משוואות, הוכחות ופישוט · זהויות טריגונומטריות · כיתה י״א

המשוואה $\cos 2x=\sin x$ מערבת שתי זוויות ושתי פונקציות. זהות אחת הופכת אותה למשוואה ריבועית ב- $\sin x$ , והפתרונות הם $\sin x=\frac{1}{2}$ ו- $\sin x=-1$ . אבל כמה זוויות זה? הישר על המעגל עונה.

פתרו את $\cos 2x=\sin x$ בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

$1-2\sin^2 x=\sin x$ , כלומר $2\sin^2 x+\sin x-1=0$ , ו- $(2\sin x-1)(\sin x+1)=0$ . $\sin x=\frac{1}{2}$ נותן $30^\circ$ ו- $150^\circ$ . $\sin x=-1$ נותן $270^\circ$ . שלושה פתרונות.

השיטה: פונקציה אחת, זווית אחת

כמעט כל משוואה בפרק נפתרת באותו רעיון: להגיע למשוואה עם פונקציה אחת של זווית אחת, או למכפלה ששווה ל- $0$ . הזהות נבחרת לפי מה שמופיע במשוואה.

\cos 2x \ \text{עם} \ \sin x

מציבים $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ : משוואה ריבועית ב- $\sin x$

\sin 2x=\cos x

$2\sin x\cos x-\cos x=0$ : מוציאים גורם משותף $\cos x$ , לא מחלקים בו

\sin 3x+\sin x=0

סכום למכפלה

\sin x\cos\tfrac{\pi}{6}+\cos x\sin\tfrac{\pi}{6}

מזהים נוסחת סכום מימין לשמאל: $\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$

הפתרון הכללי ברדיאנים

ביחידה 5 כותבים את הפתרון גם ברדיאנים: $180^\circ=\pi$ . סיבוב שלם הוא $2\pi$ , ולכן מוסיפים $2\pi k$ במקום $360^\circ k$ . כאן $k$ הוא מספר שלם.

\begin{aligned}\sin x &= a: \ x \\ &= x_1+2\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \pi-x_1+2\pi k\end{aligned}

שתי משפחות: $x_1$ ו- $\pi-x_1$

\begin{aligned}\cos x &= a: \ x \\ &= \pm x_1+2\pi k\end{aligned}

שתי משפחות: $x_1$ ו- $-x_1$

\begin{aligned}\tan x &= a: \ x \\ &= x_1+\pi k\end{aligned}

משפחה אחת, מחזור $\pi$

גורם משותף, פתרון כללי ותחום

פתרו את $\sin 2x=\cos x$ . כתבו פתרון כללי ברדיאנים, ומצאו את הפתרונות בתחום $0\le x\le\pi$ .

2\sin x\cos x-\cos x=0

זווית כפולה, והכל לאגף אחד

\cos x\,(2\sin x-1)=0

גורם משותף

\begin{aligned}\cos x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2}+\pi k\end{aligned}

המשפחה הראשונה

\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{6}+2\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\end{aligned}

שתי משפחות נוספות

\begin{aligned}0\le x\le\pi: \ x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{5\pi}{6}\end{aligned}

$k=0$ בכל משפחה

למה אסור לחלק את $2\sin x\cos x=\cos x$ ב- $\cos x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי ייתכן ש- $\cos x=0$ , וזה בדיוק פתרון: ב- $x=\frac{\pi}{2}$ שני האגפים שווים ל- $0$ . החילוק מוחק את כל המשפחה $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ .

להוכיח זהות

זהות נכונה לכל $x$ שבו היא מוגדרת. מתחילים מאגף אחד, בדרך כלל המסובך, ומגיעים לאגף השני. אסור להציב זווית אחת ולהכריז שהוכח, ואסור «לפתור» את הזהות כאילו היא משוואה.

פעילות אינטראקטיבית

הוכיחו כי $\frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x}=\cos x-\sin x$ לכל $x$ שבו $\cos x+\sin x\neq 0$ . מצאו את הערכים של $x$ שבהם אגף שמאל אינו מוגדר.

\frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x}=\cos x-\sin x

לחצו «להתחיל». מתחילים מאגף שמאל, ובוחרים צורה של $\cos 2x$ שמתפרקת.

בחירת צורה

\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x

הצורה הזו היא הפרש ריבועים.

פירוק

\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ .

צמצום

\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x+\sin x}=\cos x-\sin x

מותר, כי המכנה אינו $0$ . הגענו לאגף ימין.

לא מוגדר

\begin{aligned}\cos x+\sin x &= 0 \iff \tan x \\ &= -1 \iff x \\ &= \tfrac{3\pi}{4}+\pi k\end{aligned}

בנקודות האלה הזהות לא טוענת דבר.

בבגרות זה מופיע בתוך חקירה: פונקציה שנראית מסובכת היא בעצם $\cos x-\sin x$ , עם «חורים» בנקודות $\frac{3\pi}{4}+\pi k$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

שלוש הטעויות שעולות נקודות.

\begin{aligned}2\sin x\cos x &= \cos x \ \Rightarrow \ 2\sin x \\ &= 1\end{aligned}

\cos x\,(2\sin x-1)=0

החילוק ב- $\cos x$ מוחק את $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ .

\begin{aligned}\sin x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{6}+2\pi k\end{aligned}

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6}+2\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \tfrac{5\pi}{6}+2\pi k\end{aligned}

שכחו את הזווית השנייה. הישר האופקי פוגש את המעגל פעמיים.

\begin{aligned}\sin 2x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{12}+2\pi k\end{aligned}

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{12}+\pi k \ \text{או} \ x \\ &= \tfrac{5\pi}{12}+\pi k\end{aligned}

מחלקים ב- $2$ את כל הפתרון של $2x$ , גם את $2\pi k$ .

סדר העבודה: (1) זהות שמשאירה פונקציה אחת או מכפלה. (2) פותרים משוואה בסיסית. (3) פתרון כללי. (4) רק בסוף מציבים $k$ ובוחרים את מה שבתחום. ובמשוואה ריבועית ב- $\sin x$ : פוסלים כל ערך מחוץ ל- $[-1,1]$ .

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המשוואה $\cos 2x=\sin x$ בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$ . מהו הפתרון הגדול, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 270

הפתרון:

\begin{aligned}1-2\sin^2 x &= \sin x \ \Rightarrow \ 2\sin^2 x+\sin x-1 \\ &= 0\end{aligned}

$\cos 2x$ בצורה עם $\sin x$

(2\sin x-1)(\sin x+1)=0

פירוק

\begin{aligned}x &= 30^\circ \\ \ 150^\circ \\ \ 270^\circ\end{aligned}

$\sin x=\frac{1}{2}$ או $\sin x=-1$

הגדול הוא $270^\circ$ , מ- $\sin x=-1$ . מי שענה $150^\circ$ איבד את הגורם $\sin x+1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הפתרון הכללי של המשוואה $\sin 2x=\sin x$ ?

$x=\pi k$ או $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$
$x=\pi k$
$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$
$x=\pi k$ או $x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x=\pi k$ או $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$

הפתרון:

\begin{aligned}2\sin x\cos x-\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ \sin x\,(2\cos x-1) \\ &= 0\end{aligned}

גורם משותף

\begin{aligned}\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pi k\end{aligned}

המשפחה הראשונה

\begin{aligned}\cos x &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\end{aligned}

הקוסינוס: פלוס-מינוס

הנכונה: $x=\pi k$ או $x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$ . בלי $x=\pi k$ חילקו ב- $\sin x$ . $\pm\frac{\pi}{6}$ הוא הזווית של $\sin x=\frac{1}{2}$ , לא של $\cos x=\frac{1}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה פתרונות יש למשוואה $\cos 2x+\cos x=0$ בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2\cos^2 x-1+\cos x=0

$\cos 2x$ בצורה עם $\cos x$

(2\cos x-1)(\cos x+1)=0

פירוק

\begin{aligned}\cos x &= \tfrac{1}{2}: \ 60^\circ \\ \ 300^\circ \qquad \cos x &= -1: \ 180^\circ\end{aligned}

הפתרונות בתחום

שלושה. $\cos x=-1$ נותן נקודה אחת בסיבוב. אפשר גם בסכום למכפלה: $2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$ , ומקבלים אותם שלושה פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה פתרונות יש למשוואה $\sin 2x=\sin x$ בתחום $0\le x\le 2\pi$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\sin x\,(2\cos x-1)=0

גורם משותף

\begin{aligned}\sin x &= 0: \ x \\ &= 0 \\ \ \pi \\ \ 2\pi\end{aligned}

שלושה, כולל שני הקצוות

\begin{aligned}\cos x &= \tfrac{1}{2}: \ x \\ &= \tfrac{\pi}{3} \\ \ \tfrac{5\pi}{3}\end{aligned}

שניים

חמישה. התחום סגור, ולכן גם $0$ וגם $2\pi$ נספרים. זה ההבדל מהתחום $0\le x<2\pi$ , שבו יש ארבעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: למשוואה $\sin x\cos x=0.6$ אין פתרון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\sin x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin 2x

זווית כפולה

\begin{aligned}\tfrac{1}{2}\sin 2x &= 0.6 \ \Rightarrow \ \sin 2x \\ &= 1.2>1\end{aligned}

אין סינוס כזה

הטענה נכונה. $\sin x\cos x$ נע בין $-\frac{1}{2}$ ל- $\frac{1}{2}$ בלבד. בלי הזהות קשה לראות את זה, כי כל גורם לבד יכול להגיע ל- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את המשוואה $\sin x\cos 20^\circ+\cos x\sin 20^\circ=1$ בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$ . מהו $x$ , במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

\sin(x+20^\circ)=1

נוסחת הסכום מימין לשמאל

x+20^\circ=90^\circ+360^\circ k

לסינוס יש ערך $1$ בנקודה אחת בסיבוב

x=70^\circ

$k=0$ ; עם $k=1$ מקבלים $430^\circ$ , מחוץ לתחום

אי אפשר לפתור את זה עם «סינוס של $x$ » לבד: צריך לזהות שכל אגף שמאל הוא סינוס אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סדרו את שלבי הפתרון של $\cos 2x-5\sin x+2=0$ .

$\sin x=\frac{1}{2}$ או $\sin x=-3$
$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ או $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$
מציבים $\cos 2x=1-2\sin^2 x$
מקבלים $2\sin^2 x+5\sin x-3=0$
פוסלים את $\sin x=-3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מציבים $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ · מקבלים $2\sin^2 x+5\sin x-3=0$ · $\sin x=\frac{1}{2}$ או $\sin x=-3$ · פוסלים את $\sin x=-3$ · $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ או $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$

הפתרון:

\begin{aligned}1-2\sin^2 x-5\sin x+2 &= 0 \ \Rightarrow \ 2\sin^2 x+5\sin x-3 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב- $-1$

(2\sin x-1)(\sin x+3)=0

פירוק

\sin x=-3<-1

אין פתרון

הפסילה באה לפני הפתרון הכללי: $\sin x=-3$ אינו נותן אף זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו כי לכל $x$ מתקיים $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$ .

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\sin 2x=2\sin x\cos x$ ו- $\cos 2x=1-2\sin^2 x$

$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$

להציג את התשובה והפתרון

$\sin 3x=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x$ — סינוס של סכום, עם $3x=2x+x$
$\sin 2x\cos x=2\sin x\cos^2 x$ — זווית כפולה
$\cos 2x\sin x=\sin x-2\sin^3 x$ — הצורה $1-2\sin^2 x$
$2\sin x\cos^2 x=2\sin x-2\sin^3 x$ — הזהות היסודית: $\cos^2 x=1-\sin^2 x$
$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$ — מחברים

הפתרון:

(2\sin x-2\sin^3 x)+(\sin x-2\sin^3 x)=3\sin x-4\sin^3 x

הסכום

כדי שיישאר רק $\sin x$ , מחליפים כל $\cos^2 x$ ב- $1-\sin^2 x$ . המלכודת: לכתוב $\sin 3x=3\sin x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו הפתרון החיובי הקטן ביותר של המשוואה $\cos 2x=\cos x$ , ברדיאנים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.09

הפתרון:

\begin{aligned}2\cos^2 x-\cos x-1 &= 0 \ \Rightarrow \ (2\cos x+1)(\cos x-1) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב- $\cos x$

\begin{aligned}\cos x &= 1: \ x \\ &= 2\pi k \qquad \cos x \\ &= -\tfrac{1}{2}: \ x \\ &= \pm\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k\end{aligned}

שתי המשפחות

x=\tfrac{2\pi}{3}\approx 2.09

$x=0$ אינו חיובי

הפתרון $x=0$ אינו חיובי, ולכן הקטן ביותר הוא $\frac{2\pi}{3}$ . מי שענה $1.05$ לקח את $\frac{\pi}{3}$ , הזווית של $\cos x=+\frac{1}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פשטו את $\frac{\sin 2x}{1-\cos 2x}$ לכל $x$ שבו $\sin x\neq 0$ .

$\frac{1}{\sin x}$
$\frac{\cos x}{\sin x}$
$2\cos x$
$\tan x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{\cos x}{\sin x}$

הפתרון:

1-\cos 2x=2\sin^2 x

הצורה $1-2\sin^2 x$

\frac{2\sin x\cos x}{2\sin^2 x}=\frac{\cos x}{\sin x}

מצמצמים

הנכונה: $\frac{\cos x}{\sin x}$ . $\tan x$ הוא ההפוך: הוא מתקבל מ- $\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}$ . בדיקה ב- $x=\frac{\pi}{3}$ : הביטוי שווה ל- $\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ , ו- $\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$ לא מתאים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיטה: פונקציה אחת, זווית אחת

הפתרון הכללי ברדיאנים

להוכיח זהות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev