זווית כפולה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מכפילים את הזווית — האם גם הסינוס מוכפל? sin⁡(2⋅60∘)=sin⁡120∘≈0.87\sin(2\cdot 60^\circ)=\sin 120^\circ\approx 0.87, אבל 2sin⁡60∘≈1.732\sin 60^\circ\approx 1.73. הגרף מראה שזה לא מקרה.

y = sin 2x מול y = 2 sin x
04590135180225270315360-2-1012x°y
  • y = sin 2x
  • y = 2 sin x
y=2sin⁡xy=2\sin x מגיעה עד 22. y=sin⁡2xy=\sin 2x נשארת בין −1-1 ל-11, ומשלימה שני מחזורים באותו קטע. שני הגרפים נפגשים רק בשלוש הנקודות המסומנות.

לפי הגרף: לאילו xx בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ\le x\le 360^\circ מתקיים sin⁡2x=2sin⁡x\sin 2x=2\sin x?

להציג את התשובה והפתרון

רק ל-x=0∘x=0^\circ, 180∘180^\circ ו-360∘360^\circ. באלגברה: 2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡x2\sin x\cos x=2\sin x, כלומר sin⁡x(cos⁡x−1)=0\sin x(\cos x-1)=0. גם cos⁡x=1\cos x=1 נותן את אותן נקודות.

הנוסחאות: מציבים β=α\beta=\alpha

הזווית הכפולה היא מקרה פרטי של נוסחת הסכום: 2α=α+α2\alpha=\alpha+\alpha. מציבים β=α\beta=\alpha ומקבלים:

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\begin{aligned}\cos 2\alpha &= \cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\ &= 2\cos^2\alpha-1 \\ &= 1-2\sin^2\alpha\end{aligned}

שלוש הצורות של cos⁡2α\cos 2\alpha שוות זו לזו: עוברים ביניהן בעזרת sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. בוחרים את הצורה שמשאירה פונקציה אחת. אם בביטוי יש sin⁡x\sin x, בוחרים 1−2sin⁡2x1-2\sin^2 x. אם יש cos⁡x\cos x, בוחרים 2cos⁡2x−12\cos^2 x-1.

cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}

מבודדים מ-cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1

sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}

מבודדים מ-cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

מציבים β=α\beta=\alpha בנוסחת הטנגנס

חשבו את cos⁡215∘\cos^2 15^\circ בעזרת cos⁡30∘\cos 30^\circ.

להציג את התשובה והפתרון

cos⁡215∘=1+cos⁡30∘2=1+322=2+34≈0.933\cos^2 15^\circ=\frac{1+\cos 30^\circ}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\approx 0.933.

מערך אחד לזווית הכפולה

פישוט בעזרת הזווית הכפולה

פשטו את הביטוי sin⁡2x1+cos⁡2x\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} (עבור cos⁡x≠0\cos x\neq 0).

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x

המונה

1+cos⁡2x=1+(2cos⁡2x−1)=2cos⁡2x\begin{aligned}1+\cos 2x &= 1+(2\cos^2 x-1) \\ &= 2\cos^2 x\end{aligned}

בוחרים את הצורה שמבטלת את ה-11

2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\begin{aligned}\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x} &= \frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \tan x\end{aligned}

מצמצמים

שלוש הטעויות של הזווית הכפולה.

sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

הגרף למעלה: 2sin⁡x2\sin x מגיע עד 22, ו-sin⁡2x\sin 2x לא.

cos⁡2α=2cos⁡α−1\cos 2\alpha=2\cos\alpha-1
cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1

הריבוע נעלם. בדיקה ב-α=60∘\alpha=60^\circ: cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}, אבל 2cos⁡60∘−1=02\cos 60^\circ-1=0.

90∘<α<180∘⇒cos⁡α=4590^\circ<\alpha<180^\circ \Rightarrow \cos\alpha=\tfrac{4}{5}
cos⁡α=−45\cos\alpha=-\tfrac{4}{5}

הרביע קובע את הסימן. טעות כאן הופכת את הסימן של sin⁡2α\sin 2\alpha.

sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin 2\alpha. כך הופכים מכפלה של סינוס וקוסינוס לביטוי אחד. זה חוזר בשאלות שטח ובחקירת פונקציות: sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x נע רק בין −12-\frac{1}{2} ל-12\frac{1}{2}.

תרגילים

תרגיל 1

נתון sin⁡α=0.6\sin\alpha=0.6 ו-α\alpha זווית חדה. חשבו את sin⁡2α\sin 2\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.96

הפתרון:

cos⁡α=1−0.36=0.8\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{1-0.36} \\ &= 0.8\end{aligned}

זווית חדה

sin⁡2α=2⋅0.6⋅0.8=0.96\begin{aligned}\sin 2\alpha &= 2\cdot 0.6\cdot 0.8 \\ &= 0.96\end{aligned}

זווית כפולה

מי שענה 1.21.2 כתב 2sin⁡α2\sin\alpha — וסינוס אינו גדול מ-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון cos⁡α=0.4\cos\alpha=0.4. חשבו את cos⁡2α\cos 2\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.68

הפתרון:

cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1

הצורה עם cos⁡α\cos\alpha בלבד

=2⋅0.16−1=−0.68=2\cdot 0.16-1=-0.68

מציבים

לא צריך לדעת את sin⁡α\sin\alpha, וגם לא את הרביע: הצורה 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha-1 משתמשת רק בנתון. מי שקיבל −0.2-0.2 כתב 2cos⁡α−12\cos\alpha-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזה מהביטויים אינו שווה ל-cos⁡2α\cos 2\alpha לכל α\alpha?

  1. cos⁡2α−sin⁡2α\cos^2\alpha-\sin^2\alpha
  2. 2cos⁡2α−12\cos^2\alpha-1
  3. 1−2sin⁡2α1-2\sin^2\alpha
  4. 2sin⁡2α−12\sin^2\alpha-1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 2sin⁡2α−12\sin^2\alpha-1

הפתרון:

2sin⁡2α−1=−(1−2sin⁡2α)=−cos⁡2α\begin{aligned}2\sin^2\alpha-1 &= -(1-2\sin^2\alpha) \\ &= -\cos 2\alpha\end{aligned}

הסימן הפוך

α=0∘: 2⋅0−1=−1≠1=cos⁡0∘\begin{aligned}\alpha &= 0^\circ: \ 2\cdot 0-1 \\ &= -1 \neq 1 \\ &= \cos 0^\circ\end{aligned}

בדיקה בזווית אחת מספיקה כדי לפסול

הנכונה: 2sin⁡2α−12\sin^2\alpha-1. זו −cos⁡2α-\cos 2\alpha. שלוש האחרות הן שלוש הצורות של cos⁡2α\cos 2\alpha מדף הנוסחאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו בלי מחשבון: sin⁡15∘cos⁡15∘\sin 15^\circ\cos 15^\circ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

sin⁡αcos⁡α=12sin⁡2α\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{1}{2}\sin 2\alpha

הזווית הכפולה, הפוך

12sin⁡30∘=12⋅12=14\begin{aligned}\tfrac{1}{2}\sin 30^\circ &= \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

זווית מיוחדת

אפשר גם לכפול 6−24⋅6+24=416\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{4}{16} — אותה תוצאה, יותר עבודה. מי שענה 12\frac{1}{2} שכח את החצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הערך המדויק של cos⁡222.5∘−sin⁡222.5∘\cos^2 22.5^\circ-\sin^2 22.5^\circ?

  1. 22\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. 11
  3. 2\sqrt{2}
  4. 12\frac{1}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 22\frac{\sqrt{2}}{2}

הפתרון:

cos⁡2α−sin⁡2α=cos⁡2α\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha

הצורה הראשונה של הזווית הכפולה

cos⁡45∘=22\cos 45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2}

זווית מיוחדת

הנכונה: 22\frac{\sqrt{2}}{2}. מי שענה 11 קרא cos⁡2+sin⁡2\cos^2+\sin^2 במקום cos⁡2−sin⁡2\cos^2-\sin^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: לכל α\alpha מתקיים (sin⁡α+cos⁡α)2=1+sin⁡2α(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin 2\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(sin⁡α+cos⁡α)2=sin⁡2α+cos⁡2α+2sin⁡αcos⁡α(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha

נוסחת הכפל המקוצר

=1+sin⁡2α=1+\sin 2\alpha

הזהות היסודית והזווית הכפולה

הטענה נכונה. המסקנה שימושית: (sin⁡α+cos⁡α)2≤2(\sin\alpha+\cos\alpha)^2\le 2, ולכן sin⁡α+cos⁡α\sin\alpha+\cos\alpha אינו גדול מ-2\sqrt{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5} ו-90∘<α<180∘90^\circ<\alpha<180^\circ. מהו tan⁡2α\tan 2\alpha?

  1. −724-\frac{7}{24}
  2. −32-\frac{3}{2}
  3. −247-\frac{24}{7}
  4. 247\frac{24}{7}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −247-\frac{24}{7}

הפתרון:

cos⁡α=−45tan⁡α=−34\begin{aligned}\cos\alpha &= -\tfrac{4}{5} \\ \quad \tan\alpha &= -\tfrac{3}{4}\end{aligned}

הרביע השני

tan⁡2α=2⋅(−34)1−916=−32716=−247\begin{aligned}\tan 2\alpha &= \frac{2\cdot(-\frac{3}{4})}{1-\frac{9}{16}} \\ &= \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} \\ &= -\frac{24}{7}\end{aligned}

זווית כפולה לטנגנס

sin⁡2αcos⁡2α=−24/257/25=−247\begin{aligned}\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} &= \frac{-24/25}{7/25} \\ &= -\frac{24}{7}\end{aligned}

בדיקה בדרך שנייה

הנכונה: −247-\frac{24}{7}. 247\frac{24}{7} מתקבל עם cos⁡α=45\cos\alpha=\frac{4}{5} — הרביע נשכח. −32-\frac{3}{2} הוא 2tan⁡α2\tan\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הביעו את cos⁡4x\cos 4x באמצעות cos⁡2x\cos 2x: cos⁡4x=acos⁡22x+b\cos 4x=a\cos^2 2x+b. השלימו.

a=a= ____ , b=b= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= 2 , b=b= -1

הפתרון:

cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1θ=2x\begin{aligned}\cos 2\theta &= 2\cos^2\theta-1 \\ \quad \theta &= 2x\end{aligned}

הזווית הכפולה של 2x2x היא 4x4x

cos⁡4x=2cos⁡22x−1\cos 4x=2\cos^2 2x-1

מציבים

הנוסחה עובדת לכל זווית: אם θ=2x\theta=2x אז 2θ=4x2\theta=4x. מי שכתב cos⁡4x=2cos⁡2x\cos 4x=2\cos 2x הכפיל את הקוסינוס במקום את הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון cos⁡α=−0.8\cos\alpha=-0.8 ו-180∘<α<270∘180^\circ<\alpha<270^\circ. בחישוב של sin⁡2α\sin 2\alpha שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

sin⁡α=−0.6\sin\alpha=-0.6
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
=2⋅(−0.6)⋅(−0.8)=−0.96=2\cdot(-0.6)\cdot(-0.8)=-0.96
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =2⋅(−0.6)⋅(−0.8)=−0.96=2\cdot(-0.6)\cdot(-0.8)=-0.96 → =2⋅(−0.6)⋅(−0.8)=0.96=2\cdot(-0.6)\cdot(-0.8)=0.96

הפתרון:

sin⁡α=−0.6\sin\alpha=-0.6

ברביע השלישי הסינוס שלילי: נכון

(−0.6)⋅(−0.8)=+0.48(-0.6)\cdot(-0.8)=+0.48

מינוס כפול מינוס

360∘<2α<540∘360^\circ<2\alpha<540^\circ

בדיקה: 2α2\alpha ברביע הראשון או השני, וסינוס חיובי מתאים

שני גורמים שליליים נותנים מכפלה חיובית. בדיקת הרביע של 2α2\alpha מאשרת את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הוכיחו כי 1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x לכל xx שבו sin⁡2x≠0\sin 2x\neq 0.

  • sin⁡2x≠0\sin 2x\neq 0
  • cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 x
  • sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x

1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x

להציג את התשובה והפתרון
  1. 1−cos⁡2x=2sin⁡2x1-\cos 2x=2\sin^2 x — הצורה 1−2sin⁡2x1-2\sin^2 x של cos⁡2x\cos 2x
  2. 1−cos⁡2xsin⁡2x=2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x} — מציבים במונה ובמכנה
  3. 2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x=sin⁡xcos⁡x\frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x} — מצמצמים ב-2sin⁡x≠02\sin x\neq 0
  4. 1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x — הגדרת הטנגנס

הפתרון:

2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x=sin⁡xcos⁡x\frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}

מבטלים את ה-11 ומצמצמים

הצמצום ב-sin⁡x\sin x מותר כי sin⁡2x≠0\sin 2x\neq 0, ולכן sin⁡x≠0\sin x\neq 0. בוחרים את הצורה 1−2sin⁡2x1-2\sin^2 x כי היא מבטלת את ה-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת