פותרים יחד — שאלה 2 של הבגרות · מכפלה סקלרית וגופים במרחב · כיתה י״ב

ארבע שאלות בסגנון שאלה 2 של הבגרות: גוף, שלושה וקטורים, ואחריהם כמה סעיפים שנשענים זה על זה. פותרים כל שאלה יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלה, לפני כל חישוב: טבלת המכפלות של $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ . כל סעיף אחר כך הוא פתיחת סוגריים והצבה.

1 — פירמידה, מאונכות, שטח ונפח

AS

מאונך לבסיס.

E

אמצע

BS

F

אמצע

BC

פעילות אינטראקטיבית

בפירמידה $ABCS$ המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . $E$ היא אמצע $BS$ , ו- $F$ היא אמצע $BC$ . מסמנים $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AS}=\underline{w}$ . נתון: $|\underline{u}|=4$ , $|\underline{v}|=8$ , $|\underline{w}|=6$ , $\sphericalangle BAC=120^\circ$ . א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ , $\underline{w}$ את $\overrightarrow{AE}$ ואת $\overrightarrow{AF}$ . ב. מצאו את $\underline{u}\cdot\underline{v}$ . ג. הוכיחו כי $AE\perp AF$ . ד. חשבו את שטח המשולש $EAF$ . ה. חשבו את נפח הפירמידה.

\begin{aligned}|\underline{u}| &= 4 \\ \quad |\underline{v}| &= 8 \\ \quad |\underline{w}| &= 6 \\ \quad \sphericalangle BAC &= 120^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $AS$ מאונך לבסיס: לכן $\underline{w}\cdot\underline{u}=\underline{w}\cdot\underline{v}=0$ .

א. AE

\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{w})

$E$ אמצע $BS$ : חצי הסכום של $\overrightarrow{AB}$ ו- $\overrightarrow{AS}$ .

א. AF

\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})

$F$ אמצע $BC$ : אותו רעיון.

ב. u·v

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 4\cdot 8\cdot\cos 120^\circ \\ &= -16\end{aligned}

זווית קהה: מכפלה שלילית.

ג. מכפלה

\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}(|\underline{u}|^2+\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{w}\cdot\underline{u}+\underline{w}\cdot\underline{v})

פותחים סוגריים.

ג. אפס

=\frac{1}{4}(16-16+0+0)=0

המכפלה $0$ , ולכן $AE\perp AF$ ✓

ד. אורכים

\begin{aligned}|\overrightarrow{AE}|^2 &= \frac{16+36}{4} \\ &= 13 \\ \quad |\overrightarrow{AF}|^2 &= \frac{16-32+64}{4} \\ &= 12\end{aligned}

מעלים בריבוע.

ד. שטח

\begin{aligned}S_{EAF} &= \frac{1}{2}\cdot\sqrt{13}\cdot\sqrt{12} \\ &= \sqrt{39}\approx 6.24\end{aligned}

הזווית ב- $A$ ישרה (סעיף ג): חצי מכפלת הניצבים.

ה. נפח

\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8\cdot\sin 120^\circ\cdot 6 \\ &= 16\sqrt{3}\approx 27.71\end{aligned}

הבסיס $ABC$ , הגובה $AS$ .

כל סעיף נשען על הקודם: הביטוי של סעיף א, המכפלה של סעיף ב, הזווית הישרה של סעיף ג.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה בסעיף ד אין צורך בזווית בין $AE$ ל- $AF$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי הוכחנו בסעיף ג שהיא $90^\circ$ , ו- $\sin 90^\circ=1$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ושאלה 5 ברשימה למטה.

2 — קובייה: אורך וזווית

פעילות אינטראקטיבית

האמצע של מקצוע בקובייה

בקובייה $ABCDEFGH$ אורך המקצוע $4$ . $M$ היא אמצע המקצוע $CG$ . א. חשבו את $|\overrightarrow{AM}|$ . ב. מצאו את הזווית בין $\overrightarrow{AM}$ ל- $\overrightarrow{BH}$ .

אילו שלושה וקטורים כדאי לבחור?

$\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{AE}$

להציג את התשובה והפתרון

שלושה מקצועות מאותו קודקוד: כל המכפלות ביניהם אפס.

$\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AG}$

להציג את התשובה והפתרון

אלכסונים: המכפלות ביניהם לא אפס, והחישוב מסתבך.

\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= \underline{u} \\ \ \overrightarrow{AD} &= \underline{v} \\ \ \overrightarrow{AE} &= \underline{w} \\ \quad \underline{u}\cdot\underline{v} &= \underline{u}\cdot\underline{w} \\ &= \underline{v}\cdot\underline{w} \\ &= 0\end{aligned}

וכל ריבוע אורך הוא $16$ .

איך מביעים את $\overrightarrow{AM}$ ?

$\underline{u}+\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

מ- $A$ ל- $C$ זה $\underline{u}+\underline{v}$ , ומ- $C$ עולים חצי מקצוע.

$\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v}+\underline{w})$

להציג את התשובה והפתרון

זה חצי האלכסון $AG$ — מרכז הקובייה, לא $M$ .

\begin{aligned}|\overrightarrow{AM}|^2 &= 16+16+4 \\ &= 36\ \Rightarrow\ |\overrightarrow{AM}| \\ &= 6\end{aligned}

$\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot 16=4$ .

ואת $\overrightarrow{BH}$ ?

$-\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

מ- $B$ חוזרים ל- $A$ ( $-\underline{u}$ ), ואז עולים ל- $H$ .

$\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

זה $\overrightarrow{AG}$ . $\overrightarrow{BH}$ מתחיל ב- $B$ .

\begin{aligned}\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BH} &= -16+16+\frac{1}{2}\cdot 16 \\ &= 8 \\ \quad |\overrightarrow{BH}| &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

רק ריבועים נשארים, עם הסימנים שלהם.

מהי הזווית?

$\cos\alpha=\frac{8}{6\cdot 4\sqrt{3}}$ , $\alpha\approx 78.9^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

מחלקים במכפלת האורכים.

$\cos\alpha=\frac{8}{6+4\sqrt{3}}$ , $\alpha\approx 47^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

במכנה מכפלה, לא סכום.

\cos\alpha=\frac{1}{3\sqrt{3}}\approx 0.192\ \Rightarrow\ \alpha\approx 78.90^\circ

מכפלה חיובית: זווית חדה ✓

להציג את התשובה והפתרון

א. $|\overrightarrow{AM}|=6$ . ב. $\alpha\approx 78.90^\circ$ . הטעות של סעיף ב: לבטא את $\overrightarrow{BH}$ כאילו הוא יוצא מ- $A$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

בלי חישוב: מה הסימן של $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AE}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

חיובי: $(\underline{u}+\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w})\cdot\underline{w}=8$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מנסרה ישרה: אורך ונפח

פעילות אינטראקטיבית

$ABCDEF$ מנסרה ישרה ( $D$ מעל $A$ , $E$ מעל $B$ , $F$ מעל $C$ ). $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AD}=\underline{w}$ . נתון: $|\underline{u}|=5$ , $|\underline{v}|=6$ , $\underline{u}\cdot\underline{v}=15$ , $|\underline{w}|=4$ . א. הביעו את $\overrightarrow{BF}$ וחשבו את אורכו. ב. חשבו את נפח המנסרה.

\begin{aligned}|\underline{u}| &= 5 \\ \quad |\underline{v}| &= 6 \\ \quad \underline{u}\cdot\underline{v} &= 15 \\ \quad |\underline{w}| &= 4\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מנסרה ישרה: $\underline{w}$ מאונך לבסיס, ולכן $\underline{w}\cdot\underline{u}=\underline{w}\cdot\underline{v}=0$ .

א. ביטוי

\begin{aligned}\overrightarrow{BF} &= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF} \\ &= -\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}\end{aligned}

$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AD}=\underline{w}$ : מקצועות צדדיים שווים.

א. ריבוע

|\overrightarrow{BF}|^2=25+36+16-2\,\underline{u}\cdot\underline{v}

המכפלות עם $\underline{w}$ אפס.

א. אורך

\begin{aligned}77-30 &= 47\ \Rightarrow\ |\overrightarrow{BF}| \\ &= \sqrt{47}\approx 6.86\end{aligned}

ב. זווית

\begin{aligned}\cos A &= \frac{15}{5\cdot 6} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 60^\circ\end{aligned}

קודם הזווית של הבסיס.

ב. נפח

\begin{aligned}V &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot\sin 60^\circ\cdot 4 \\ &= 30\sqrt{3}\approx 51.96\end{aligned}

גובה המנסרה הוא $|\underline{w}|$ .

המכפלה $\underline{u}\cdot\underline{v}$ משמשת פעמיים: באורך (כמו שהיא), ובנפח (דרך הזווית).

לעשות את הפעילות ב-elev

בסעיף א, מה היה יוצא אילו $\underline{u}\perp\underline{v}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$|\overrightarrow{BF}|^2=25+36+16=77$ : שלושה ריבועים, כמו אלכסון של תיבה.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פירמידה ישרה: זווית בקודקוד

פעילות אינטראקטיבית

הזווית בין שני מקצועות נגדיים

$ABCDS$ פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, ו- $O$ מרכז הבסיס. צלע הבסיס $6$ , וגובה הפירמידה $4$ . א. חשבו את נפח הפירמידה. ב. מצאו את הזווית $\sphericalangle ASC$ .

מה הנפח?

$\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48$

להציג את התשובה והפתרון

בסיס ריבועי, גובה $SO=4$ .

$36\cdot 4=144$

להציג את התשובה והפתרון

זה נפח של מנסרה: חסר שליש.

V=48

איך מביעים את $\overrightarrow{SA}$ ואת $\overrightarrow{SC}$ ?

$\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}$ ו- $\overrightarrow{SO}-\overrightarrow{OA}$

להציג את התשובה והפתרון

$O$ אמצע $AC$ , ולכן $\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$ .

$\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}$ ו- $\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}$

להציג את התשובה והפתרון

אז $\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{SC}$ , ו- $A=C$ . $\overrightarrow{OC}$ הפוך ל- $\overrightarrow{OA}$ .

\begin{aligned}\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC} &= |\overrightarrow{SO}|^2-|\overrightarrow{OA}|^2 \\ &= 16-18 \\ &= -2\end{aligned}

$\overrightarrow{SO}\perp\overrightarrow{OA}$ : המכפלות המעורבות אפס.

מה סוג הזווית $\sphericalangle ASC$ ?

חדה

להציג את התשובה והפתרון

המכפלה שלילית.

קהה

להציג את התשובה והפתרון

מכפלה שלילית: קוסינוס שלילי.

\begin{aligned}|\overrightarrow{SA}|^2 &= 16+18 \\ &= 34 \\ \quad \cos\alpha &= \frac{-2}{34}\end{aligned}

מהי הזווית?

$\alpha\approx 93.37^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$\cos\alpha=-\frac{1}{17}$ .

$\alpha\approx 86.63^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

זו הזווית של $\cos\alpha=+\frac{1}{17}$ : הסימן אבד.

\alpha\approx 93.37^\circ

קצת יותר מזווית ישרה.

להציג את התשובה והפתרון

א. $V=48$ . ב. $\sphericalangle ASC\approx 93.37^\circ$ . הטעות של סעיף ב: לכתוב $\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OA}$ , כאילו $C$ ו- $A$ באותו צד של $O$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

באיזה גובה הזווית $\sphericalangle ASC$ הייתה בדיוק $90^\circ$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כש- $|\overrightarrow{SO}|^2=|\overrightarrow{OA}|^2=18$ , כלומר גובה $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

בפירמידה $ABCS$ המקצוע $AS$ מאונך לבסיס. $E$ אמצע $BS$ , $F$ אמצע $BC$ . $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AS}=\underline{w}$ , $|\underline{u}|=6$ , $|\underline{v}|=12$ , $|\underline{w}|=8$ , $\sphericalangle BAC=120^\circ$ . השלימו.

$\underline{u}\cdot\underline{v}=$ ____ ; $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=$ ____ ; $|\overrightarrow{AF}|^2=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\underline{u}\cdot\underline{v}=$ -36 ; $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=$ 0 ; $|\overrightarrow{AF}|^2=$ 27

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 6\cdot 12\cdot\cos 120^\circ \\ &= -36\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF} &= \frac{1}{4}(36-36+0+0) \\ &= 0\end{aligned}

$AE\perp AF$

\begin{aligned}|\overrightarrow{AF}|^2 &= \frac{1}{4}(36-72+144) \\ &= 27\end{aligned}

$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})$

כמו בשאלה 1: $\frac{1}{2}$ עולה בריבוע ל- $\frac{1}{4}$ , ו- $2\underline{u}\cdot\underline{v}=-72$ עם הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בקובייה $ABCDEFGH$ אורך המקצוע $6$ . $M$ היא אמצע המקצוע $CG$ . חשבו את $|\overrightarrow{AM}|$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\overrightarrow{AM}=\underline{u}+\underline{v}+\frac{1}{2}\underline{w}

\begin{aligned}|\overrightarrow{AM}|^2 &= 36+36+9 \\ &= 81\ \Rightarrow\ 9\end{aligned}

$\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot 36=9$ , לא $18$ . חצי של וקטור עולה בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$ABCDEF$ מנסרה ישרה. $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AD}=\underline{w}$ , $|\underline{u}|=4$ , $|\underline{v}|=6$ , $\underline{u}\cdot\underline{v}=-12$ , $|\underline{w}|=5$ . חשבו את נפח המנסרה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 51.96

הפתרון:

\begin{aligned}\cos A &= \frac{-12}{24} \\ &= -\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 120^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}V &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 120^\circ\cdot 5 \\ &= 30\sqrt{3}\approx 51.96\end{aligned}

קוסינוס שלילי, אבל $\sin 120^\circ$ חיובי: נפח לא יוצא שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$ABCDS$ פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע. צלע הבסיס $8$ , והגובה $3$ . מצאו את הזווית $\sphericalangle ASC$ (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 124.12

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC} &= |\overrightarrow{SO}|^2-|\overrightarrow{OA}|^2 \\ &= 9-32 \\ &= -23\end{aligned}

\begin{aligned}|\overrightarrow{SA}|^2 &= 9+32 \\ &= 41\end{aligned}

\cos\alpha=-\frac{23}{41}\ \Rightarrow\ \alpha\approx 124.12^\circ

$|\overrightarrow{OA}|$ הוא חצי אלכסון, $4\sqrt{2}$ , לא חצי צלע. והקוסינוס שלילי: זווית קהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.99

הפתרון:

\begin{aligned}|\overrightarrow{AE}|^2 &= \frac{36+64}{4} \\ &= 25 \\ \quad |\overrightarrow{AF}|^2 &= 27\end{aligned}

\begin{aligned}S_{EAF} &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot\sqrt{27} \\ &= 7.5\sqrt{3}\approx 12.99\end{aligned}

הזווית ב- $A$ ישרה

את הזווית הישרה ב- $A$ מוכיחים קודם ( $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=0$ ). בלעדיה אי אפשר לכתוב חצי מכפלת הניצבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — פירמידה, מאונכות, שטח ונפח

2 — קובייה: אורך וזווית

3 — מנסרה ישרה: אורך ונפח

4 — פירמידה ישרה: זווית בקודקוד

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev