אורכים, זוויות ושטחים · מכפלה סקלרית וגופים במרחב · כיתה י״ב

המכפלה הסקלרית היא כלי מדידה. בעזרתה מחשבים אורך של קטע, זווית ושטח — גם כשקשה לראות אותם בגוף.

אורך של וקטור

|\underline{a}|=\sqrt{\underline{a}\cdot\underline{a}}

מעלים בריבוע, פותחים סוגריים, מוציאים שורש

הפירמידה של הפרק:

|\underline{u}|=4

|\underline{v}|=6

|\underline{w}|=5

\sphericalangle BAC=60^\circ

AS

מאונך לבסיס.

האורך של $BC$

מביעים את $\overrightarrow{BC}$ , ומעלים בריבוע.

\overrightarrow{BC}=\underline{v}-\underline{u}

|\overrightarrow{BC}|^2=|\underline{v}|^2-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}+|\underline{u}|^2

פותחים סוגריים

=36-24+16=28

$\underline{u}\cdot\underline{v}=12$ מהטבלה

\begin{aligned}|\overrightarrow{BC}| &= \sqrt{28} \\ &= 2\sqrt{7}\approx 5.29\end{aligned}

שורש בסוף

בדקו את $BC$ במשפט הקוסינוסים במשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

$BC^2=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot\cos 60^\circ=28$ ✓. זה אותו חישוב בדיוק.

הזווית בין שני וקטורים

\cos\alpha=\frac{\underline{a}\cdot\underline{b}}{|\underline{a}|\cdot|\underline{b}|}

שלושה חישובים: המכפלה, שני האורכים, ואז החילוק.

הזווית $\sphericalangle SBC$

שני הווקטורים יוצאים מ- $B$ : $\overrightarrow{BC}$ ו- $\overrightarrow{BS}$ .

\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BS}=4

חישבנו ביחידה הקודמת

\begin{aligned}|\overrightarrow{BS}|^2 &= |\underline{w}-\underline{u}|^2 \\ &= 25-0+16 \\ &= 41\end{aligned}

$\underline{u}\cdot\underline{w}=0$

\cos\alpha=\frac{4}{\sqrt{28}\cdot\sqrt{41}}\approx 0.118

מחלקים במכפלת האורכים

\alpha\approx 83.22^\circ

במחשבון

הזווית יצאה קרובה ל- $90^\circ$ . איך יודעים בלי מחשבון שהיא חדה?

להציג את התשובה והפתרון

המכפלה $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BS}=4$ חיובית, ולכן $\cos\alpha>0$ .

שטח של משולש

S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot|\underline{a}|\cdot|\underline{b}|\cdot\sin\alpha

$\underline{a}$ ו- $\underline{b}$ יוצאים מאותו קודקוד

את $\sin\alpha$ מוצאים מהזווית, במחשבון. או בלי לעגל: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ .

השטח של המשולש $SBC$

ממשיכים מהזווית שמצאנו.

\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{16}{28\cdot 41}}

S_{SBC}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{28}\cdot\sqrt{41}\cdot\sin\alpha

=\frac{1}{2}\sqrt{28\cdot 41-16}=\sqrt{283}\approx 16.82

הוכחה של מאונכות

כדי להוכיח ששני ישרים מאונכים: מביעים את שני הווקטורים, כופלים, ומקבלים $0$ .

קובייה:

\overrightarrow{AB}=\underline{u}

\overrightarrow{AD}=\underline{v}

\overrightarrow{AE}=\underline{w}

. כל המכפלות ביניהם

0

האלכסון $AG$ מאונך ל- $BD$

אורך המקצוע $a$ .

\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad \overrightarrow{BD} &= \underline{v}-\underline{u}\end{aligned}

מביעים

\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=\underline{u}\cdot\underline{v}-|\underline{u}|^2+|\underline{v}|^2-\underline{v}\cdot\underline{u}+\underline{w}\cdot\underline{v}-\underline{w}\cdot\underline{u}

פותחים

=0-a^2+a^2-0+0-0=0

לכן $AG\perp BD$ ✓

ובאותה קובייה: האם $AG\perp AC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $(\underline{u}+\underline{v}+\underline{w})\cdot(\underline{u}+\underline{v})=a^2+a^2=2a^2\neq 0$ .

שלושה מקצועות של קובייה או של תיבה שיוצאים מאותו קודקוד: כל המכפלות ביניהם אפס. נוח לבחור אותם כ- $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ .

אורך של סכום אינו סכום האורכים.

|\underline{a}+\underline{b}|=|\underline{a}|+|\underline{b}|

|\underline{a}+\underline{b}|=\sqrt{|\underline{a}|^2+2\,\underline{a}\cdot\underline{b}+|\underline{b}|^2}

השוויון נכון רק כשהווקטורים באותו כיוון. תמיד מעלים בריבוע.

תרגילים

תרגיל 1

$|\underline{a}|=3$ , $|\underline{b}|=4$ , ו- $\underline{a}\perp\underline{b}$ . מהו $|\underline{a}+\underline{b}|$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}|\underline{a}+\underline{b}|^2 &= 9+2\cdot 0+16 \\ &= 25\end{aligned}

|\underline{a}+\underline{b}|=5

מאונכים: האיבר האמצעי $0$ , וזה בדיוק פיתגורס. $7$ הוא סכום האורכים — לא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$|\underline{a}|=5$ , $|\underline{b}|=3$ , והזווית ביניהם $60^\circ$ . מהו $|\underline{a}+\underline{b}|$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{a}\cdot\underline{b} &= 5\cdot 3\cdot\frac{1}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

\begin{aligned}|\underline{a}+\underline{b}|^2 &= 25+15+9 \\ &= 49\end{aligned}

|\underline{a}+\underline{b}|=7

אל תשכחו להוציא שורש בסוף: $49$ הוא ריבוע האורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותם נתונים ( $|\underline{a}|=5$ , $|\underline{b}|=3$ , $60^\circ$ ), מהו $|\underline{a}-\underline{b}|$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.36

הפתרון:

\begin{aligned}|\underline{a}-\underline{b}|^2 &= 25-15+9 \\ &= 19\end{aligned}

|\underline{a}-\underline{b}|=\sqrt{19}\approx 4.36

רק האיבר האמצעי מחליף סימן. מי שכתב $25-15-9$ קיבל $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$|\underline{a}|=4$ , $|\underline{b}|=6$ ו- $\underline{a}\cdot\underline{b}=-12$ . מהי הזווית בין הווקטורים (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{-12}{4\cdot 6} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

\alpha=120^\circ

קוסינוס שלילי: זווית קהה

הסימן חשוב: $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ נותן $120^\circ$ , לא $60^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$|\underline{a}|=2$ , $|\underline{b}|=5$ ו- $\underline{a}\cdot\underline{b}=7$ . מהי הזווית בין הווקטורים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45.57

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{7}{2\cdot 5} \\ &= 0.7\end{aligned}

\alpha\approx 45.57^\circ

מחלקים במכפלת האורכים: $\frac{7}{2+5}=1$ היה נותן $0^\circ$ — סימן שמשהו לא בסדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש $ABC$ : $|\overrightarrow{AB}|=6$ , $|\overrightarrow{AC}|=5$ ו- $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=15$ . חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.99

הפתרון:

\begin{aligned}\cos A &= \frac{15}{30} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 60^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5\cdot\sin 60^\circ \\ &= 7.5\sqrt{3}\approx 12.99\end{aligned}

בשטח משתמשים ב- $\sin$ , לא ב- $\cos$ : $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5\cdot\cos 60^\circ=7.5$ היא הטעות הנפוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בקובייה $ABCDEFGH$ אורך המקצוע $2$ . חשבו את אורך האלכסון $AG$ בעזרת וקטורים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.46

הפתרון:

\overrightarrow{AG}=\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

שלושה מקצועות מ- $A$

\begin{aligned}|\overrightarrow{AG}|^2 &= 4+4+4+2(0+0+0) \\ &= 12\end{aligned}

כל המכפלות בין המקצועות $0$

\begin{aligned}|\overrightarrow{AG}| &= \sqrt{12} \\ &= 2\sqrt{3}\approx 3.46\end{aligned}

שלושה ריבועים, כי שלושה מקצועות; המכפלות המעורבות אפס. $\sqrt{8}$ הוא אלכסון של פאה, לא של הקובייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בקובייה $ABCDEFGH$ : $AG\perp BE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad \overrightarrow{BE} &= \underline{w}-\underline{u}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE} &= |\underline{w}|^2-|\underline{u}|^2 \\ &= a^2-a^2 \\ &= 0\end{aligned}

המכפלות המעורבות אפס

לא סומכים על העין: מחשבים את המכפלה. $0$ פירושו מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$|\underline{u}|=|\underline{v}|=2$ ו- $\underline{u}\cdot\underline{v}=2$ . מהו $|\underline{u}-\underline{v}|$ ?

$4$
$2$
$2\sqrt{2}$
$0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $2$

הפתרון:

\begin{aligned}|\underline{u}-\underline{v}|^2 &= 4-4+4 \\ &= 4\end{aligned}

|\underline{u}-\underline{v}|=2

$\underline{u}\cdot\underline{v}=2$ פירושו זווית $60^\circ$ : המשולש שווה צלעות. $0$ היה נכון רק אילו $\underline{u}=\underline{v}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בתיבה $ABCDEFGH$ : $AB=3$ , $AD=4$ , $AE=12$ . השלימו.

$|\overrightarrow{AG}|=$ ____ ; $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB}=$ ____ ; $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AE}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $|\overrightarrow{AG}|=$ 13 ; $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB}=$ 9 ; $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AE}=$ 144

הפתרון:

\overrightarrow{AG}=\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}

\begin{aligned}|\overrightarrow{AG}| &= \sqrt{9+16+144} \\ &= 13\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AG}\cdot\underline{u} &= |\underline{u}|^2 \\ &= 9\end{aligned}

$\underline{v}\cdot\underline{u}=\underline{w}\cdot\underline{u}=0$

\begin{aligned}\overrightarrow{AG}\cdot\underline{w} &= |\underline{w}|^2 \\ &= 144\end{aligned}

מכפלה של האלכסון במקצוע היא ריבוע המקצוע, כי שני המקצועות האחרים מאונכים לו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

$\underline{a}\cdot\underline{b}=6$ , $|\underline{a}|=3$ , $|\underline{b}|=4$ . חישבו את הזווית בין הווקטורים. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

\underline{a}\cdot\underline{b}=6

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{6}{3+4} \\ &= \frac{6}{7}\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\cos\alpha=\frac{6}{3+4}=\frac{6}{7}$ → $\cos\alpha=\frac{6}{3\cdot 4}=\frac{1}{2}$

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 60^\circ\end{aligned}

במכנה מכפלת האורכים, כמו בהגדרה $|\underline{a}|\cdot|\underline{b}|\cos\alpha$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בפירמידה של הפרק ( $|\underline{u}|=4$ , $|\underline{v}|=6$ , $|\underline{w}|=5$ , $AS$ מאונך לבסיס), $E$ היא אמצע $BS$ . חשבו את $|\overrightarrow{AE}|$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.2

הפתרון:

\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{w})

אמצע הקטע: חצי הסכום

\begin{aligned}|\overrightarrow{AE}|^2 &= \frac{1}{4}(16+0+25) \\ &= \frac{41}{4}\end{aligned}

$\underline{u}\cdot\underline{w}=0$

|\overrightarrow{AE}|=\frac{\sqrt{41}}{2}\approx 3.20

גם $\frac{1}{2}$ עולה בריבוע: $\frac{1}{4}$ . מי שכפל ב- $\frac{1}{2}$ קיבל $\sqrt{20.5}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

אורך של וקטור

הזווית בין שני וקטורים

שטח של משולש

הוכחה של מאונכות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev