סכום והפרש של זוויות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כמה זה sin⁡75∘\sin 75^\circ? מפרקים 75∘=30∘+45∘75^\circ=30^\circ+45^\circ ומחברים את הסינוסים: 12+22≈1.21\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1.21. זה יותר מ-11, ואין סינוס כזה. הסתכלו בציור לפני כל נוסחה.

הגובה של הנקודות ב-30°, ב-45° וב-75° על מעגל היחידה
30°45°75°0.50.710.97-1-0.500.51-1-0.50.51xy
הגובה של הנקודה ב-75∘75^\circ הוא בערך 0.970.97, ולא 0.5+0.71=1.210.5+0.71=1.21. סיבוב נוסף של 45∘45^\circ אינו מוסיף 0.710.71 לגובה: כמה הוא מוסיף תלוי במקום שממנו מתחילים.

לפי הציור: האם sin⁡(30∘+45∘)=sin⁡30∘+sin⁡45∘\sin(30^\circ+45^\circ)=\sin 30^\circ+\sin 45^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. אגף ימין הוא בערך 1.211.21, ושום סינוס אינו גדול מ-11. בציור הגובה של 75∘75^\circ הוא בערך 0.970.97. הסינוס של סכום אינו סכום הסינוסים.

ארבע נוסחאות הסכום וההפרש

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

שימו לב לסימן. בסינוס הסימן נשמר: בסכום ++ ובהפרש −-. בקוסינוס הסימן מתהפך: בקוסינוס של סכום יש מינוס. הנוסחאות נמצאות בדף הנוסחאות; מה שצריך ללמוד הוא לזהות מתי הן עוזרות.

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

ערכים מדויקים: 15∘15^\circ, 75∘75^\circ, 105∘105^\circ

בלי חישוב נוסף: מהו הערך המדויק של cos⁡75∘\cos 75^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

cos⁡75∘=sin⁡15∘=6−24\cos 75^\circ=\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, כי 75∘+15∘=90∘75^\circ+15^\circ=90^\circ ו-cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha.

קוסינוס של סכום, כשהזוויות לא מיוחדות

נתון sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5} ו-α\alpha זווית חדה. נתון cos⁡β=−513\cos\beta=-\frac{5}{13} ו-90∘<β<180∘90^\circ<\beta<180^\circ. חשבו את cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta).

cos⁡α=1−925=45\begin{aligned}\cos\alpha &= \sqrt{1-\tfrac{9}{25}} \\ &= \tfrac{4}{5}\end{aligned}

α\alpha חדה, ולכן הקוסינוס חיובי

sin⁡β=1−25169=1213\begin{aligned}\sin\beta &= \sqrt{1-\tfrac{25}{169}} \\ &= \tfrac{12}{13}\end{aligned}

ברביע השני הסינוס חיובי

cos⁡(α+β)=45⋅(−513)−35⋅1213\cos(\alpha+\beta)=\tfrac{4}{5}\cdot\left(-\tfrac{5}{13}\right)-\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{12}{13}

קוסינוס של סכום: מינוס באמצע

=−2065−3665=−5665=-\tfrac{20}{65}-\tfrac{36}{65}=-\tfrac{56}{65}

התוצאה

חשבו את tan⁡75∘\tan 75^\circ בעזרת tan⁡(45∘+30∘)\tan(45^\circ+30^\circ).

להציג את התשובה והפתרון

1+131−13=3+13−1=(3+1)22=2+3≈3.73\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}=2+\sqrt{3}\approx 3.73.

שלוש הטעויות של נוסחאות הסכום.

sin⁡(α+β)=sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta
sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

בדיקה: α=β=90∘\alpha=\beta=90^\circ. משמאל sin⁡180∘=0\sin 180^\circ=0, מימין 22.

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

בקוסינוס הסימן מתהפך: בסכום יש מינוס.

sin⁡(α−β)=cos⁡αsin⁡β−sin⁡αcos⁡β\sin(\alpha-\beta)=\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta
sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta

בהפרש הסדר חשוב. ההחלפה הופכת את הסימן של כל התוצאה.

«ערך מדויק» פירושו שורשים ושברים, לא 0.2590.259. את המחשבון משאירים לבדיקה: אם 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} ו-sin⁡15∘\sin 15^\circ נותנים אותו מספר, החישוב נכון.

תרגילים

תרגיל 1

מהו הערך המדויק של cos⁡15∘\cos 15^\circ?

  1. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
  2. 3+12\frac{\sqrt{3}+1}{2}
  3. 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
  4. 64\frac{\sqrt{6}}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

הפתרון:

cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 45^\circ\sin 30^\circ

קוסינוס של הפרש: פלוס באמצע

=64+24=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}

מציבים

הנכונה: 6+24≈0.966\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0.966. 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} מתקבל כשכותבים מינוס בקוסינוס של הפרש. 3+12≈1.37\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx 1.37 גדול מ-11, ולכן אינו יכול להיות קוסינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הערך המדויק של sin⁡105∘\sin 105^\circ?

  1. 2−64\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}
  2. 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
  3. 3+22\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}
  4. 6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

הפתרון:

sin⁡(60∘+45∘)=sin⁡60∘cos⁡45∘+cos⁡60∘sin⁡45∘\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin 60^\circ\cos 45^\circ+\cos 60^\circ\sin 45^\circ

סינוס של סכום

=64+24=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}

מציבים

הנכונה: 6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}. 105∘105^\circ ברביע השני, ושם הסינוס חיובי, ולכן 2−64<0\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}<0 נפסל מיד. 3+22\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2} חיבר סינוסים וגדול מ-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5} ו-sin⁡β=513\sin\beta=\frac{5}{13}, ושתי הזוויות חדות. חשבו את sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.86

הפתרון:

cos⁡α=45cos⁡β=1213\begin{aligned}\cos\alpha &= \tfrac{4}{5} \\ \quad \cos\beta &= \tfrac{12}{13}\end{aligned}

זוויות חדות: קוסינוס חיובי

sin⁡(α+β)=35⋅1213+45⋅513=5665\begin{aligned}\sin(\alpha+\beta) &= \tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{12}{13}+\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{5}{13} \\ &= \tfrac{56}{65}\end{aligned}

סינוס של סכום

5665≈0.86\tfrac{56}{65}\approx 0.86

עיגול

הנוסחה צריכה ארבעה ערכים, ונתונים רק שניים. מי שכתב 35+513≈0.98\frac{3}{5}+\frac{5}{13}\approx 0.98 חיבר סינוסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: לכל שתי זוויות α\alpha ו-β\beta מתקיים cos⁡(α−β)=cos⁡α−cos⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha-\cos\beta.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

α=β=60∘\begin{aligned}\alpha &= \beta \\ &= 60^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית

cos⁡0∘=1≠0=cos⁡60∘−cos⁡60∘\begin{aligned}\cos 0^\circ &= 1 \neq 0 \\ &= \cos 60^\circ-\cos 60^\circ\end{aligned}

אגף שמאל אינו שווה לאגף ימין

הטענה אינה נכונה. דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להפריך. הנוסחה הנכונה: cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

התאימו לכל ביטוי את הביטוי השווה לו לכל α\alpha. היעזרו בנוסחאות הסכום וההפרש.

  • sin⁡(90∘+α)\sin(90^\circ+\alpha)
  • cos⁡(90∘+α)\cos(90^\circ+\alpha)
  • cos⁡(180∘+α)\cos(180^\circ+\alpha)
  • cos⁡(α−90∘)\cos(\alpha-90^\circ)
  • −cos⁡α-\cos\alpha
  • −sin⁡α-\sin\alpha
  • cos⁡α\cos\alpha
  • sin⁡α\sin\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡(90∘+α)\sin(90^\circ+\alpha) — cos⁡α\cos\alpha · cos⁡(90∘+α)\cos(90^\circ+\alpha) — −sin⁡α-\sin\alpha · cos⁡(180∘+α)\cos(180^\circ+\alpha) — −cos⁡α-\cos\alpha · cos⁡(α−90∘)\cos(\alpha-90^\circ) — sin⁡α\sin\alpha

הפתרון:

sin⁡(90∘+α)=1⋅cos⁡α+0⋅sin⁡α\sin(90^\circ+\alpha)=1\cdot\cos\alpha+0\cdot\sin\alpha

sin⁡90∘=1\sin 90^\circ=1, cos⁡90∘=0\cos 90^\circ=0

cos⁡(90∘+α)=0⋅cos⁡α−1⋅sin⁡α\cos(90^\circ+\alpha)=0\cdot\cos\alpha-1\cdot\sin\alpha

מינוס בקוסינוס של סכום

cos⁡(180∘+α)=−cos⁡α−0\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha-0

cos⁡180∘=−1\cos 180^\circ=-1

cos⁡(α−90∘)=cos⁡α⋅0+sin⁡α⋅1\cos(\alpha-90^\circ)=\cos\alpha\cdot 0+\sin\alpha\cdot 1

פלוס בקוסינוס של הפרש

כשאחת הזוויות היא 90∘90^\circ או 180∘180^\circ, אחד משני המחוברים מתאפס. המלכודת היא הסימן של cos⁡(90∘+α)\cos(90^\circ+\alpha): הוא −sin⁡α-\sin\alpha ולא sin⁡α\sin\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון cos⁡α=0.6\cos\alpha=0.6 ו-270∘<α<360∘270^\circ<\alpha<360^\circ. נתון sin⁡β=0.8\sin\beta=0.8 ו-β\beta זווית חדה. חשבו את sin⁡(α−β)\sin(\alpha-\beta).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.96

הפתרון:

sin⁡α=−0.8\sin\alpha=-0.8

ברביע הרביעי הסינוס שלילי

cos⁡β=0.6\cos\beta=0.6

זווית חדה

sin⁡(α−β)=(−0.8)(0.6)−(0.6)(0.8)=−0.96\begin{aligned}\sin(\alpha-\beta) &= (-0.8)(0.6)-(0.6)(0.8) \\ &= -0.96\end{aligned}

סינוס של הפרש

שני המקומות שבהם טועים: הסימן של sin⁡α\sin\alpha ברביע הרביעי, והסימן באמצע הנוסחה. מי שקיבל 00 כתב sin⁡α=0.8\sin\alpha=0.8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון tan⁡α=2\tan\alpha=2 ו-tan⁡β=3\tan\beta=3. מהו tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta)?

  1. 55
  2. 11
  3. −1-1
  4. −15-\frac{1}{5}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −1-1

הפתרון:

tan⁡(α+β)=2+31−2⋅3\tan(\alpha+\beta)=\frac{2+3}{1-2\cdot 3}

נוסחת הטנגנס של סכום

=5−5=−1=\frac{5}{-5}=-1

מחשבים

הנכונה: −1-1. 55 הוא רק המונה: טנגנס של סכום אינו סכום הטנגנסים. אם שתי הזוויות חדות, α+β=135∘\alpha+\beta=135^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בחישוב של cos⁡105∘\cos 105^\circ שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

cos⁡105∘=cos⁡(60∘+45∘)\cos 105^\circ=\cos(60^\circ+45^\circ)
=cos⁡60∘cos⁡45∘+sin⁡60∘sin⁡45∘=\cos 60^\circ\cos 45^\circ+\sin 60^\circ\sin 45^\circ
=24+64=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =cos⁡60∘cos⁡45∘+sin⁡60∘sin⁡45∘=\cos 60^\circ\cos 45^\circ+\sin 60^\circ\sin 45^\circ → =cos⁡60∘cos⁡45∘−sin⁡60∘sin⁡45∘=\cos 60^\circ\cos 45^\circ-\sin 60^\circ\sin 45^\circ

הפתרון:

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta

בקוסינוס של סכום יש מינוס

cos⁡105∘=2−64≈−0.26\cos 105^\circ=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\approx -0.26

התוצאה הנכונה

בדיקת סימן תופסת את הטעות: 105∘105^\circ ברביע השני, ושם הקוסינוס שלילי. התוצאה בשורה האחרונה חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו בלי מחשבון: sin⁡70∘cos⁡40∘−cos⁡70∘sin⁡40∘\sin 70^\circ\cos 40^\circ-\cos 70^\circ\sin 40^\circ.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β=sin⁡(α−β)\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)

מזהים את הנוסחה מימין לשמאל

sin⁡(70∘−40∘)=sin⁡30∘=12\begin{aligned}\sin(70^\circ-40^\circ) &= \sin 30^\circ \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

זווית מיוחדת

כאן הנוסחה עובדת הפוך: מביטוי ארוך לסינוס אחד. אין צורך לדעת כמה זה sin⁡70∘\sin 70^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הוכיחו כי לכל α\alpha ו-β\beta מתקיים cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta.

  • α\alpha, β\beta זוויות כלשהן
  • sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1

cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta

להציג את התשובה והפתרון
  1. cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha\cos^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\beta — נוסחאות הסכום וההפרש, ואז הפרש ריבועים
  2. cos⁡2β=1−sin⁡2β\cos^2\beta=1-\sin^2\beta — הזהות היסודית
  3. sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha — הזהות היסודית
  4. cos⁡2αcos⁡2β−sin⁡2αsin⁡2β=cos⁡2α−cos⁡2αsin⁡2β−sin⁡2β+cos⁡2αsin⁡2β\cos^2\alpha\cos^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\beta=\cos^2\alpha-\cos^2\alpha\sin^2\beta-\sin^2\beta+\cos^2\alpha\sin^2\beta — מציבים ופותחים סוגריים
  5. cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)=cos⁡2α−sin⁡2β\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta — האיברים ±cos⁡2αsin⁡2β\pm\cos^2\alpha\sin^2\beta מתבטלים

הפתרון:

(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)

שני הגורמים: (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2

המטרה מכילה cos⁡2α\cos^2\alpha ו-sin⁡2β\sin^2\beta בלבד. לכן מחליפים את cos⁡2β\cos^2\beta ואת sin⁡2α\sin^2\alpha. המלכודת: להציב α=β=0\alpha=\beta=0 ולהכריז שהוכח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת