תכונות המכפלה הסקלרית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

המכפלה הסקלרית מתנהגת כמעט כמו כפל של מספרים: אפשר להחליף סדר ולפתוח סוגריים.

u‾⋅v‾=v‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{v}=\underline{v}\cdot\underline{u}

חילוף

u‾⋅(v‾+w‾)=u‾⋅v‾+u‾⋅w‾\underline{u}\cdot(\underline{v}+\underline{w})=\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}

פילוג

(ku‾)⋅v‾=k(u‾⋅v‾)(k\underline{u})\cdot\underline{v}=k(\underline{u}\cdot\underline{v})

מספר יוצא החוצה

u‾⋅v‾=3\underline{u}\cdot\underline{v}=3. כמה זה (2u‾)⋅(5v‾)(2\underline{u})\cdot(5\underline{v})?

להציג את התשובה והפתרון

2⋅5⋅3=302\cdot 5\cdot 3=30. שני המספרים יוצאים החוצה.

פתיחת סוגריים

פותחים סוגריים כמו באלגברה: כל וקטור בסוגריים הראשונים כפול כל וקטור בסוגריים השניים.

(a‾+b‾)2=∣a‾∣2+2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2

(a‾+b‾)2(\underline{a}+\underline{b})^2 פירושו (a‾+b‾)⋅(a‾+b‾)(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}+\underline{b})

(a‾+b‾)⋅(a‾−b‾)=∣a‾∣2−∣b‾∣2(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b})=|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2

שתי המכפלות האמצעיות מבטלות זו את זו

פותחים, מכנסים, מציבים

∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=2|\underline{v}|=2, u‾⋅v‾=4\underline{u}\cdot\underline{v}=4. חשבו את (u‾+2v‾)⋅(u‾−v‾)(\underline{u}+2\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v}).

=u‾⋅u‾−u‾⋅v‾+2v‾⋅u‾−2v‾⋅v‾=\underline{u}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{v}+2\underline{v}\cdot\underline{u}-2\underline{v}\cdot\underline{v}

פותחים: ארבע מכפלות

=∣u‾∣2+u‾⋅v‾−2∣v‾∣2=|\underline{u}|^2+\underline{u}\cdot\underline{v}-2|\underline{v}|^2

מכנסים: −u‾⋅v‾+2u‾⋅v‾=u‾⋅v‾-\underline{u}\cdot\underline{v}+2\underline{u}\cdot\underline{v}=\underline{u}\cdot\underline{v}

=9+4−8=5=9+4-8=5

מציבים את הנתונים

באותם נתונים: כמה זה (u‾−v‾)2(\underline{u}-\underline{v})^2?

להציג את התשובה והפתרון

∣u‾∣2−2u‾⋅v‾+∣v‾∣2=9−8+4=5|\underline{u}|^2-2\underline{u}\cdot\underline{v}+|\underline{v}|^2=9-8+4=5.

טבלת מכפלות של שלושה וקטורים

בשאלת הבגרות נותנים שלושה וקטורים u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} שיוצאים מאותו קודקוד: האורכים שלהם והזוויות ביניהם.

הצעד הראשון תמיד: לחשב את כל המכפלות ביניהם, ולרשום אותן בטבלה.

ABCS
פירמידה ABCSABCS. ASAS מאונך למישור הבסיס. AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}.

טבלת המכפלות של הפירמידה

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=6|\underline{v}|=6, ∣w‾∣=5|\underline{w}|=5, ∢BAC=60∘\sphericalangle BAC=60^\circ.

u‾⋅u‾=16v‾⋅v‾=36w‾⋅w‾=25\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{u} &= 16 \\ \quad \underline{v}\cdot\underline{v} &= 36 \\ \quad \underline{w}\cdot\underline{w} &= 25\end{aligned}

ריבועי האורכים

u‾⋅v‾=4⋅6⋅cos⁡60∘=12\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 4\cdot 6\cdot\cos 60^\circ \\ &= 12\end{aligned}

הזווית ביניהם נתונה

u‾⋅w‾=0v‾⋅w‾=0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{w} &= 0 \\ \quad \underline{v}\cdot\underline{w} &= 0\end{aligned}

ASAS מאונך לבסיס, ולכן לכל ישר בבסיס

למה u‾⋅w‾=0\underline{u}\cdot\underline{w}=0, אף שלא נתון ש-∢BAS=90∘\sphericalangle BAS=90^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

כי ASAS מאונך למישור הבסיס, ולכן מאונך לכל ישר במישור — גם ל-ABAB.

מכפלה של שני וקטורים אחרים

חשבו את BC→⋅BS→\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BS} בפירמידה.

BC→=v‾−u‾BS→=w‾−u‾\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \underline{v}-\underline{u} \\ \quad \overrightarrow{BS} &= \underline{w}-\underline{u}\end{aligned}

מביעים באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}

(v‾−u‾)⋅(w‾−u‾)=v‾⋅w‾−v‾⋅u‾−u‾⋅w‾+u‾⋅u‾(\underline{v}-\underline{u})\cdot(\underline{w}-\underline{u})=\underline{v}\cdot\underline{w}-\underline{v}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{w}+\underline{u}\cdot\underline{u}

פותחים סוגריים

=0−12−0+16=4=0-12-0+16=4

מציבים מהטבלה

קודם מביעים כל וקטור באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}. רק אחר כך כופלים.

שתי טעויות בפתיחת סוגריים.

(a‾+b‾)2=∣a‾∣2+∣b‾∣2(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+|\underline{b}|^2
(a‾+b‾)2=∣a‾∣2+2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2

שכחו את האיבר האמצעי. הוא נעלם רק כשהווקטורים מאונכים.

(v‾−u‾)⋅(w‾−u‾)=v‾⋅w‾−∣u‾∣2(\underline{v}-\underline{u})\cdot(\underline{w}-\underline{u})=\underline{v}\cdot\underline{w}-|\underline{u}|^2
(v‾−u‾)⋅(w‾−u‾)=v‾⋅w‾−v‾⋅u‾−u‾⋅w‾+∣u‾∣2(\underline{v}-\underline{u})\cdot(\underline{w}-\underline{u})=\underline{v}\cdot\underline{w}-\underline{v}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{w}+|\underline{u}|^2

ארבע מכפלות, לא שתיים. ו-(−u‾)⋅(−u‾)(-\underline{u})\cdot(-\underline{u}) הוא פלוס.

תרגילים

תרגיל 1

u‾⋅v‾=3\underline{u}\cdot\underline{v}=3. חשבו את (2u‾)⋅(−4v‾)(2\underline{u})\cdot(-4\underline{v}).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -24

הפתרון:

(2u‾)⋅(−4v‾)=2⋅(−4)⋅(u‾⋅v‾)(2\underline{u})\cdot(-4\underline{v})=2\cdot(-4)\cdot(\underline{u}\cdot\underline{v})

המספרים יוצאים החוצה

=−8⋅3=−24=-8\cdot 3=-24

שני המספרים יוצאים החוצה ונכפלים. מי שחיבר אותם (−2-2) קיבל −6-6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

∣a‾∣=5|\underline{a}|=5, ∣b‾∣=3|\underline{b}|=3 ו-a‾⋅b‾=6\underline{a}\cdot\underline{b}=6. חשבו את (a‾+b‾)2(\underline{a}+\underline{b})^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 46

הפתרון:

(a‾+b‾)2=∣a‾∣2+2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2(\underline{a}+\underline{b})^2=|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2
=25+12+9=46=25+12+9=46

אל תשכחו את האיבר האמצעי 2 a‾⋅b‾2\,\underline{a}\cdot\underline{b}. בלעדיו יוצא 3434.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותם נתונים (∣a‾∣=5|\underline{a}|=5, ∣b‾∣=3|\underline{b}|=3, a‾⋅b‾=6\underline{a}\cdot\underline{b}=6), חשבו את (a‾−b‾)2(\underline{a}-\underline{b})^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22

הפתרון:

(a‾−b‾)2=∣a‾∣2−2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2(\underline{a}-\underline{b})^2=|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2
=25−12+9=22=25-12+9=22

רק האיבר האמצעי מחליף סימן. ∣b‾∣2|\underline{b}|^2 נשאר חיובי: מי שכתב 25−12−925-12-9 טעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

∣a‾∣=7|\underline{a}|=7 ו-∣b‾∣=4|\underline{b}|=4. חשבו את (a‾+b‾)⋅(a‾−b‾)(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b}).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 33

הפתרון:

=∣a‾∣2−a‾⋅b‾+b‾⋅a‾−∣b‾∣2=|\underline{a}|^2-\underline{a}\cdot\underline{b}+\underline{b}\cdot\underline{a}-|\underline{b}|^2

חילוף: a‾⋅b‾=b‾⋅a‾\underline{a}\cdot\underline{b}=\underline{b}\cdot\underline{a}

=49−16=33=49-16=33

לא צריך את הזווית: המכפלות האמצעיות מבטלות זו את זו. בגלל זה הנתונים מספיקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

∣u‾∣=2|\underline{u}|=2, ∣v‾∣=3|\underline{v}|=3 ו-u‾⋅v‾=−1\underline{u}\cdot\underline{v}=-1. חשבו את (3u‾+v‾)⋅(u‾−2v‾)(3\underline{u}+\underline{v})\cdot(\underline{u}-2\underline{v}).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

=3∣u‾∣2−6 u‾⋅v‾+v‾⋅u‾−2∣v‾∣2=3|\underline{u}|^2-6\,\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}\cdot\underline{u}-2|\underline{v}|^2

פותחים: ארבע מכפלות

=3∣u‾∣2−5 u‾⋅v‾−2∣v‾∣2=3|\underline{u}|^2-5\,\underline{u}\cdot\underline{v}-2|\underline{v}|^2

מכנסים

=12+5−18=−1=12+5-18=-1

−5⋅(−1)=+5-5\cdot(-1)=+5

שימו לב לסימן: −5u‾⋅v‾-5\underline{u}\cdot\underline{v} כש-u‾⋅v‾=−1\underline{u}\cdot\underline{v}=-1 הוא פלוס 55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לכל שלושה וקטורים: u‾⋅(v‾+w‾)=u‾⋅v‾+u‾⋅w‾\underline{u}\cdot(\underline{v}+\underline{w})=\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

u‾⋅(v‾+w‾)=u‾⋅v‾+u‾⋅w‾\underline{u}\cdot(\underline{v}+\underline{w})=\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}

חוק הפילוג

זה חוק הפילוג, והוא נכון תמיד. בזכותו פותחים סוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

u‾≠0‾\underline{u}\neq\underline{0} ו-u‾⋅v‾=u‾⋅w‾\underline{u}\cdot\underline{v}=\underline{u}\cdot\underline{w}. לכן v‾=w‾\underline{v}=\underline{w}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

u‾⋅v‾−u‾⋅w‾=0 ⇒ u‾⋅(v‾−w‾)=0\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v}-\underline{u}\cdot\underline{w} &= 0\ \Rightarrow\ \underline{u}\cdot(\underline{v}-\underline{w}) \\ &= 0\end{aligned}
u‾⊥(v‾−w‾)\underline{u}\perp(\underline{v}-\underline{w})

זה כל מה שיודעים

אי אפשר לחלק ב-u‾\underline{u}. המכפלה אפס אומרת רק ש-v‾−w‾\underline{v}-\underline{w} מאונך ל-u‾\underline{u}, לא שהוא אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

∣u‾∣=∣v‾∣=3|\underline{u}|=|\underline{v}|=3, ∣w‾∣=4|\underline{w}|=4. הזווית בין u‾\underline{u} ל-v‾\underline{v} היא 120∘120^\circ, ו-w‾\underline{w} מאונך לשניהם. השלימו את טבלת המכפלות.

u‾⋅u‾=\underline{u}\cdot\underline{u}= ____ ; u‾⋅v‾=\underline{u}\cdot\underline{v}= ____ ; u‾⋅w‾=\underline{u}\cdot\underline{w}= ____ ; w‾⋅w‾=\underline{w}\cdot\underline{w}= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: u‾⋅u‾=\underline{u}\cdot\underline{u}= 9 ; u‾⋅v‾=\underline{u}\cdot\underline{v}= -4.5 ; u‾⋅w‾=\underline{u}\cdot\underline{w}= 0 ; w‾⋅w‾=\underline{w}\cdot\underline{w}= 16

הפתרון:

u‾⋅u‾=32=9\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{u} &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}
u‾⋅v‾=3⋅3⋅cos⁡120∘=−4.5\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 3\cdot 3\cdot\cos 120^\circ \\ &= -4.5\end{aligned}
u‾⋅w‾=0\underline{u}\cdot\underline{w}=0

מאונכים

w‾⋅w‾=42=16\begin{aligned}\underline{w}\cdot\underline{w} &= 4^2 \\ &= 16\end{aligned}

u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v} שלילי, כי הזווית קהה. מי שכתב 4.54.5 השתמש ב-cos⁡60∘\cos 60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

באותם נתונים (∣u‾∣=∣v‾∣=3|\underline{u}|=|\underline{v}|=3, הזווית ביניהם 120∘120^\circ), חשבו את (u‾+v‾)2(\underline{u}+\underline{v})^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

(u‾+v‾)2=∣u‾∣2+2 u‾⋅v‾+∣v‾∣2(\underline{u}+\underline{v})^2=|\underline{u}|^2+2\,\underline{u}\cdot\underline{v}+|\underline{v}|^2
=9−9+9=9=9-9+9=9

האיבר האמצעי 2⋅(−4.5)=−92\cdot(-4.5)=-9 מקטין את התוצאה. בלעדיו יוצא 1818.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

איזה ביטוי שווה ל-∣a‾−b‾∣2|\underline{a}-\underline{b}|^2?

  1. ∣a‾∣2+∣b‾∣2|\underline{a}|^2+|\underline{b}|^2
  2. ∣a‾∣2−∣b‾∣2|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2
  3. ∣a‾∣2−2 a‾⋅b‾−∣b‾∣2|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}-|\underline{b}|^2
  4. ∣a‾∣2−2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ∣a‾∣2−2 a‾⋅b‾+∣b‾∣2|\underline{a}|^2-2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2

הפתרון:

∣a‾−b‾∣2=(a‾−b‾)⋅(a‾−b‾)|\underline{a}-\underline{b}|^2=(\underline{a}-\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b})
=a‾⋅a‾−a‾⋅b‾−b‾⋅a‾+b‾⋅b‾=\underline{a}\cdot\underline{a}-\underline{a}\cdot\underline{b}-\underline{b}\cdot\underline{a}+\underline{b}\cdot\underline{b}

(−b‾)⋅(−b‾)=+∣b‾∣2(-\underline{b})\cdot(-\underline{b})=+|\underline{b}|^2. התשובה ∣a‾∣2−∣b‾∣2|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2 היא של (a‾+b‾)⋅(a‾−b‾)(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b}).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתחו את (u‾+v‾)⋅(u‾−v‾)(\underline{u}+\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v}). שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

=u‾⋅u‾−u‾⋅v‾+v‾⋅u‾−v‾⋅v‾=\underline{u}\cdot\underline{u}-\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}\cdot\underline{u}-\underline{v}\cdot\underline{v}
=∣u‾∣2−2 u‾⋅v‾−∣v‾∣2=|\underline{u}|^2-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}-|\underline{v}|^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =∣u‾∣2−2 u‾⋅v‾−∣v‾∣2=|\underline{u}|^2-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}-|\underline{v}|^2 → =∣u‾∣2−∣v‾∣2=|\underline{u}|^2-|\underline{v}|^2

הפתרון:

−u‾⋅v‾+v‾⋅u‾=0-\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}\cdot\underline{u}=0

חילוף: שני האיברים מבטלים זה את זה

−u‾⋅v‾-\underline{u}\cdot\underline{v} ו-+v‾⋅u‾+\underline{v}\cdot\underline{u} הם מספרים נגדיים. הם לא מתחברים ל-−2 u‾⋅v‾-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCS

בפירמידה ABCSABCS של השיעור: ∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=6|\underline{v}|=6, ∣w‾∣=5|\underline{w}|=5, ∢BAC=60∘\sphericalangle BAC=60^\circ, ו-ASAS מאונך לבסיס. חשבו את CS→⋅CB→\overrightarrow{CS}\cdot\overrightarrow{CB}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

CS→=w‾−v‾CB→=u‾−v‾\begin{aligned}\overrightarrow{CS} &= \underline{w}-\underline{v} \\ \quad \overrightarrow{CB} &= \underline{u}-\underline{v}\end{aligned}

מביעים

(w‾−v‾)⋅(u‾−v‾)=w‾⋅u‾−w‾⋅v‾−v‾⋅u‾+v‾⋅v‾(\underline{w}-\underline{v})\cdot(\underline{u}-\underline{v})=\underline{w}\cdot\underline{u}-\underline{w}\cdot\underline{v}-\underline{v}\cdot\underline{u}+\underline{v}\cdot\underline{v}
=0−0−12+36=24=0-0-12+36=24

מהטבלה

CS→\overrightarrow{CS} יוצא מ-CC: הוא w‾−v‾\underline{w}-\underline{v}, לא w‾+v‾\underline{w}+\underline{v}. ובסוף, (−v‾)⋅(−v‾)=+36(-\underline{v})\cdot(-\underline{v})=+36.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת