ישר מאונך למישור

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לכל ישר שנמצא במישור.

דוגמה: עמוד שעומד ישר על רצפה. הוא מאונך לכל קו שמסמנים על הרצפה מהבסיס שלו.

KLMNOSXYZ
SOSO מאונך למישור: הוא מאונך ל-OXOX, ל-OYOY, ל-OZOZ — ולכל ישר אחר במישור.

כדי לבדוק שעמוד ניצב לרצפה, צריך לבדוק כל קו על הרצפה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. מספיק שני קווים נחתכים — זה המשפט הבא.

התנאי המספיק

אם ישר מאונך לשני ישרים נחתכים במישור, אז הוא מאונך למישור — ולכן לכל ישר במישור.

ומה אם שני הישרים במישור מקבילים?

להציג את התשובה והפתרון

זה לא מספיק. ישר יכול להיות מאונך לשני ישרים מקבילים, ועדיין להיות נטוי למישור.

בשפה של וקטורים

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} הם שני וקטורים לא מקבילים במישור. הווקטור w‾\underline{w} מאונך למישור כאשר:

w‾⋅u‾=0w‾⋅v‾=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot\underline{u} &= 0\quad \\ \quad \underline{w}\cdot\underline{v} &= 0\end{aligned}

שתי המכפלות אפס — וגם זו וגם זו

ואז המכפלה של w‾\underline{w} עם כל וקטור במישור היא 00:

w‾⋅(au‾+bv‾)=a⋅0+b⋅0=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot(a\underline{u}+b\underline{v}) &= a\cdot 0+b\cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

מנסרה ישרה

במנסרה ישרה המקצועות הצדדיים מאונכים לבסיסים. כל מקצוע צדדי הוא גובה של המנסרה.

ABCDEF
מנסרה ישרה ABCDEFABCDEF: ADAD, BEBE, CFCF מאונכים לבסיס ABCABC.

במנסרה הישרה ABCDEFABCDEF, מהו AD→⋅BC→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}?

להציג את התשובה והפתרון

00. ADAD מאונך לבסיס ABCABC, ולכן לכל ישר בו — גם ל-BCBC, שלא עובר דרך AA.

הגובה של פירמידה

גובה הפירמידה הוא הקטע שיורד מהקודקוד במאונך למישור הבסיס.

בפירמידה ישרה כל המקצועות הצדדיים שווים. הגובה שלה יורד למרכז המעגל החוסם את הבסיס: בבסיס ריבועי — לנקודת החיתוך של האלכסונים.

ABCDOS
פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. SOSO הוא הגובה.

מוצאים את הגובה

אורך צלע הבסיס 88, ואורך המקצוע הצדדי 99.

AC=82 ⇒ AO=42\begin{aligned}AC &= 8\sqrt{2}\ \Rightarrow\ AO \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

חצי אלכסון הריבוע

SO⊥AOSO\perp AO

SOSO מאונך לבסיס, ולכן לכל ישר בו

SO2=SA2−AO2=81−32=49\begin{aligned}SO^2 &= SA^2-AO^2 \\ &= 81-32 \\ &= 49\end{aligned}

פיתגורס במשולש SOASOA

SO=7SO=7

בשאלה עם וקטורים: אם w‾\underline{w} הוא וקטור של גובה, אז w‾\underline{w} מאונך לכל וקטור בבסיס. כל מכפלה של w‾\underline{w} עם וקטור בבסיס היא 00.

הגובה של הפירמידה הוא לא המקצוע הצדדי.

h=SAh=SA
h=SOSO⊥ABCD\begin{aligned}h &= SO \\ \quad SO\perp ABCD\end{aligned}

המקצוע SASA נטוי. הגובה יורד במאונך לבסיס — ובפירמידה ישרה, למרכז הבסיס.

תרגילים

תרגיל 1

ישר שמאונך לשני ישרים מקבילים במישור — מאונך למישור.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

ℓ⊥a, ℓ⊥b, a∥b\ell\perp a,\ \ell\perp b,\ a\parallel b

שני הישרים נותנים כיוון אחד בלבד

התנאי המספיק דורש שני ישרים נחתכים. שני ישרים מקבילים הם בעצם כיוון אחד במישור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ישר שמאונך לשני ישרים נחתכים במישור — מאונך לכל ישר במישור.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

ℓ⊥a, ℓ⊥b ⇒ ℓ⊥P\ell\perp a,\ \ell\perp b\ \Rightarrow\ \ell\perp P

aa ו-bb נחתכים במישור PP: זה התנאי המספיק

זה התנאי המספיק. מכאן: הישר מאונך גם לישרים שלא עוברים דרך נקודת החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCDEF

ABCDEFABCDEF מנסרה ישרה (DD מעל AA, EE מעל BB, FF מעל CC). איזו מכפלה אינה בהכרח 00?

  1. AD→⋅BC→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}
  2. AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
  3. AD→⋅AB→\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}
  4. BE→⋅AC→\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AC}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}

הפתרון:

AD→, BE→⊥ABC\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{BE}\perp ABC

מקצועות צדדיים מאונכים לבסיס

AB→⋅AC→=∣AB∣⋅∣AC∣⋅cos⁡A\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|AB|\cdot|AC|\cdot\cos A

תלוי בזווית של הבסיס

מקצוע צדדי מאונך לכל ישר בבסיס, גם לישר שלא נוגע בו. אבל שני ישרים בתוך הבסיס — רק אם הזווית ביניהם ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCDEF

ABCDEFABCDEF מנסרה ישרה. AB=3AB=3, AC=4AC=4, ∢BAC=90∘\sphericalangle BAC=90^\circ, AD=12AD=12. חשבו את ∣BF→∣|\overrightarrow{BF}|.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

BF→=BA→+AC→+CF→=−u‾+v‾+w‾\begin{aligned}\overrightarrow{BF} &= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF} \\ &= -\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}\end{aligned}

u‾=AB→\underline{u}=\overrightarrow{AB}, v‾=AC→\underline{v}=\overrightarrow{AC}, w‾=AD→\underline{w}=\overrightarrow{AD}

∣BF→∣2=9+16+144=169\begin{aligned}|\overrightarrow{BF}|^2 &= 9+16+144 \\ &= 169\end{aligned}

שלושת הווקטורים מאונכים זה לזה

∣BF→∣=13|\overrightarrow{BF}|=13

CF→=AD→\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AD}: מקצועות צדדיים של מנסרה הם וקטורים שווים. ו-w‾\underline{w} מאונך לבסיס, ולכן כל המכפלות שלו 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDOS

פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. אורך צלע הבסיס 66, וגובה הפירמידה 44. חשבו את אורך המקצוע הצדדי SASA. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.83

הפתרון:

AO=622=32AO2=18\begin{aligned}AO &= \frac{6\sqrt{2}}{2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \quad AO^2 &= 18\end{aligned}

חצי אלכסון

SA=18+16=34≈5.83\begin{aligned}SA &= \sqrt{18+16} \\ &= \sqrt{34}\approx 5.83\end{aligned}

פיתגורס במשולש SOASOA, הזווית ב-OO ישרה

הגובה יורד למרכז OO, לא לקודקוד. בפיתגורס משתמשים ב-AOAO, חצי האלכסון — לא בצלע 66.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDOS

פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. אורך צלע הבסיס 44, ואורך כל מקצוע צדדי 66. חשבו את גובה הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.29

הפתרון:

AO=22AO2=8\begin{aligned}AO &= 2\sqrt{2} \\ \quad AO^2 &= 8\end{aligned}
SO=36−8=28≈5.29\begin{aligned}SO &= \sqrt{36-8} \\ &= \sqrt{28}\approx 5.29\end{aligned}

המקצוע SA=6SA=6 הוא היתר במשולש SOASOA. מחסרים, לא מחברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} שני וקטורים לא מקבילים בבסיס של פירמידה, ו-w‾\underline{w} וקטור הגובה שלה, ∣w‾∣=5|\underline{w}|=5. השלימו.

w‾⋅u‾=\underline{w}\cdot\underline{u}= ____ ; w‾⋅(2u‾−3v‾)=\underline{w}\cdot(2\underline{u}-3\underline{v})= ____ ; (u‾+w‾)⋅w‾=(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w}= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: w‾⋅u‾=\underline{w}\cdot\underline{u}= 0 ; w‾⋅(2u‾−3v‾)=\underline{w}\cdot(2\underline{u}-3\underline{v})= 0 ; (u‾+w‾)⋅w‾=(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w}= 25

הפתרון:

w‾⋅u‾=0\underline{w}\cdot\underline{u}=0

הגובה מאונך לבסיס

w‾⋅(2u‾−3v‾)=2⋅0−3⋅0=0\begin{aligned}\underline{w}\cdot(2\underline{u}-3\underline{v}) &= 2\cdot 0-3\cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

וקטור בבסיס

(u‾+w‾)⋅w‾=0+∣w‾∣2=25\begin{aligned}(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w} &= 0+|\underline{w}|^2 \\ &= 25\end{aligned}

w‾⋅w‾\underline{w}\cdot\underline{w} הוא לא אפס: זה ריבוע האורך, 2525. רק המכפלה עם וקטורים בבסיס מתאפסת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCOS

פירמידה ישרה ABCSABCS שבסיסה משולש שווה צלעות. אורך צלע הבסיס 66, ואורך כל מקצוע צדדי 55. חשבו את גובה הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.61

הפתרון:

R=63=23R2=12\begin{aligned}R &= \frac{6}{\sqrt{3}} \\ &= 2\sqrt{3} \\ \quad R^2 &= 12\end{aligned}

רדיוס המעגל החוסם משולש שווה צלעות

h=25−12=13≈3.61\begin{aligned}h &= \sqrt{25-12} \\ &= \sqrt{13}\approx 3.61\end{aligned}

פיתגורס: מקצוע צדדי, רדיוס, גובה

הגובה יורד למרכז המעגל החוסם. המרחק מהמרכז לקודקוד הוא R=23R=2\sqrt{3}, לא חצי צלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו: מאונך למישור הבסיס בוודאות, או לא בהכרח?

  • מאונך בוודאות
  • לא בהכרח
  • אלכסון של פאה צדדית במנסרה ישרה
  • גובה של פירמידה
  • מקצוע צדדי של מנסרה ישרה
  • מקצוע צדדי של פירמידה ישרה
  • מקצוע צדדי של תיבה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקצוע צדדי של מנסרה ישרה — מאונך בוודאות · גובה של פירמידה — מאונך בוודאות · מקצוע צדדי של פירמידה ישרה — לא בהכרח · אלכסון של פאה צדדית במנסרה ישרה — לא בהכרח · מקצוע צדדי של תיבה — מאונך בוודאות

הפתרון:

AD⊥ABCAD\perp ABC

מנסרה ישרה: מקצוע צדדי מאונך לבסיס

SO⊥ABC,SA⊥̸ABCSO\perp ABC,\quad SA\not\perp ABC

פירמידה ישרה: הגובה מאונך, המקצוע הצדדי נטוי

בפירמידה ישרה הגובה מאונך לבסיס, אבל המקצועות הצדדיים נטויים. אל תבלבלו בין «פירמידה ישרה» ל«מקצוע ישר».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} במישור, ∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=4|\underline{v}|=4, u‾⋅v‾=6\underline{u}\cdot\underline{v}=6. הווקטור w‾\underline{w} מאונך למישור, ו-∣w‾∣=2|\underline{w}|=2. חשבו את ∣u‾+v‾+w‾∣|\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.4

הפתרון:

∣u‾+v‾+w‾∣2=9+16+4+2(u‾⋅v‾+u‾⋅w‾+v‾⋅w‾)|\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}|^2=9+16+4+2(\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{u}\cdot\underline{w}+\underline{v}\cdot\underline{w})
=29+2(6+0+0)=41=29+2(6+0+0)=41

w‾\underline{w} מאונך לשניהם

41≈6.40\sqrt{41}\approx 6.40

שלוש מכפלות מעורבות, כל אחת פעמיים. רק u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v} לא מתאפסת, כי u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} לא מאונכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת