סדרה 3 — ברמת בגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שתי שאלות בנוסח שאלה 2 של הבגרות. כל שאלה היא גוף אחד, וכל סעיף שלה הוא תרגיל נפרד. הנתונים והשרטוט מופיעים מעל הסעיף.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. התחילו מטבלת המכפלות של u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w}.

תרגילים

תרגיל 1

א. הביעו את SD→\overrightarrow{SD} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w}.

  1. w‾−12(u‾+v‾)\underline{w}-\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})
  2. 12u‾+12v‾+w‾\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}+\underline{w}
  3. v‾−u‾−w‾\underline{v}-\underline{u}-\underline{w}
  4. 12u‾+12v‾−w‾\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 12u‾+12v‾−w‾\frac{1}{2}\underline{u}+\frac{1}{2}\underline{v}-\underline{w}

הפתרון:

SD→=SA→+AD→=−w‾+12(u‾+v‾)\begin{aligned}\overrightarrow{SD} &= \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD} \\ &= -\underline{w}+\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\end{aligned}

DD אמצע BCBC

SD→\overrightarrow{SD} יוצא מ-SS: קודם יורדים ל-AA, כלומר −w‾-\underline{w}. התשובה עם +w‾+\underline{w} היא AD→+AS→\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AS}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ב. מצאו את הערך של u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

u‾⋅v‾=6⋅6⋅cos⁡60∘=18\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 6\cdot 6\cdot\cos 60^\circ \\ &= 18\end{aligned}

הזווית ∢BAC\sphericalangle BAC היא בין u‾\underline{u} ל-v‾\underline{v}, שניהם יוצאים מ-AA.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ג. BC⊥SDBC\perp SD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC}=\underline{v}-\underline{u}
(v‾−u‾)⋅(12(u‾+v‾)−w‾)=12(36−36)−0=0\begin{aligned}(\underline{v}-\underline{u})\cdot\left(\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})-\underline{w}\right) &= \frac{1}{2}(36-36)-0 \\ &= 0\end{aligned}

המשולש SBCSBC שווה שוקיים (SB=SCSB=SC), ו-SDSD התיכון שלו. אבל מוכיחים בחישוב: המכפלה 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ד. חשבו את ∣SD→∣|\overrightarrow{SD}|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.39

הפתרון:

∣12(u‾+v‾)∣2=36+36+364=27\begin{aligned}\left|\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\right|^2 &= \frac{36+36+36}{4} \\ &= 27\end{aligned}
∣SD→∣2=27+81=108\begin{aligned}|\overrightarrow{SD}|^2 &= 27+81 \\ &= 108\end{aligned}
108=63≈10.39\sqrt{108}=6\sqrt{3}\approx 10.39

2u‾⋅v‾=362\underline{u}\cdot\underline{v}=36 נכנס לסוגריים. ו-w‾\underline{w} מאונך ל-u‾+v‾\underline{u}+\underline{v}, ולכן אין איבר מעורב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ה. חשבו את נפח הפירמידה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 46.77

הפתרון:

SABC=12⋅6⋅6⋅sin⁡60∘=93\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot\sin 60^\circ \\ &= 9\sqrt{3}\end{aligned}
V=13⋅93⋅9=273≈46.77\begin{aligned}V &= \frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 9 \\ &= 27\sqrt{3}\approx 46.77\end{aligned}

הגובה הוא AS=9AS=9, לא SDSD: SDSD לא מאונך לבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

א. הביעו את AM→\overrightarrow{AM} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w}.

  1. u‾+v‾+w‾\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}
  2. w‾+12(v‾−u‾)\underline{w}+\frac{1}{2}(\underline{v}-\underline{u})
  3. 12(u‾+v‾+w‾)\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v}+\underline{w})
  4. w‾+12(u‾+v‾)\underline{w}+\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד w‾+12(u‾+v‾)\underline{w}+\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})

הפתרון:

AM→=AD→+DM→\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}
DM→=12(DE→+DF→)=12(u‾+v‾)\begin{aligned}\overrightarrow{DM} &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}) \\ &= \frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\end{aligned}

MM אמצע EFEF, והבסיס העליון שווה לתחתון

עולים מקצוע שלם w‾\underline{w}, ורק בבסיס העליון לוקחים חצי. 12(u‾+v‾+w‾)\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}) עולה רק חצי גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ב. מצאו את הערך של u‾⋅v‾\underline{u}\cdot\underline{v}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -8

הפתרון:

u‾⋅v‾=4⋅4⋅cos⁡120∘=−8\begin{aligned}\underline{u}\cdot\underline{v} &= 4\cdot 4\cdot\cos 120^\circ \\ &= -8\end{aligned}

זווית קהה: מכפלה שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ג. חשבו את ∣AM→∣|\overrightarrow{AM}|. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.32

הפתרון:

∣12(u‾+v‾)∣2=16−16+164=4\begin{aligned}\left|\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\right|^2 &= \frac{16-16+16}{4} \\ &= 4\end{aligned}
∣AM→∣2=36+4=40\begin{aligned}|\overrightarrow{AM}|^2 &= 36+4 \\ &= 40\end{aligned}
40≈6.32\sqrt{40}\approx 6.32

2u‾⋅v‾=−162\underline{u}\cdot\underline{v}=-16 מקטין את הסוגריים. w‾\underline{w} מאונך לבסיס, ולכן אין איבר מעורב איתו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ד. מצאו את הזווית בין AM→\overrightarrow{AM} ל-AE→\overrightarrow{AE} (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28.71

הפתרון:

AE→=u‾+w‾∣AE→∣2=16+36=52\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= \underline{u}+\underline{w} \\ \quad |\overrightarrow{AE}|^2 &= 16+36 \\ &= 52\end{aligned}
AM→⋅AE→=36+12(16−8)=40\begin{aligned}\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AE} &= 36+\frac{1}{2}(16-8) \\ &= 40\end{aligned}
cos⁡α=4040⋅52 ⇒ α≈28.71∘\cos\alpha=\frac{40}{\sqrt{40}\cdot\sqrt{52}}\ \Rightarrow\ \alpha\approx 28.71^\circ

בפתיחת 12(u‾+v‾)⋅u‾\frac{1}{2}(\underline{u}+\underline{v})\cdot\underline{u} יש שתי מכפלות: ∣u‾∣2|\underline{u}|^2 ו-u‾⋅v‾=−8\underline{u}\cdot\underline{v}=-8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ה. חשבו את נפח המנסרה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 41.57

הפתרון:

SABC=12⋅4⋅4⋅sin⁡120∘=43\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot\sin 120^\circ \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}
V=43⋅6=243≈41.57\begin{aligned}V &= 4\sqrt{3}\cdot 6 \\ &= 24\sqrt{3}\approx 41.57\end{aligned}

מנסרה: בלי שליש. 838\sqrt{3} הוא נפח של פירמידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת