המספר e

בפרק על הפונקציה המעריכית עבדנו עם בסיסים כמו $2$ ו- $\frac{1}{2}$ . בפרק הזה נכיר בסיס מיוחד: המספר $e$ .

נתחיל מחיסכון. מפקידים שקל אחד בבנק, בריבית של $100\%$ לשנה. כמה כסף יהיה בסוף השנה?

פעילות אינטראקטיבית

פעם בשנה: כל הריבית מגיעה בסוף השנה. $(1+1)^1=2$ : יש $2$ שקלים.

פעמיים בשנה: חצי ריבית בכל פעם. $\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2.25$ . בחצי השנה השנייה יש ריבית גם על הריבית.

כל חודש: $\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}\approx 2.613$ . הסכום ממשיך לגדול.

כל יום: $\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}\approx 2.7146$ . הגידול כבר קטן.

כל שעה: $\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}\approx 2.7181$ . הסכום כמעט לא זז. הוא מתקרב למספר קבוע: $e$ .

מההתחלה

לחצו «הצעד הבא». מתחת לכל עמודה כתוב כמה פעמים בשנה מחשבים ריבית. הקו המקווקו הוא $e$ : העמודות מתקרבות אליו, ולא עוברות אותו.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה יקרה אם הבנק יחשב ריבית כל שנייה?

להציג את התשובה והפתרון

הסכום יגדל עוד קצת, אבל לא יעבור את $e\approx 2.718$ . ככל שמחלקים יותר, מתקרבים יותר ל- $e$ .

e\approx 2.718

מספר אי-רציונלי, כמו $\pi$ : הספרות שלו לא נגמרות.

$e$ הוא מספר, לא משתנה. לכן $e^2$ הוא מספר, בערך $7.39$ , ו- $3e$ הוא בערך $8.15$ .

e^0=1

כל מספר בחזקת אפס

e^1=e\approx 2.718

המספר עצמו

e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0.368

מעריך שלילי: אחד חלקי

חשבו במחשבון את $e^3$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

$e^3\approx 20.09$ . במחשבון: המקש $e^x$ , ואחריו $3$ .

הבסיס שהשיפוע שלו ב-0 הוא 1

כל גרף $y=a^x$ (עם $a>0$ ) עובר בנקודה $(0,1)$ . בנקודה הזאת מעבירים משיק, ומודדים את השיפוע שלו.

בבסיס $2$ השיפוע קטן מ- $1$ (בערך $0.69$ ). בבסיס $3$ הוא גדול מ- $1$ (בערך $1.10$ ). רק בבסיס $e$ השיפוע הוא בדיוק $1$ .

בין אילו שני מספרים שלמים נמצא $e$ ? איך רואים את זה מהשיפועים?

להציג את התשובה והפתרון

בין $2$ ל- $3$ . בבסיס $2$ השיפוע קטן מ- $1$ , ובבסיס $3$ הוא גדול מ- $1$ . השיפוע $1$ נמצא באמצע: $2<e<3$ .

הפונקציה y = eˣ

x\in\mathbb{R}

מוגדרת לכל $x$

e^x>0

תמיד חיובית: הגרף כולו מעל ציר ה- $x$

e>1

עולה לכל $x$

x\to-\infty:\ e^x\to 0

אסימפטוטה אופקית $y=0$ , משמאל

$\ln$ הוא הלוגריתם בבסיס $e$ . לכן $e^x=k$ נפתרת כך: $x=\ln k$ (כאשר $k>0$ ). למשל $e^x=5$ נותן $x=\ln 5\approx 1.61$ .

שתי טעויות עם e.

e^2=2e

e^2=e\cdot e\approx 7.39

חזקה היא כפל של $e$ בעצמו, לא כפל ב- $2$ . $2e\approx 5.44$ בלבד.

e^{-x}<0

e^{-x}=\frac{1}{e^x}>0

מעריך שלילי לא נותן מספר שלילי. כל חזקה של $e$ חיובית.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את $e^2$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.39

הפתרון:

e^2=e\cdot e

כפל של $e$ בעצמו

e^2\approx 7.39

במחשבון

$e^2\approx 7.39$ . מי שכתב $5.44$ חישב $2e$ במקום $e^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מה נכון לגבי המספר $e$ ?

$e=\frac{1}{2.718}$
$e$ הוא משתנה, כמו $x$
$e\approx 2.718$ , והספרות שלו לא נגמרות
$e=2.7$ בדיוק

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $e\approx 2.718$ , והספרות שלו לא נגמרות

הפתרון:

e\approx 2.718281\ldots

מספר אי-רציונלי

$e$ הוא מספר קבוע, בערך $2.718$ . $2.7$ הוא רק עיגול שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כאשר $n$ גדול מאוד, הביטוי $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ עובר את $e$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\left(1+\tfrac{1}{8760}\right)^{8760}\approx 2.7181<e

גם בחישוב כל שעה הסכום קטן מ- $e$

לא נכון. הביטוי מתקרב ל- $e$ מלמטה, ולא עובר אותו. זו בדיוק ההגדרה של $e$ דרך החיסכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הבנק מחשב ריבית ארבע פעמים בשנה. חשבו את $\left(1+\frac{1}{4}\right)^4$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.44

הפתרון:

1+\tfrac14=1.25

הריבית בכל רבעון

1.25^4\approx 2.44

ארבע פעמים בשנה

$2.44$ : יותר מ- $2.25$ (פעמיים בשנה), ופחות מ- $e$ . מי שכתב $5$ חישב $1.25\cdot 4$ , כפל במקום חזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סדרו מהקטן לגדול.

$\frac{1}{e}$
$1$
$2$
$3$
$e^2$
$e$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{1}{e}$ · $1$ · $2$ · $e$ · $3$ · $e^2$

הפתרון:

\tfrac1e\approx0.37 ,\ e\approx2.72 ,\ e^2\approx7.39

מחשבים כל אחד

$\frac{1}{e}$ קטן מ- $1$ כי $e>1$ . ו- $e$ נמצא בין $2$ ל- $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לכל $x$ מתקיים $e^x>0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

e>0 \Rightarrow e^x>0

בסיס חיובי בכל חזקה נותן מספר חיובי

נכון. גם $e^{-100}$ חיובי: הוא $\frac{1}{e^{100}}$ , מספר קטן מאוד, אבל לא שלילי ולא אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את המשוואה $e^x=5$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.61

הפתרון:

\begin{aligned}e^x &= 5 \Rightarrow x \\ &= \ln 5\end{aligned}

הגדרת $\ln$

\ln 5\approx 1.61

במחשבון

$x=\ln 5\approx 1.61$ . מי שכתב $\frac{5}{e}$ חילק, אבל $e^x$ היא חזקה ולא כפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מעבירים משיק לגרף של $y=2^x$ בנקודה $(0,1)$ . מה נכון לגבי השיפוע שלו?

הוא גדול מ- $1$
הוא בדיוק $1$
הוא קטן מ- $1$
הוא $0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הוא קטן מ- $1$

הפתרון:

2<e

הבסיס קטן מ- $e$

m\approx 0.69

במעבדה: השיפוע בערך $0.69$

קטן מ- $1$ : רק לבסיס $e$ יש שיפוע $1$ ב- $(0,1)$ , ו- $2$ קטן מ- $e$ . השיפוע אינו $0$ : הגרף עולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו כל ביטוי לערך שלו.

$e^0$
$\ln e^3$
$e^{\ln 4}$
$e^{-1}$

$\frac{1}{e}$
$1$
$3$
$4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $e^0$ — $1$ · $\ln e^3$ — $3$ · $e^{\ln 4}$ — $4$ · $e^{-1}$ — $\frac{1}{e}$

הפתרון:

\begin{aligned}\ln e^3 &= 3 \\ \quad e^{\ln 4} &= 4\end{aligned}

$\ln$ ו- $e$ מבטלים זה את זה

$e^{-1}$ אינו $-e$ : מעריך שלילי הופך לשבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהי האסימפטוטה האופקית של $y=e^x-3$ ? כתבו את $y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

x\to-\infty:\ e^x\to 0

משמאל $e^x$ נעלם

y\to 0-3=-3

ה- $-3$ נשאר

$y=-3$ . ה- $-3$ מזיז את הגרף כולו למטה, ואיתו את האסימפטוטה. מי שכתב $y=0$ שכח את ההזזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הפונקציה $y=e^{-x}$ יורדת לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

e^{-x}=\left(\tfrac{1}{e}\right)^x

בסיס בין $0$ ל- $1$

0<\tfrac1e<1

לכן יורדת

נכון. $e^{-x}$ היא שיקוף של $e^x$ בציר ה- $y$ . מי שראה רק $e$ (גדול מ- $1$ ) שכח את המינוס במעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המספר e

הבסיס שהשיפוע שלו ב-0 הוא 1

הפונקציה y = eˣ

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev