המכפלה הסקלרית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בפרק הקודם חיברנו וקטורים, וכפלנו וקטור במספר. עכשיו נכפול וקטור בווקטור.

התוצאה של הכפל הזה היא מספר, לא וקטור. לכן קוראים לה מכפלה סקלרית: סקלר הוא מספר.

u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α\underline{u}\cdot\underline{v}=|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha

α\alpha היא הזווית בין הווקטורים

את הזווית בין שני וקטורים מודדים כששניהם יוצאים מאותה נקודה. היא תמיד בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ.

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=3|\underline{v}|=3, והזווית ביניהם 60∘60^\circ. כמה זה u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}?

להציג את התשובה והפתרון

4⋅3⋅cos⁡60∘=4⋅3⋅12=64\cdot 3\cdot\cos 60^\circ=4\cdot 3\cdot\frac{1}{2}=6.

הסימן של המכפלה

0∘≤α<90∘0^\circ\le\alpha<90^\circ

זווית חדה: המכפלה חיובית

α=90∘\alpha=90^\circ

זווית ישרה: המכפלה אפס

90∘<α≤180∘90^\circ<\alpha\le 180^\circ

זווית קהה: המכפלה שלילית

u‾⊥v‾  ⟺  u‾⋅v‾=0\underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0

לשני וקטורים שאינם וקטור האפס

זה הכלי החשוב ביותר בפרק. כדי להוכיח ששני ישרים מאונכים, מראים שהמכפלה של הווקטורים שלהם היא 00.

u‾⋅v‾=−5\underline{u}\cdot\underline{v}=-5. הזווית בין הווקטורים חדה, ישרה או קהה?

להציג את התשובה והפתרון

קהה. המכפלה שלילית, ולכן cos⁡α<0\cos\alpha<0.

וקטור כפול עצמו

u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline{u}\cdot\underline{u}=|\underline{u}|^2

הזווית בין וקטור לעצמו היא 0∘0^\circ, ו-cos⁡0∘=1\cos 0^\circ=1. הכלל הזה הופך מכפלה לאורך — בעזרתו נחשב אורכים.

מכפלה סקלרית בתוך גוף

ABCDEFGH
קובייה ABCDEFGHABCDEFGH שאורך המקצוע שלה 22. ACAC הוא אלכסון של הבסיס.

ארבע מכפלות בקובייה

אורך המקצוע 22. כל הווקטורים יוצאים מ-AA, חוץ מהאחרון.

AB→⋅AD→=2⋅2⋅cos⁡90∘=0\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} &= 2\cdot 2\cdot\cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

שני מקצועות של אותה פאה: מאונכים

∣AC→∣=22+22=22\begin{aligned}|\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{2^2+2^2} \\ &= 2\sqrt{2}\end{aligned}

אלכסון הבסיס, לפי פיתגורס

AB→⋅AC→=2⋅22⋅cos⁡45∘=4\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2\cdot 2\sqrt{2}\cdot\cos 45^\circ \\ &= 4\end{aligned}

האלכסון יוצר זווית 45∘45^\circ עם המקצוע

AB→⋅BA→=2⋅2⋅cos⁡180∘=−4\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BA} &= 2\cdot 2\cdot\cos 180^\circ \\ &= -4\end{aligned}

וקטורים נגדיים: הזווית 180∘180^\circ

מהו AB→⋅AE→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE} בקובייה?

להציג את התשובה והפתרון

00. המקצוע AEAE מאונך לבסיס, ולכן גם ל-ABAB.

הזווית בין וקטורים — רק כששניהם יוצאים מאותה נקודה.

AB→⋅BC→=∣AB∣⋅∣BC∣⋅cos⁡∢B\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=|AB|\cdot|BC|\cdot\cos\sphericalangle B
AB→⋅BC→=−BA→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}

AB→\overrightarrow{AB} נכנס ל-BB, ו-BC→\overrightarrow{BC} יוצא ממנו. הזווית ביניהם היא 180∘−∢B180^\circ-\sphericalangle B.

במשולש שווה צלעות שאורך הצלע שלו aa: AB→⋅AC→=a22\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}, אבל AB→⋅BC→=−a22\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac{a^2}{2}.

תרגילים

תרגיל 1

∣u‾∣=5|\underline{u}|=5, ∣v‾∣=2|\underline{v}|=2, והזווית בין הווקטורים 60∘60^\circ. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

u‾⋅v‾=5⋅2⋅cos⁡60∘\underline{u}\cdot\underline{v}=5\cdot 2\cdot\cos 60^\circ

לפי ההגדרה

=10⋅12=5=10\cdot\frac{1}{2}=5

כופלים את שני האורכים ואת הקוסינוס של הזווית. מי שכתב 1010 שכח את cos⁡60∘\cos 60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

∣u‾∣=6|\underline{u}|=6, ∣v‾∣=4|\underline{v}|=4, והזווית בין הווקטורים 120∘120^\circ. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -12

הפתרון:

u‾⋅v‾=6⋅4⋅cos⁡120∘\underline{u}\cdot\underline{v}=6\cdot 4\cdot\cos 120^\circ
=24⋅(−12)=−12=24\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-12

זווית קהה: המכפלה שלילית

cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}. מי שקיבל 1212 איבד את הסימן — זווית קהה נותנת מכפלה שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=7|\underline{v}|=7, והווקטורים מאונכים זה לזה. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

u‾⋅v‾=3⋅7⋅cos⁡90∘=0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 3\cdot 7\cdot\cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

וקטורים מאונכים: המכפלה אפס, בלי קשר לאורכים. 2121 הוא מכפלת האורכים בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון: u‾⋅v‾=−8\underline{u}\cdot\underline{v}=-8. מה אפשר לומר על הזווית α\alpha בין הווקטורים?

  1. אי אפשר לדעת בלי האורכים
  2. α=90∘\alpha=90^\circ
  3. α\alpha קהה
  4. α\alpha חדה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג α\alpha קהה

הפתרון:

∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡α=−8|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha=-8

האורכים חיוביים

cos⁡α<0 ⇒ 90∘<α≤180∘\cos\alpha<0\ \Rightarrow\ 90^\circ<\alpha\le 180^\circ

את הסימן של המכפלה קובע רק cos⁡α\cos\alpha, כי האורכים תמיד חיוביים. לכן לא צריך את האורכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5 ו-u‾⋅v‾=0\underline{u}\cdot\underline{v}=0. לכן u‾⊥v‾\underline{u}\perp\underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

3⋅5⋅cos⁡α=0 ⇒ cos⁡α=0 ⇒ α=90∘\begin{aligned}3\cdot 5\cdot\cos\alpha &= 0\ \Rightarrow\ \cos\alpha \\ &= 0\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 90^\circ\end{aligned}

המכפלה אפס והאורכים אינם אפס, ולכן cos⁡α=0\cos\alpha=0. זה בדיוק התנאי למאונכות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4. חשבו את u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

u‾⋅u‾=∣u‾∣2=42=16\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 4^2 \\ &= 16\end{aligned}

הזווית בין וקטור לעצמו היא 0∘0^\circ

cos⁡0∘=1\cos 0^\circ=1, ולכן u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u} הוא ריבוע האורך. התשובה 44 שוכחת לכפול באורך פעם שנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

u‾⋅u‾=49\underline{u}\cdot\underline{u}=49. מהו האורך ∣u‾∣|\underline{u}|?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

∣u‾∣2=49|\underline{u}|^2=49
∣u‾∣=49=7\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned}

אורך הוא חיובי

u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u} הוא ריבוע האורך. מוציאים שורש; 4949 הוא לא האורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5 ו-u‾⋅v‾=10\underline{u}\cdot\underline{v}=10. מהי הזווית בין הווקטורים (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

4⋅5⋅cos⁡α=104\cdot 5\cdot\cos\alpha=10
cos⁡α=1020=12 ⇒ α=60∘\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{10}{20} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

מחלקים את המכפלה במכפלת האורכים, לא בסכום שלהם: 104+5\frac{10}{4+5} היא טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH אורך המקצוע 33. השלימו.

AB→⋅AD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}= ____ ; AB→⋅AB→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}= ____ ; AB→⋅DC→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}= ____ ; AB→⋅CD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: AB→⋅AD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}= 0 ; AB→⋅AB→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}= 9 ; AB→⋅DC→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}= 9 ; AB→⋅CD→=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}= -9

הפתרון:

AB→⊥AD→ ⇒ 0\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AD}\ \Rightarrow\ 0

מקצועות של אותה פאה

AB→⋅AB→=32=9\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}
DC→=AB→ ⇒ 9\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\ \Rightarrow\ 9

וקטורים שווים: זווית 0∘0^\circ

CD→=−AB→ ⇒ −9\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\ \Rightarrow\ -9

וקטורים נגדיים: זווית 180∘180^\circ

DC→\overrightarrow{DC} ו-CD→\overrightarrow{CD} הם אותו קטע, אבל בכיוונים מנוגדים. הכיוון משנה את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABC

משולש ABCABC שווה צלעות, ואורך הצלע 44. חשבו את AB→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -8

הפתרון:

AB→⋅BC→=−BA→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}

מזיזים את הווקטורים כך שיצאו מ-BB

=−4⋅4⋅cos⁡60∘=−8=-4\cdot 4\cdot\cos 60^\circ=-8

או: הזווית ביניהם 120∘120^\circ

הזווית בין AB→\overrightarrow{AB} ל-BC→\overrightarrow{BC} היא 120∘120^\circ, לא 60∘60^\circ: הווקטורים לא יוצאים מאותה נקודה. התשובה 88 היא הטעות הזו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

משולש ABCABC שווה צלעות, ואורך הצלע 66. חישבו את AB→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

∣AB→∣=∣BC→∣=6\begin{aligned}|\overrightarrow{AB}| &= |\overrightarrow{BC}| \\ &= 6\end{aligned}
∢(AB→,BC→)=60∘\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=60^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∢(AB→,BC→)=60∘\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=60^\circ → ∢(AB→,BC→)=120∘\sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=120^\circ

הפתרון:

∢(BA→,BC→)=60∘\sphericalangle(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=60^\circ

זו הזווית של המשולש

AB→⋅BC→=6⋅6⋅cos⁡120∘=−18\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} &= 6\cdot 6\cdot\cos 120^\circ \\ &= -18\end{aligned}

זווית המשולש היא בין BA→\overrightarrow{BA} ל-BC→\overrightarrow{BC}. ל-AB→\overrightarrow{AB} יש כיוון הפוך, ולכן הזווית 180∘−60∘=120∘180^\circ-60^\circ=120^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת