הנגזרת של eˣ · חשבון דיפרנציאלי של הפונקציה eˣ · כיתה י״ב

ראינו שב- $x=0$ השיפוע של $e^x$ הוא $1$ . ומה השיפוע בנקודות אחרות?

ב- $x=2$ גובה הגרף של $e^x$ הוא בערך $7.39$ . מה שיפוע המשיק שם?

להציג את התשובה והפתרון

גם הוא בערך $7.39$ . בכל נקודה השיפוע של $e^x$ שווה לגובה: $e^2$ .

(e^x)'=e^x

הנגזרת של $e^x$ היא $e^x$ עצמה.

כפל בקבוע וסכום

(k\cdot e^x)'=k\cdot e^x

קבוע כופל נשאר

(e^x+x^2)'=e^x+2x

סכום: גוזרים כל מחובר לבד

(e^x+7)'=e^x

קבוע מחובר נעלם

גזרו את $f(x)=3e^x-x^2+5$ , וחשבו את $f'(0)$ .

כל מחובר לבד.

f'(x)=3e^x-2x

הקבוע $3$ נשאר, $x^2$ נותן $2x$ , ו- $5$ נעלם

\begin{aligned}f'(0) &= 3e^0-0 \\ &= 3\end{aligned}

$e^0=1$

גזרו את $f(x)=2e^x+4x$ .

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x)=2e^x+4$ .

מכפלה: פולינום כפול eˣ

(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'

כלל המכפלה

גזרו את $f(x)=(x-3)e^x$ .

$u=x-3$ ו- $v=e^x$ .

f'(x)=1\cdot e^x+(x-3)\cdot e^x

כלל המכפלה

f'(x)=e^x\big(1+x-3\big)

מוציאים $e^x$ גורם משותף

f'(x)=(x-2)e^x

מכנסים

תמיד מוציאים $e^x$ גורם משותף. אז קל לפתור $f'(x)=0$ : $e^x$ אף פעם לא אפס, ולכן רק הסוגריים מתאפסים.

גזרו את $f(x)=x^2e^x$ , והוציאו גורם משותף.

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x)=2xe^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x$ .

מנה: eˣ בתוך שבר

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

כלל המנה

גזרו את $f(x)=\frac{e^x}{x}$ .

$u=e^x$ ו- $v=x$ , ו- $x\neq 0$ .

f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}

כלל המנה

f'(x)=\frac{(x-1)e^x}{x^2}

מוציאים $e^x$ במונה

גזרו את $f(x)=\frac{x}{e^x}$ .

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x)=\frac{1\cdot e^x-x\cdot e^x}{(e^x)^2}=\frac{(1-x)e^x}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}$ .

משיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f(x)=e^x+x$ בנקודה שבה $x=0$ .

שלושה צעדים: נקודה, שיפוע, ישר.

\begin{aligned}f(0) &= e^0+0 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה: $(0,1)$

\begin{aligned}f'(x) &= e^x+1 \Rightarrow f'(0) \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y-1 &= 2(x-0) \Rightarrow y \\ &= 2x+1\end{aligned}

משוואת ישר דרך נקודה

שתי טעויות בגזירה.

(xe^x)'=1\cdot e^x

(xe^x)'=e^x+xe^x

זו מכפלה. גוזרים כל גורם בתורו, ולא רק את הראשון.

(e^x)'=xe^{x-1}

(e^x)'=e^x

הכלל של $x^n$ לא מתאים כאן: ה- $x$ נמצא במעריך, לא בבסיס.

תרגילים

תרגיל 1

מהי הנגזרת של $f(x)=5e^x-x^3$ ?

$5e^x-3x$
$5e^x-3x^2$
$e^x-3x^2$
$5xe^{x-1}-3x^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $5e^x-3x^2$

הפתרון:

(5e^x)'=5e^x

הקבוע נשאר

(x^3)'=3x^2

חזקה

$5e^x-3x^2$ . ב- $e^x$ לא מורידים את המעריך: הוא לא $x^n$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=4e^x+x^2$ . חשבו את $f'(0)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f'(x)=4e^x+2x

גוזרים

\begin{aligned}f'(0) &= 4\cdot 1+0 \\ &= 4\end{aligned}

$e^0=1$

$f'(0)=4$ . מי שכתב $0$ חשב ש- $e^0=0$ , אבל $e^0=1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי הנגזרת של $f(x)=(x+1)e^x$ ?

$(x+2)e^x$
$xe^x$
$(x+1)e^x$
$e^x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $(x+2)e^x$

הפתרון:

f'(x)=1\cdot e^x+(x+1)e^x

כלל המכפלה

=(x+2)e^x

גורם משותף

$(x+2)e^x$ . מי שבחר $e^x$ גזר רק את $x+1$ ושכח את החלק השני של כלל המכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=(x-4)e^x$ . בעבור איזה $x$ מתקיים $f'(x)=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-4)e^x \\ &= (x-3)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה וגורם משותף

e^x\neq0 \Rightarrow x-3=0

רק הסוגריים מתאפסים

$x=3$ . מי שענה $4$ איפס את $f$ עצמה ולא את הנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

גוזרים את $f(x)=x^2e^x$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f(x)=x^2e^x

f'(x)=2x\cdot e^x

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f'(x)=2x\cdot e^x$ → $f'(x)=2xe^x+x^2e^x=x(x+2)e^x$

הפתרון:

f'(x)=2xe^x+x^2e^x

כלל המכפלה: שני חלקים

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני פתרונות

הגזירה שכחה את $x^2\cdot(e^x)'$ . בגלל זה הפתרון $x=-2$ הלך לאיבוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=\frac{e^x}{x}$ . חשבו את $f'(2)$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.85

הפתרון:

f'(x)=\frac{(x-1)e^x}{x^2}

כלל המנה

f'(2)=\frac{1\cdot e^2}{4}\approx 1.85

מציבים

$\frac{e^2}{4}\approx 1.85$ . מי שכתב $\frac{e^2}{2}$ חילק ב- $x$ ולא ב- $x^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנגזרת של $f(x)=\frac{x}{e^x}$ היא $\frac{1}{e^x}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f'(x)=\frac{e^x-xe^x}{e^{2x}}

כלל המנה

=\frac{1-x}{e^x}

מצמצמים ב- $e^x$

לא נכון. $f'(x)=\frac{1-x}{e^x}$ . מי שגזר מונה לבד ומכנה לבד שכח את כלל המנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה $f(x)=(2x+1)e^x$ . השלימו.

$f'(0)=$ ____ ; $f'(x)=0$ כאשר $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f'(0)=$ 3 ; $f'(x)=0$ כאשר $x=$ -1.5

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^x+(2x+1)e^x \\ &= (2x+3)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(0) &= 3 \\ \quad 2x+3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1.5\end{aligned}

מציבים ומאפסים

הנגזרת של $2x+1$ היא $2$ , לא $1$ . מי שכתב $(2x+2)e^x$ קיבל $x=-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו שיפוע המשיק לגרף של $f(x)=e^x-2x$ בנקודה שבה $x=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f'(x)=e^x-2

גוזרים

\begin{aligned}f'(0) &= 1-2 \\ &= -1\end{aligned}

מציבים

השיפוע $-1$ . מי שכתב $1$ הציב ב- $f$ ולא ב- $f'$ : $f(0)=1$ הוא הגובה, לא השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהי משוואת המשיק לגרף של $f(x)=e^x+3x$ בנקודה שבה $x=0$ ?

$y=3x+1$
$y=4x$
$y=4x+1$
$y=x+4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $y=4x+1$

הפתרון:

f(0)=1

נקודת ההשקה $(0,1)$

\begin{aligned}f'(x) &= e^x+3 \Rightarrow f'(0) \\ &= 4\end{aligned}

השיפוע

y=4x+1

ישר דרך $(0,1)$

$y=4x+1$ . מי שבחר $y=3x+1$ שכח שגם $e^x$ תורם $1$ לשיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה $f(x)=xe^x$ . בעבור איזה $x$ מתקיים $f'(x)=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= e^x+xe^x \\ &= (x+1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}x+1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

$e^x$ לא מתאפס

$x=-1$ . מי שענה $0$ איפס את $f$ ולא את $f'$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו כל פונקציה לנגזרת שלה.

$e^x+x^2$
$xe^x$
$(x-1)e^x$
$\frac{e^x}{x}$

$(x+1)e^x$
$\frac{(x-1)e^x}{x^2}$
$e^x+2x$
$xe^x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $e^x+x^2$ — $e^x+2x$ · $xe^x$ — $(x+1)e^x$ · $(x-1)e^x$ — $xe^x$ · $\frac{e^x}{x}$ — $\frac{(x-1)e^x}{x^2}$

הפתרון:

\begin{aligned}\big((x-1)e^x\big)' &= e^x+(x-1)e^x \\ &= xe^x\end{aligned}

כלל המכפלה

שימו לב: $xe^x$ מופיע פעם כפונקציה ופעם כנגזרת. הנגזרת של $(x-1)e^x$ היא $xe^x$ , והנגזרת של $xe^x$ היא $(x+1)e^x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

כפל בקבוע וסכום

מכפלה: פולינום כפול eˣ

מנה: eˣ בתוך שבר

משיק

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev