פותרים יחד · גופים במרחב · כיתה י״ב

שתי שאלות בנוסח הבגרות: קונוסים ועמוד בכביש, ואוהל בצורת פירמידה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב.

כשהתשובה עם $\pi$ , השאירו את $\pi$ עד הסוף, והשוו בין מספרים שלפני $\pi$ . זה חוסך עיגולים.

1 — קונוסים ועמוד

פעילות אינטראקטיבית

בעבודות בכביש הציבו שלושה קונוסים זהים בצורת חרוט, ועמוד תמרור בצורת גליל. רדיוס הבסיס של כל קונוס $21$ ס״מ, והגובה $72$ ס״מ. א. מצאו את הקו היוצר של קונוס. ב. מצאו את שטח המעטפת של שלושת הקונוסים יחד. ג. גובה העמוד גדול פי $3$ מגובה קונוס, והנפח שלו $3456\pi$ סמ״ק. מצאו את הרדיוס של העמוד. ד. האם שטח המעטפת של העמוד גדול או קטן משטח המעטפת של שלושת הקונוסים?

\begin{aligned}r &= 21 \\ \ h &= 72\end{aligned}

לחצו «להתחיל».

א.

\begin{aligned}\ell &= \sqrt{21^2 + 72^2} \\ &= \sqrt{5625} \\ &= 75\end{aligned}

ס״מ.

ב.

\begin{aligned}M &= 3 \cdot \pi \cdot 21 \cdot 75 \\ &= 4725\pi\end{aligned}

בערך $14{,}844$ סמ״ר.

ג.

\begin{aligned}H &= 3 \cdot 72 \\ &= 216\end{aligned}

גובה העמוד.

ג.

\begin{aligned}\pi r^2 \cdot 216 &= 3456\pi \Rightarrow r^2 \\ &= 16\end{aligned}

ג.

r = 4

ס״מ.

ד.

\begin{aligned}M_{\text{עמוד}} &= 2\pi \cdot 4 \cdot 216 \\ &= 1728\pi\end{aligned}

ד.

1728\pi < 4725\pi

המעטפת של העמוד קטנה יותר.

בסעיף ד אין צורך במחשבון: משווים $1728$ ל- $4725$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — אוהל פירמידה

פעילות אינטראקטיבית

אוהל בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע. צלע הבסיס $4$ מ׳, וגובה האוהל (המוט המרכזי) $1.5$ מ׳. א. מצאו את גובה הפאה. ב. כמה מ״ר של בד צריך לדפנות (בלי הרצפה)? ג. מה נפח האוויר באוהל? ד. מגדילים את צלע הבסיס פי $2$ ומשאירים את הגובה. פי כמה גדל הנפח?

\begin{aligned}a &= 4 \\ \ H &= 1.5\end{aligned}

לחצו «להתחיל».

א.

\begin{aligned}h_{\text{פאה}} &= \sqrt{1.5^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{6.25} \\ &= 2.5\end{aligned}

מ׳.

ב.

\begin{aligned}M &= 4 \cdot \frac{4 \cdot 2.5}{2} \\ &= 20\end{aligned}

מ״ר.

ג.

\begin{aligned}V &= \frac{16 \cdot 1.5}{3} \\ &= 8\end{aligned}

מ״ק.

ד.

S_{\text{בסיס}}:\ 16 \to 64

הבסיס גדל פי $4$ .

ד.

V \times 4

הנפח גדל פי $4$ , כי הגובה לא השתנה.

סעיף ד: שתי מידות של הבסיס גדלו פי $2$ , ולכן הנפח פי $4$ , לא פי $2$ ולא פי $8$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

שאלה 1. שני קונוסים זהים: רדיוס $8$ ס״מ, גובה $15$ ס״מ. ועמוד בצורת גליל שגובהו $24$ ס״מ ונפחו $1176\pi$ סמ״ק. השלימו (במקום עם $\pi$ , רק המספר שלפני $\pi$ ).

הקו היוצר: ____ ; מעטפת שני הקונוסים: ____ $\pi$ ; רדיוס העמוד: ____ ; מעטפת העמוד: ____ $\pi$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקו היוצר: 17 ; מעטפת שני הקונוסים: 272 $\pi$ ; רדיוס העמוד: 7 ; מעטפת העמוד: 336 $\pi$

הפתרון:

\sqrt{64 + 225} = 17

2 \cdot 8 \cdot 17 = 272

\begin{aligned}r^2 &= \frac{1176}{24} \\ &= 49\end{aligned}

2 \cdot 7 \cdot 24 = 336

כאן העמוד גדול יותר: $336\pi > 272\pi$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שאלה 2. אוהל בצורת פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע: צלע $3$ מ׳, גובה $2$ מ׳. השלימו.

גובה הפאה: ____ ; בד לדפנות: ____ מ״ר ; נפח: ____ מ״ק

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גובה הפאה: 2.5 ; בד לדפנות: 15 מ״ר ; נפח: 6 מ״ק

הפתרון:

\sqrt{4 + 2.25} = 2.5

4 \cdot \frac{3 \cdot 2.5}{2} = 15

\frac{9 \cdot 2}{3} = 6

אותם שלבים כמו בדרך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — קונוסים ועמוד

2 — אוהל פירמידה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev