חילק את המחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו הערך המדויק של sin⁡165∘\sin 165^\circ?

  1. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
  2. 3−12\frac{\sqrt{3}-1}{2}
  3. 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
  4. −6−24-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

הפתרון:

sin⁡165∘=sin⁡(180∘−15∘)=sin⁡15∘\begin{aligned}\sin 165^\circ &= \sin(180^\circ-15^\circ) \\ &= \sin 15^\circ\end{aligned}

אותו גובה על המעגל

sin⁡(45∘−30∘)=64−24\sin(45^\circ-30^\circ)=\tfrac{\sqrt{6}}{4}-\tfrac{\sqrt{2}}{4}

סינוס של הפרש

הנכונה: 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. ברביע השני הסינוס חיובי, ולכן האפשרות עם המינוס נפסלת. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} הוא sin⁡75∘\sin 75^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת