סדרה 2 — בינוני · מכפלה סקלרית וגופים במרחב · כיתה י״ב

עשרה תרגילים של שניים–שלושה צעדים: פותחים סוגריים, מחשבים אורך, זווית או שטח.

אורך: מעלים בריבוע. זווית: מחלקים במכפלת האורכים. שטח: סינוס, לא קוסינוס.

תרגילים

תרגיל 1

$|\underline{a}|=4$ , $|\underline{b}|=6$ , והזווית ביניהם $60^\circ$ . חשבו את $|\underline{a}+\underline{b}|$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.72

הפתרון:

\underline{a}\cdot\underline{b}=12

\begin{aligned}|\underline{a}+\underline{b}|^2 &= 16+24+36 \\ &= 76\end{aligned}

\sqrt{76}\approx 8.72

$|\underline{a}+\underline{b}|\neq 4+6$ . מעלים בריבוע, ולא שוכחים את $2\,\underline{a}\cdot\underline{b}=24$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$|\underline{a}|=3$ , $|\underline{b}|=5$ ו- $\underline{a}\cdot\underline{b}=-7.5$ . מהי הזווית בין הווקטורים (במעלות)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 120

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\alpha &= \frac{-7.5}{15} \\ &= -\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \alpha \\ &= 120^\circ\end{aligned}

קוסינוס שלילי נותן זווית קהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$|\underline{u}|=3$ , $|\underline{v}|=2$ ו- $\underline{u}\cdot\underline{v}=1$ . חשבו את $(2\underline{u}-\underline{v})\cdot(\underline{u}+3\underline{v})$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

=2|\underline{u}|^2+6\,\underline{u}\cdot\underline{v}-\underline{v}\cdot\underline{u}-3|\underline{v}|^2

=18+5-12=11

ארבע מכפלות. $-3|\underline{v}|^2=-12$ : הסימן של $-\underline{v}$ נשאר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בתיבה $ABCDEFGH$ : $AB=2$ , $AD=3$ , $AE=6$ . השלימו.

$|\overrightarrow{AG}|=$ ____ ; $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AE}=$ ____ ; $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BH}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $|\overrightarrow{AG}|=$ 7 ; $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AE}=$ 36 ; $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BH}=$ 41

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad |\overrightarrow{AG}| &= \sqrt{4+9+36} \\ &= 7\end{aligned}

\overrightarrow{AG}\cdot\underline{w}=36

\begin{aligned}\overrightarrow{BH} &= -\underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BH} &= -4+9+36 \\ &= 41\end{aligned}

$\overrightarrow{BH}$ מתחיל ב- $B$ : $-\underline{u}$ , ולכן $|\underline{u}|^2$ נכנס עם מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותה תיבה ( $AB=2$ , $AD=3$ , $AE=6$ ), מצאו את הזווית בין האלכסונים $\overrightarrow{AG}$ ו- $\overrightarrow{BH}$ (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 33.2

הפתרון:

|\overrightarrow{BH}|=7

כל האלכסונים של תיבה שווים

\cos\alpha=\frac{41}{49}\ \Rightarrow\ \alpha\approx 33.2^\circ

המכפלה מהשאלה הקודמת, חלקי מכפלת האורכים $7\cdot 7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$|\underline{a}|=3$ , $|\underline{b}|=4$ , $\underline{a}\cdot\underline{b}=2$ . חישבו את $|\underline{a}-\underline{b}|$ . שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

|\underline{a}-\underline{b}|^2=9-2\cdot 2+16

=21

|\underline{a}-\underline{b}|=21

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $|\underline{a}-\underline{b}|=21$ → $|\underline{a}-\underline{b}|=\sqrt{21}$

הפתרון:

|\underline{a}-\underline{b}|=\sqrt{21}\approx 4.58

$21$ הוא ריבוע האורך. השורש הוא הצעד האחרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש $ABC$ : $|\overrightarrow{AB}|=8$ , $|\overrightarrow{AC}|=5$ , $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=20$ . חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17.32

הפתרון:

\begin{aligned}\cos A &= \frac{20}{40} \\ &= \frac{1}{2}\ \Rightarrow\ \sin A \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 10\sqrt{3}\approx 17.32\end{aligned}

מהמכפלה מקבלים קוסינוס; בשטח צריך סינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בקובייה $ABCDEFGH$ האלכסונים $AG$ ו- $EC$ מאונכים זה לזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{AG} &= \underline{u}+\underline{v}+\underline{w} \\ \quad \overrightarrow{EC} &= \underline{u}+\underline{v}-\underline{w}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{EC} &= a^2+a^2-a^2 \\ &= a^2\neq 0\end{aligned}

שני אלכסונים של קובייה אינם מאונכים. רק החישוב מכריע — לא הציור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בפירמידה $ABCS$ , $AS$ מאונך לבסיס. $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\underline{v}$ , $|\underline{u}|=5$ , $|\underline{v}|=8$ , $\underline{u}\cdot\underline{v}=-20$ , $AS=9$ . חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 51.96

הפתרון:

\begin{aligned}\cos A &= -\frac{1}{2}\ \Rightarrow\ A \\ &= 120^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 120^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 10\sqrt{3}\cdot 9 \\ &= 30\sqrt{3}\approx 51.96\end{aligned}

$\sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , חיובי. נפח לעולם לא שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$\underline{u}$ ו- $\underline{v}$ לא מקבילים, ו- $\underline{w}$ מאונך לשניהם. איזו מכפלה היא בהכרח $0$ ?

$\underline{w}\cdot\underline{w}$
$\underline{u}\cdot\underline{v}$
$\underline{w}\cdot(\underline{u}-2\underline{v})$
$(\underline{u}+\underline{w})\cdot\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\underline{w}\cdot(\underline{u}-2\underline{v})$

הפתרון:

\begin{aligned}\underline{w}\cdot(\underline{u}-2\underline{v}) &= \underline{w}\cdot\underline{u}-2\,\underline{w}\cdot\underline{v} \\ &= 0\end{aligned}

$\underline{w}$ מאונך למישור של $\underline{u}$ ו- $\underline{v}$ , ולכן לכל צירוף שלהם. $\underline{w}\cdot\underline{w}=|\underline{w}|^2$ אינו אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev