פותרים יחד · זהויות טריגונומטריות · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: סכום של שתי זוויות, משוואה שבאה בסוף שאלה בגאומטריה, פונקציה שמתפשטת בעזרת זהות, ומשוואה עם סכום למכפלה ברדיאנים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם איזו זהות אתם הייתם בוחרים, ולמה. הבחירה היא חצי מהפתרון.

1 — סכום של שתי זוויות לא מיוחדות

פעילות אינטראקטיבית

נתון $\tan\alpha=\frac{1}{2}$ ו- $\tan\beta=\frac{1}{3}$ , כאשר $\alpha$ ו- $\beta$ זוויות חדות. א. חשבו את $\tan(\alpha+\beta)$ . ב. הוכיחו כי $\alpha+\beta=45^\circ$ .

\begin{aligned}\tan\alpha &= \tfrac{1}{2} \\ \quad \tan\beta &= \tfrac{1}{3} \\ \quad 0^\circ<\alpha \\ \beta<90^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». אף אחת מהזוויות אינה מיוחדת, אבל הסכום שלהן כן.

א. הנוסחה

\tan(\alpha+\beta)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}

נוסחת הטנגנס של סכום.

א. חישוב

=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1

המונה והמכנה שווים.

ב. תחום

\tan\alpha<1 ,\ \tan\beta<1 \ \Rightarrow \ \alpha<45^\circ ,\ \beta<45^\circ

בזוויות חדות הטנגנס עולה, ו- $\tan 45^\circ=1$ .

ב. מסקנה

\begin{aligned}0^\circ<\alpha+\beta<90^\circ \\ \ \tan(\alpha+\beta) &= 1 \ \Rightarrow \ \alpha+\beta \\ &= 45^\circ\end{aligned}

בתחום הזה רק זווית אחת שהטנגנס שלה $1$ .

בלי סעיף ב, $\tan(\alpha+\beta)=1$ היה מתאים גם ל- $225^\circ$ . התחום של הסכום הוא מה שמכריע.

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה היה משתנה אם $\tan\alpha=2$ ו- $\tan\beta=3$ , ושתיהן חדות?

להציג את התשובה והפתרון

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{5}{1-6}=-1$ . עכשיו $\alpha,\beta>45^\circ$ , ולכן $90^\circ<\alpha+\beta<180^\circ$ . הזווית היחידה שם עם טנגנס $-1$ היא $135^\circ$ .

השאלות התאומות: שאלה 1 ושאלה 5 ברשימה למטה.

2 — משוואה בסוף שאלה בגאומטריה

פעילות אינטראקטיבית

שני שטחים ומשוואה ב- $\alpha$

בסוף שאלה בגאומטריה הגעתם לשני שטחים באמצעות $R$ ו- $\alpha$ : $S_1=\frac{1}{2}R^2\sin 2\alpha$ ו- $S_2=\frac{1}{2}R^2\sin\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<90^\circ$ . נתון $S_1=\sqrt{2}\,S_2$ . מצאו את $\alpha$ .

$\alpha=45^\circ$

$\alpha=30^\circ$

$\alpha=60^\circ$

$\alpha=0^\circ$ או $\alpha=45^\circ$

מה עושים קודם?

מבטלים את $\frac{1}{2}R^2$ משני האגפים

להציג את התשובה והפתרון

$R>0$ , ולכן מותר לחלק.

מציבים $R=1$

להציג את התשובה והפתרון

התוצאה נכונה, אבל הנימוק חסר: צריך לומר שמחלקים ב- $R^2\neq 0$ .

\sin 2\alpha=\sqrt{2}\sin\alpha

משוואה עם שתי זוויות: $2\alpha$ ו- $\alpha$ .

איזו זהות?

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

מגיעים לזווית אחת, $\alpha$ .

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

זו אינה זהות. ב- $\alpha=60^\circ$ : $0.87$ מול $1.73$ .

\begin{aligned}2\sin\alpha\cos\alpha-\sqrt{2}\sin\alpha &= 0 \ \Rightarrow \ \sin\alpha\,(2\cos\alpha-\sqrt{2}) \\ &= 0\end{aligned}

גורם משותף.

מה עם $\sin\alpha=0$ ?

נפסל: $0^\circ<\alpha<90^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

זווית במשולש אינה $0^\circ$ .

$\alpha=0^\circ$ הוא פתרון

להציג את התשובה והפתרון

$0^\circ$ אינו בתחום, והשטחים היו $0$ .

\begin{aligned}\cos\alpha &= \tfrac{\sqrt{2}}{2} \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

הזווית החדה היחידה.

להציג את התשובה והפתרון

$\alpha=45^\circ$ . בדיקה: $\sin 90^\circ=1$ ו- $\sqrt{2}\sin 45^\circ=1$ ✓. החילוק ב- $\sin\alpha$ מותר כאן, אבל רק אחרי שמנמקים ש- $\sin\alpha\neq 0$ בתחום.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם היה נתון $S_1=2S_2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha$ , כלומר $\cos\alpha=1$ ו- $\alpha=0^\circ$ — מחוץ לתחום. אין זווית כזו: תמיד $S_1<2S_2$ , כי $\cos\alpha<1$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פונקציה שמתפשטת: «האם הפונקציה מקבלת את הערך?»

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ . א. מצאו את הנקודות שבהן $f$ אינה מוגדרת. ב. הראו כי $f(x)=\cos x+\sin x$ בכל תחום ההגדרה. ג. הראו כי $f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ . ד. האם $f$ מקבלת את הערך $\sqrt{2}$ ?

\begin{aligned}f(x) &= \frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x} \\ \quad 0\le x\le 2\pi\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המכנה קודם: הוא יכריע את סעיף ד.

א.

\begin{aligned}\cos x-\sin x &= 0 \iff \tan x \\ &= 1 \iff x \\ &= \tfrac{\pi}{4} \\ \ \tfrac{5\pi}{4}\end{aligned}

בשתי הנקודות האלה $f$ אינה מוגדרת.

ב.

\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x}=\cos x+\sin x

$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ , הפרש ריבועים, וצמצום.

ג.

\sqrt{2}\left(\sin x\cos\tfrac{\pi}{4}+\cos x\sin\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)

סינוס של סכום, ו- $\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

ד. היכן

\begin{aligned}\sin\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right) &= 1 \iff x \\ &= \tfrac{\pi}{4}+2\pi k\end{aligned}

בתחום: רק $x=\frac{\pi}{4}$ .

ד. מסקנה

x=\tfrac{\pi}{4} \notin D_f

לא. הנקודה היחידה שבה הביטוי שווה ל- $\sqrt{2}$ היא «חור» בגרף.

הגרף של $f$ הוא גל של $\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ עם שני חורים — ושניהם בדיוק בשיא ובשפל. לכן $f$ אינה מקבלת את $\sqrt{2}$ ולא את $-\sqrt{2}$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם $f$ מקבלת את הערך $-\sqrt{2}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$ רק ב- $x=\frac{5\pi}{4}$ , וגם זו נקודה שבה $f$ אינה מוגדרת. כל ערך אחר בין $-\sqrt{2}$ ל- $\sqrt{2}$ מתקבל.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — סכום למכפלה, פתרון כללי ותחום

פעילות אינטראקטיבית

פתרו $\sin 3x+\sin x=\cos x$

פתרו את המשוואה $\sin 3x+\sin x=\cos x$ . כתבו פתרון כללי ברדיאנים, ומצאו את הפתרונות בתחום $0\le x\le\pi$ .

$\frac{\pi}{12} ,\ \frac{5\pi}{12} ,\ \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{12} ,\ \frac{5\pi}{12}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{6} ,\ \frac{\pi}{2} ,\ \frac{5\pi}{6}$

מה עושים עם אגף שמאל?

סכום למכפלה

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{3x+x}{2}=2x$ , $\frac{3x-x}{2}=x$ , ומופיע $\cos x$ — כמו באגף ימין.

$\sin 3x+\sin x=\sin 4x$

להציג את התשובה והפתרון

סכום סינוסים אינו סינוס של סכום.

2\sin 2x\cos x=\cos x

אותו $\cos x$ בשני האגפים.

ועכשיו?

מעבירים אגף ומוציאים $\cos x$

להציג את התשובה והפתרון

כך לא מאבדים פתרונות.

מחלקים ב- $\cos x$

להציג את התשובה והפתרון

מאבדים את $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ .

\cos x\,(2\sin 2x-1)=0

שתי משוואות בסיסיות.

מה הפתרון הכללי של $\sin 2x=\frac{1}{2}$ ?

$x=\frac{\pi}{12}+\pi k$ או $x=\frac{5\pi}{12}+\pi k$

להציג את התשובה והפתרון

$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ או $2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$ , ומחלקים הכל ב- $2$ .

$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ או $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$

להציג את התשובה והפתרון

זה הפתרון של $\sin x=\frac{1}{2}$ . הזווית כאן היא $2x$ .

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2}+\pi k \quad \text{או} \quad x \\ &= \tfrac{\pi}{12}+\pi k \quad \text{או} \quad x \\ &= \tfrac{5\pi}{12}+\pi k\end{aligned}

הפתרון הכללי, עם $\cos x=0$ .

אילו פתרונות בתחום $0\le x\le\pi$ ?

$k=0$ בכל משפחה

להציג את התשובה והפתרון

עם $k=1$ כל המשפחות יוצאות מעל $\pi$ .

$k=0$ ו- $k=1$ בכל משפחה

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{13\pi}{12}>\pi$ .

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{12} \\ \ \tfrac{5\pi}{12} \\ \ \tfrac{\pi}{2}\end{aligned}

שלושה פתרונות.

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2}$ . מי שבחר רק שניים חילק ב- $\cos x$ . מי שבחר $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ שכח שהזווית היא $2x$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה פתרונות יש לאותה משוואה בתחום $0\le x\le 2\pi$ ?

להציג את התשובה והפתרון

שישה: $\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2}$ ועוד $\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{3\pi}{2}$ (עם $k=1$ ). מחזור $\pi$ בכל משפחה — שני סיבובים של חצי מעגל.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

נתון $\tan\alpha=2$ ו- $\tan\beta=3$ , כאשר $\alpha$ ו- $\beta$ זוויות חדות. מצאו את $\alpha+\beta$ במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 135

הפתרון:

\begin{aligned}\tan(\alpha+\beta) &= \frac{2+3}{1-6} \\ &= -1\end{aligned}

נוסחת הטנגנס של סכום

\tan\alpha>1 ,\ \tan\beta>1 \ \Rightarrow \ 90^\circ<\alpha+\beta<180^\circ

כל זווית גדולה מ- $45^\circ$

\alpha+\beta=135^\circ

הזווית היחידה בתחום עם טנגנס $-1$

מי שענה $45^\circ$ לקח את הזווית של המחשבון בלי לבדוק את התחום. הטנגנס שלילי, והסכום קהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסוף שאלה בגאומטריה הגעתם לשטחים $S_1=R^2\sin 2\alpha$ ו- $S_2=R^2\cos\alpha$ , כאשר $0^\circ<\alpha<90^\circ$ . נתון $S_1=S_2$ . מצאו את $\alpha$ במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

2\sin\alpha\cos\alpha=\cos\alpha

מחלקים ב- $R^2>0$ , וזווית כפולה

\cos\alpha\,(2\sin\alpha-1)=0

גורם משותף

\begin{aligned}\cos\alpha\neq 0 \ \Rightarrow \ \sin\alpha &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 30^\circ\end{aligned}

בתחום $\cos\alpha>0$ ; ו- $150^\circ$ אינו חד

שני פתרונות נפסלים בתחום: $\alpha=90^\circ$ (מ- $\cos\alpha=0$ ) ו- $\alpha=150^\circ$ . כותבים את הנימוק, לא רק את התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x}$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ . הוכיחו או הפריכו: $f$ מקבלת את הערך $\sqrt{2}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= \cos x-\sin x \\ \quad \cos x+\sin x\neq 0\end{aligned}

הפרש ריבועים וצמצום

\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)

קוסינוס של סכום

\begin{aligned}\cos\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right) &= 1 \iff x \\ &= \tfrac{7\pi}{4}\end{aligned}

בתחום

\begin{aligned}\cos\tfrac{7\pi}{4}+\sin\tfrac{7\pi}{4} &= \tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 0\end{aligned}

שם המכנה $0$ : $f$ לא מוגדרת

הטענה אינה נכונה. הביטוי $\cos x-\sin x$ מגיע ל- $\sqrt{2}$ רק ב- $x=\frac{7\pi}{4}$ , ושם יש חור בגרף. הפישוט נכון רק בתחום ההגדרה של $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו את המשוואה $\sin 3x-\sin x=\cos 2x$ . כמה פתרונות יש לה בתחום $0\le x\le\pi$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2\cos 2x\sin x=\cos 2x

הפרש סינוסים

\cos 2x\,(2\sin x-1)=0

גורם משותף — לא מחלקים

\begin{aligned}\cos 2x &= 0: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi k}{2} \ \Rightarrow \ \tfrac{\pi}{4} \\ \ \tfrac{3\pi}{4}\end{aligned}

$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k$

\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{1}{2}: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{5\pi}{6}\end{aligned}

שתי זוויות

ארבעה. מי שחילק ב- $\cos 2x$ קיבל רק את $\frac{\pi}{6}$ ו- $\frac{5\pi}{6}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הערך המדויק של $\tan 15^\circ$ ?

$\sqrt{3}-2$
$\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
$2+\sqrt{3}$
$2-\sqrt{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $2-\sqrt{3}$

הפתרון:

\begin{aligned}\tan(45^\circ-30^\circ) &= \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}} \\ &= \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\end{aligned}

טנגנס של הפרש

\begin{aligned}\frac{(3-\sqrt{3})^2}{9-3} &= \frac{12-6\sqrt{3}}{6} \\ &= 2-\sqrt{3}\end{aligned}

מכפילים בצמוד

הנכונה: $2-\sqrt{3}\approx 0.27$ . $\sqrt{3}-2$ שלילי, אבל $15^\circ$ ברביע הראשון. $2+\sqrt{3}$ הוא $\tan 75^\circ$ . $\frac{\sqrt{3}}{3}-1$ חיסר טנגנסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — סכום של שתי זוויות לא מיוחדות

2 — משוואה בסוף שאלה בגאומטריה

3 — פונקציה שמתפשטת: «האם הפונקציה מקבלת את הערך?»

4 — סכום למכפלה, פתרון כללי ותחום

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev