נפחים: מנסרה ופירמידה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שאלת הווקטורים בבגרות נגמרת לעתים קרובות בנפח. צריך שני דברים: שטח הבסיס וגובה.

V=S⋅hV=S\cdot h

מנסרה: SS שטח הבסיס, hh הגובה

V=13⋅S⋅hV=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h

פירמידה: שליש מהמנסרה

למנסרה ולפירמידה יש אותו בסיס ואותו גובה. פי כמה גדול נפח המנסרה?

להציג את התשובה והפתרון

פי 3.

שטח הבסיס בעזרת וקטורים

הבסיס הוא לרוב משולש. את השטח שלו מחשבים ב-12absin⁡α\frac{1}{2}ab\sin\alpha: aa ו-bb שתי צלעות, ו-α\alpha הזווית ביניהן.

ABCS
הפירמידה של הפרק: AB=4AB=4, AC=6AC=6, ∢BAC=60∘\sphericalangle BAC=60^\circ, AS=5AS=5, ASAS מאונך לבסיס.

הנפח של הפירמידה ABCSABCS

הבסיס ABCABC, והגובה ASAS.

SABC=12⋅4⋅6⋅sin⁡60∘=63\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 60^\circ \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

שתי צלעות והזווית ביניהן

h=AS=5\begin{aligned}h &= AS \\ &= 5\end{aligned}

ASAS מאונך למישור הבסיס

V=13⋅63⋅5=103≈17.32\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 5 \\ &= 10\sqrt{3}\approx 17.32\end{aligned}

למה ASAS הוא הגובה של הפירמידה?

להציג את התשובה והפתרון

כי נתון ש-ASAS מאונך למישור הבסיס ABCABC.

כשהגובה לא נתון

לפעמים צריך למצוא את הגובה. בפירמידה ישרה הוא יורד למרכז הבסיס, ומוצאים אותו בפיתגורס.

פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע

צלע הבסיס 88, המקצוע הצדדי 99. מצאנו כבר ש-SO=7SO=7.

SABCD=82=64\begin{aligned}S_{ABCD} &= 8^2 \\ &= 64\end{aligned}
V=13⋅64⋅7=4483≈149.33\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 64\cdot 7 \\ &= \frac{448}{3}\approx 149.33\end{aligned}

מנסרה ישרה

ABCDEF
מנסרה ישרה ABCDEFABCDEF. AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AD→=w‾\overrightarrow{AD}=\underline{w}.

הזווית מהמכפלה, ואז הנפח

∣u‾∣=5|\underline{u}|=5, ∣v‾∣=8|\underline{v}|=8, u‾⋅v‾=−20\underline{u}\cdot\underline{v}=-20, ∣w‾∣=6|\underline{w}|=6.

cos⁡A=−205⋅8=−12 ⇒ A=120∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{-20}{5\cdot 8} \\ &= -\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 120^\circ\end{aligned}

קודם הזווית של הבסיס

SABC=12⋅5⋅8⋅sin⁡120∘=103\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 120^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

sin⁡120∘=sin⁡60∘\sin 120^\circ=\sin 60^\circ

V=103⋅6=603≈103.92\begin{aligned}V &= 10\sqrt{3}\cdot 6 \\ &= 60\sqrt{3}\approx 103.92\end{aligned}

מקצוע צדדי של מנסרה ישרה הוא הגובה

תיבה שמידותיה 33, 44, 55. מה הנפח שלה? ומה הנפח של הפירמידה שנחתכת מהפינה שלה, שלושה מקצועות מקודקוד אחד?

להציג את התשובה והפתרון

התיבה: 6060. הפירמידה: 13⋅12⋅3⋅4⋅5=10\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot 5=10 — שישית מהתיבה.

בפירמידה משולשת אפשר לבחור כל פאה כבסיס. בוחרים את הפאה שהגובה אליה ידוע.

שתי טעויות בנפח.

VABCS=SABC⋅ASV_{ABCS}=S_{ABC}\cdot AS
VABCS=13⋅SABC⋅ASV_{ABCS}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot AS

בפירמידה יש שליש. בלעדיו, זה הנפח של מנסרה.

SABC=4⋅6⋅sin⁡60∘S_{ABC}=4\cdot 6\cdot\sin 60^\circ
SABC=12⋅4⋅6⋅sin⁡60∘S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 60^\circ

בשטח של משולש יש חצי.

תרגילים

תרגיל 1

שטח הבסיס של מנסרה ישרה 1212, וגובהה 55. מהו הנפח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

V=12⋅5=60\begin{aligned}V &= 12\cdot 5 \\ &= 60\end{aligned}

במנסרה אין שליש. 2020 הוא נפח של פירמידה עם אותו בסיס וגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שטח הבסיס של פירמידה 1818, וגובהה 77. מהו הנפח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 42

הפתרון:

V=13⋅18⋅7=42\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 7 \\ &= 42\end{aligned}

בפירמידה מחלקים ב-33. 126126 הוא נפח של מנסרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך למישור הבסיס. AB=AC=6AB=AC=6, ∢BAC=90∘\sphericalangle BAC=90^\circ, AS=8AS=8. חשבו את נפח הפירמידה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

SABC=12⋅6⋅6=18\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6 \\ &= 18\end{aligned}

משולש ישר זווית

V=13⋅18⋅8=48\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 8 \\ &= 48\end{aligned}

שני «חלקים» שונים: חצי בשטח המשולש, ושליש בנפח. מי ששכח אחד מהם קיבל 9696 או 144144.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך לבסיס. AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, ∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5, u‾⋅v‾=10\underline{u}\cdot\underline{v}=10, AS=6AS=6. חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17.32

הפתרון:

cos⁡A=104⋅5=12 ⇒ A=60∘\begin{aligned}\cos A &= \frac{10}{4\cdot 5} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 60^\circ\end{aligned}

מהמכפלה לזווית

SABC=12⋅4⋅5⋅sin⁡60∘=53\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot\sin 60^\circ \\ &= 5\sqrt{3}\end{aligned}
V=13⋅53⋅6=103≈17.32\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 5\sqrt{3}\cdot 6 \\ &= 10\sqrt{3}\approx 17.32\end{aligned}

המכפלה 1010 נותנת את הקוסינוס. לשטח צריך את הסינוס: מי שכפל ב-cos⁡60∘\cos 60^\circ קיבל 1010.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDOS

פירמידה ישרה ABCDSABCDS שבסיסה ריבוע. צלע הבסיס 66, וכל מקצוע צדדי 55. חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31.75

הפתרון:

AO=32AO2=18\begin{aligned}AO &= 3\sqrt{2} \\ \quad AO^2 &= 18\end{aligned}
h=25−18=7\begin{aligned}h &= \sqrt{25-18} \\ &= \sqrt{7}\end{aligned}

פיתגורס במשולש SOASOA

V=13⋅36⋅7=127≈31.75\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 36\cdot\sqrt{7} \\ &= 12\sqrt{7}\approx 31.75\end{aligned}

הגובה לא נתון: מוצאים אותו קודם. המקצוע 55 הוא לא הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDEF

מנסרה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות שצלעו 44. גובה המנסרה 1010. חשבו את הנפח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 69.28

הפתרון:

S=12⋅4⋅4⋅sin⁡60∘=43\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot\sin 60^\circ \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}
V=43⋅10=403≈69.28\begin{aligned}V &= 4\sqrt{3}\cdot 10 \\ &= 40\sqrt{3}\approx 69.28\end{aligned}

הזווית במשולש שווה צלעות היא 60∘60^\circ. מי שכתב 12⋅4⋅4=8\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8 חישב משולש ישר זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH חותכים את הפירמידה ABDEABDE (שלושה מקצועות מהקודקוד AA). איזה חלק מנפח הקובייה הוא נפח הפירמידה?

  1. 16\frac{1}{6}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 18\frac{1}{8}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 16\frac{1}{6}

הפתרון:

V=13⋅a22⋅a=a36\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a \\ &= \frac{a^3}{6}\end{aligned}

הבסיס ABDABD חצי פאה, הגובה AEAE

חצי (משולש) כפול שליש (פירמידה) = שישית. 13\frac{1}{3} שוכח שהבסיס הוא רק חצי ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מכפילים פי 22 את גובה הפירמידה ואת כל הצלעות של הבסיס שלה. הנפח גדל פי 44.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

S→4S,h→2hS\to 4S,\quad h\to 2h

שטח גדל בריבוע

V→13⋅4S⋅2h=8VV\to\frac{1}{3}\cdot 4S\cdot 2h=8V

שטח הבסיס גדל פי 44 וגם הגובה פי 22: יחד פי 88. מי שענה «נכון» שכח את הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCS

בפירמידה ABCSABCS, ASAS מאונך לבסיס. AB=3AB=3, AC=4AC=4, ∢BAC=90∘\sphericalangle BAC=90^\circ, AS=6AS=6. השלימו.

SABC=S_{ABC}= ____ ; V=V= ____ ; BC=BC= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: SABC=S_{ABC}= 6 ; V=V= 12 ; BC=BC= 5

הפתרון:

SABC=12⋅3⋅4=6\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}
V=13⋅6⋅6=12\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 6\cdot 6 \\ &= 12\end{aligned}
BC=9+16=5\begin{aligned}BC &= \sqrt{9+16} \\ &= 5\end{aligned}

פיתגורס בבסיס

AS=6AS=6 הוא גם הגובה וגם המספר של השטח — לא להתבלבל ביניהם בהצבה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נפח של פירמידה הוא 4040. הבסיס שלה משולש עם שתי צלעות 44 ו-66, והזווית ביניהן 30∘30^\circ. מהו גובה הפירמידה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

S=12⋅4⋅6⋅sin⁡30∘=6\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}
40=13⋅6⋅h ⇒ h=20\begin{aligned}40 &= \frac{1}{3}\cdot 6\cdot h\ \Rightarrow\ h \\ &= 20\end{aligned}

מבודדים את hh: כופלים ב-33 ומחלקים ב-SS. מי ששכח את השליש קיבל 406\frac{40}{6}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCS

חישבו נפח של פירמידה: בסיס משולש ישר זווית עם ניצבים 66 ו-44, וגובה 55. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

S=12⋅6⋅4⋅sin⁡90∘=12\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot\sin 90^\circ \\ &= 12\end{aligned}
V=12⋅5=60\begin{aligned}V &= 12\cdot 5 \\ &= 60\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: V=12⋅5=60V=12\cdot 5=60 → V=13⋅12⋅5=20V=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 5=20

הפתרון:

V=13⋅S⋅h=20\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot S\cdot h \\ &= 20\end{aligned}

6060 הוא נפח של מנסרה. בפירמידה מחלקים ב-33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת