סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים קצרים: הגדרה של המכפלה, הסימן שלה, ונפח. כל תרגיל בצעד אחד או שניים.

לפני כל חישוב: מהי הזווית בין הווקטורים? הם יוצאים מאותה נקודה?

תרגילים

תרגיל 1

∣u‾∣=6|\underline{u}|=6, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5, והזווית בין הווקטורים 60∘60^\circ. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

6⋅5⋅cos⁡60∘=30⋅12=15\begin{aligned}6\cdot 5\cdot\cos 60^\circ &= 30\cdot\frac{1}{2} \\ &= 15\end{aligned}

שני אורכים וגם קוסינוס. 3030 שוכח את הקוסינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

∣u‾∣=2|\underline{u}|=2, ∣v‾∣=9|\underline{v}|=9, והווקטורים בכיוונים מנוגדים. חשבו את u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -18

הפתרון:

2⋅9⋅cos⁡180∘=−182\cdot 9\cdot\cos 180^\circ=-18

כיוונים מנוגדים: 180∘180^\circ

כיוונים מנוגדים: cos⁡180∘=−1\cos 180^\circ=-1. המכפלה שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

u‾⋅u‾=36\underline{u}\cdot\underline{u}=36. מהו ∣u‾∣|\underline{u}|?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

∣u‾∣=36=6\begin{aligned}|\underline{u}| &= \sqrt{36} \\ &= 6\end{aligned}

u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u} הוא ריבוע האורך: מוציאים שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הזווית בין u‾\underline{u} ל-v‾\underline{v} היא 100∘100^\circ. מה הסימן של u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}?

  1. אפס
  2. תלוי באורכים
  3. חיובי
  4. שלילי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שלילי

הפתרון:

cos⁡100∘<0\cos 100^\circ<0

זווית קהה

האורכים חיוביים תמיד, ולכן הסימן נקבע רק לפי הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

∣u‾∣=4|\underline{u}|=4, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5 ו-u‾⋅v‾=−10\underline{u}\cdot\underline{v}=-10. מהי הזווית בין הווקטורים (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

cos⁡α=−1020=−12\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{-10}{20} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}
α=120∘\alpha=120^\circ

קוסינוס שלילי: זווית קהה. 60∘60^\circ מאבד את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אם u‾⋅v‾>0\underline{u}\cdot\underline{v}>0, הזווית בין u‾\underline{u} ל-v‾\underline{v} חדה (או אפס).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

cos⁡α>0 ⇒ 0∘≤α<90∘\cos\alpha>0\ \Rightarrow\ 0^\circ\le\alpha<90^\circ

מכפלה חיובית פירושה קוסינוס חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDEFGH

בקובייה ABCDEFGHABCDEFGH אורך המקצוע 55. חשבו את AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
AB→⋅AC→=∣AB→∣2+AB→⋅BC→=25+0=25\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= |\overrightarrow{AB}|^2+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} \\ &= 25+0 \\ &= 25\end{aligned}

אפשר גם: 5⋅52⋅cos⁡45∘=255\cdot 5\sqrt{2}\cdot\cos 45^\circ=25. מי שכתב 00 חשב ש-ACAC מאונך ל-ABAB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שטח הבסיס של מנסרה ישרה 1515, וגובהה 44. מהו הנפח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

V=15⋅4=60\begin{aligned}V &= 15\cdot 4 \\ &= 60\end{aligned}

במנסרה כופלים בגובה, בלי שליש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שטח הבסיס של פירמידה 1515, וגובהה 44. מהו הנפח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

V=13⋅15⋅4=20\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 15\cdot 4 \\ &= 20\end{aligned}

בפירמידה שליש. 6060 הוא הנפח של המנסרה מהשאלה הקודמת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

התאימו כל ביטוי למה שהוא שווה לו.

  • u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u}
  • u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v} כש-u‾⊥v‾\underline{u}\perp\underline{v}
  • (a‾+b‾)⋅(a‾−b‾)(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b})
  • (2u‾)⋅v‾(2\underline{u})\cdot\underline{v}
  • ∣a‾∣2−∣b‾∣2|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2
  • ∣u‾∣2|\underline{u}|^2
  • 00
  • 2(u‾⋅v‾)2(\underline{u}\cdot\underline{v})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: u‾⋅u‾\underline{u}\cdot\underline{u} — ∣u‾∣2|\underline{u}|^2 · u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v} כש-u‾⊥v‾\underline{u}\perp\underline{v} — 00 · (a‾+b‾)⋅(a‾−b‾)(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b}) — ∣a‾∣2−∣b‾∣2|\underline{a}|^2-|\underline{b}|^2 · (2u‾)⋅v‾(2\underline{u})\cdot\underline{v} — 2(u‾⋅v‾)2(\underline{u}\cdot\underline{v})

הפתרון:

u‾⋅u‾=∣u‾∣2\underline{u}\cdot\underline{u}=|\underline{u}|^2

זווית 0∘0^\circ

(2u‾)⋅v‾=2(u‾⋅v‾)(2\underline{u})\cdot\underline{v}=2(\underline{u}\cdot\underline{v})

מספר יוצא החוצה

ארבעה כללים של היחידה הקודמת. (a‾+b‾)⋅(a‾−b‾)(\underline{a}+\underline{b})\cdot(\underline{a}-\underline{b}) הוא הפרש הריבועים, בלי איבר אמצעי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת