פותרים יחד · גאומטריה אנליטית — הקו הישר · כיתה י״ב

שתי שאלות בנוסח הבגרות: טרפז במערכת צירים, ומקבילית שחסר לה קודקוד. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב.

בבגרות כתבו נימוק לכל טענה. למשל: הישרים מקבילים, כי השיפועים שווים. הישרים מאונכים, כי $m_1 \cdot m_2 = -1$ .

1 — טרפז ישר זווית

פעילות אינטראקטיבית

$ABCD$ טרפז ישר זווית ( $AD \parallel BC$ , $\angle B = 90^\circ$ ). הנקודה $E(4,\ 0)$ היא אמצע הצלע $AB$ , ו- $A(0,\ 8)$ . א. מצאו את $B$ . ב. מצאו את השיפוע של $AB$ ואת המשוואה של $BC$ . ג. הקודקוד $C$ על ציר $x$ . מצאו אותו. ד. הישר $CD$ הוא $y = -2x + 48$ . מצאו את $D$ . ה. מצאו את שטח המשולש $ECD$ .

A(0,\ 8)\quad E(4,\ 0)

לחצו «להתחיל».

א.

\begin{aligned}\frac{0 + x}{2} &= 4 \\ \ \frac{8 + y}{2} &= 0\end{aligned}

$E$ אמצע $AB$ .

א.

B(8,\ -8)

ב.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-8 - 8}{8 - 0} \\ &= -2\end{aligned}

ב.

m_{BC} = \frac{1}{2}

$\angle B = 90^\circ$ : מאונך ל- $AB$ .

ב.

\begin{aligned}y + 8 &= \frac{1}{2}(x - 8) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x - 12\end{aligned}

ג.

0 = \frac{1}{2}x - 12 \Rightarrow C(24,\ 0)

ד.

AD:\ y = \frac{1}{2}x + 8

$AD \parallel BC$ , דרך $A$ .

ד.

\begin{aligned}\frac{1}{2}x + 8 &= -2x + 48 \Rightarrow x \\ &= 16 \\ \ D(16,\ 16)\end{aligned}

חיתוך $AD$ ו- $CD$ .

ה.

\begin{aligned}EC &= 24 - 4 \\ &= 20 \\ \ h &= 16\end{aligned}

הבסיס על ציר $x$ , הגובה ה- $y$ של $D$ .

ה.

\begin{aligned}S &= \frac{20 \cdot 16}{2} \\ &= 160\end{aligned}

סעיף ד דורש שני ישרים: את $AD$ בונים בעצמכם (מקביל ל- $BC$ ), ואז חותכים עם $CD$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

איך בודקים ש- $D$ נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

מציבים בשני הישרים: $\frac{1}{2} \cdot 16 + 8 = 16$ ✓ ו- $-2 \cdot 16 + 48 = 16$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מקבילית והקודקוד החסר

פעילות אינטראקטיבית

$A(-1,\ 2)$ , $B(5,\ 0)$ , $C(7,\ 6)$ הם שלושה קודקודים של מקבילית $ABCD$ . א. מצאו את $D$ . ב. הראו שהמקבילית היא מעוין. ג. האם היא ריבוע? נמקו. ד. מצאו את השטח.

A(-1,\ 2)\quad B(5,\ 0)\quad C(7,\ 6)

לחצו «להתחיל».

א.

B \to C:\ (+2,\ +6) \Rightarrow D = (1,\ 8)

אותו צעד מ- $A$ .

ב.

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 4} \\ &= \sqrt{40} \\ \ BC &= \sqrt{4 + 36} \\ &= \sqrt{40}\end{aligned}

צלעות סמוכות שוות.

ב.

\text{מקבילית עם צלעות סמוכות שוות}

מעוין.

ג.

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-2}{6} \\ &= -\frac{1}{3} \\ \ m_{BC} &= 3\end{aligned}

ג.

-\frac{1}{3} \cdot 3 = -1

כן: זווית ישרה, ולכן ריבוע.

ד.

\begin{aligned}S &= \sqrt{40} \cdot \sqrt{40} \\ &= 40\end{aligned}

צלע בריבוע.

סדר הקודקודים חשוב: $ABCD$ פירושו ש- $A$ ו- $C$ נגדיים. לכן $D$ מתקבל מ- $A$ באותו צעד של $B \to C$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

שאלה 1. $ABCD$ טרפז ישר זווית ( $AD \parallel BC$ , $\angle B = 90^\circ$ ). $E(3,\ 0)$ אמצע $AB$ , $A(0,\ 6)$ , $C$ על ציר $x$ , והישר $CD$ הוא $y = -2x + 36$ . השלימו.

$B =$ ( ____ , ____ ) ; $C =$ ( ____ , 0 ) ; $D =$ ( ____ , ____ ) ; שטח המשולש $ECD$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $B =$ ( 6 , -6 ) ; $C =$ ( 18 , 0 ) ; $D =$ ( 12 , 12 ) ; שטח המשולש $ECD$ : 90

הפתרון:

\begin{aligned}B(6,\ -6) \\ \ m_{AB} &= -2\end{aligned}

BC:\ y = 0.5x - 9 \Rightarrow C(18,\ 0)

\begin{aligned}AD:\ y &= 0.5x + 6 \\ \ D(12,\ 12)\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{15 \cdot 12}{2} \\ &= 90\end{aligned}

אותם שלבים כמו בשאלה 1 של הדרך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שאלה 2. $A(1,\ 1)$ , $B(4,\ 5)$ , $C(8,\ 2)$ הם שלושה קודקודים של מקבילית $ABCD$ . השלימו. בסעיף «ריבוע?» כתבו $1$ אם כן ו- $0$ אם לא.

$D =$ ( ____ , ____ ) ; $AB =$ ____ ; ריבוע? ____ ; השטח: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D =$ ( 5 , -2 ) ; $AB =$ 5 ; ריבוע? 1 ; השטח: 25

הפתרון:

B \to C:\ (+4,\ -3) \Rightarrow D(5,\ -2)

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \\ &= -1\end{aligned}

S = 25

מעוין עם זווית ישרה: ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — טרפז ישר זווית

2 — מקבילית והקודקוד החסר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev