e בחזקת ביטוי · חשבון דיפרנציאלי של הפונקציה eˣ · כיתה י״ב

לפעמים המעריך הוא לא $x$ לבד, אלא ביטוי: $e^{3x}$ , $e^{-x}$ , $e^{x^2-4x}$ .

\big(e^{g(x)}\big)'=g'(x)\cdot e^{g(x)}

כלל השרשרת: הנגזרת של המעריך, כפול אותה חזקה בדיוק.

(e^{3x})'=3e^{3x}

הנגזרת של $3x$ היא $3$

(e^{-x})'=-e^{-x}

הנגזרת של $-x$ היא $-1$

(e^{x^2})'=2x\,e^{x^2}

הנגזרת של $x^2$ היא $2x$

גזרו את $e^{5x-2}$ .

להציג את התשובה והפתרון

$5e^{5x-2}$ . המעריך נשאר כמו שהוא, ובחוץ כופלים ב- $5$ .

מה קובע את הסימן של הנגזרת

$e^{g(x)}$ תמיד חיובי. לכן לנגזרת $g'(x)\cdot e^{g(x)}$ יש אותו סימן כמו ל- $g'(x)$ .

לפי הסימן של $2-2x$ : באיזה תחום $f(x)=e^{2x-x^2}$ עולה?

להציג את התשובה והפתרון

כאשר $2-2x>0$ , כלומר $x<1$ . אין צורך לחשב את $e^{2x-x^2}$ : הוא תמיד חיובי.

מכפלה עם e בחזקת ביטוי

גזרו את $f(x)=xe^{-x}$ .

כלל המכפלה, ובתוכו כלל השרשרת.

f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})

$(e^{-x})'=-e^{-x}$

f'(x)=(1-x)e^{-x}

גורם משותף

משיק

y_0=f(x_0)

נקודת ההשקה

m=f'(x_0)

השיפוע

y-y_0=m(x-x_0)

משוואת המשיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f(x)=e^{2x-4}$ בנקודה שבה $x=2$ .

שלושת הצעדים.

\begin{aligned}f(2) &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}

הנקודה $(2,1)$

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x-4} \Rightarrow f'(2) \\ &= 2\end{aligned}

כלל השרשרת

\begin{aligned}y-1 &= 2(x-2) \Rightarrow y \\ &= 2x-3\end{aligned}

המשיק

באיזו נקודה המשיק $y=2x-3$ חותך את ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$2x-3=0$ , כלומר $x=1.5$ : הנקודה $(1.5,0)$ .

כשהנגזרת מובילה ל-eˣ = k

מצאו את נקודת הקיצון של $f(x)=e^{2x}-4e^x$ .

$e^{2x}=(e^x)^2$ .

f'(x)=2e^{2x}-4e^x

כלל השרשרת

f'(x)=2e^x\big(e^x-2\big)

גורם משותף $2e^x$

\begin{aligned}e^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

$2e^x$ לא מתאפס; פותרים עם $\ln$

\begin{aligned}f(\ln 2) &= 4-8 \\ &= -4\end{aligned}

$e^{2\ln 2}=4$ : מינימום $(\ln 2,-4)$

אחרי הוצאת $e^x$ נשארת משוואה $e^x=k$ . אם $k>0$ : $x=\ln k$ . אם $k\le 0$ : אין פתרון, כי $e^x>0$ .

שתי טעויות של כלל השרשרת.

(e^{3x})'=e^{3x}

(e^{3x})'=3e^{3x}

רק $e^x$ שווה לנגזרת שלו. כאן חסרה הנגזרת של המעריך, $3$ .

(e^{x^2})'=x^2e^{x^2-1}

(e^{x^2})'=2xe^{x^2}

לא מורידים את המעריך כמו ב- $x^n$ . כופלים בנגזרת שלו.

תרגילים

תרגיל 1

מהי הנגזרת של $e^{4x}$ ?

$4xe^{4x-1}$
$e^{4x}$
$e^{4}$
$4e^{4x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $4e^{4x}$

הפתרון:

(4x)'=4

נגזרת המעריך

(e^{4x})'=4e^{4x}

כלל השרשרת

$4e^{4x}$ . מי שבחר $e^{4x}$ שכח לכפול בנגזרת של המעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=e^{3x-6}$ . חשבו את $f'(2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f'(x)=3e^{3x-6}

כלל השרשרת

\begin{aligned}f'(2) &= 3e^0 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

$3$ . ב- $x=2$ המעריך מתאפס ו- $e^0=1$ . מי שכתב $1$ שכח את הגורם $3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי הנגזרת של $f(x)=e^{x^2-4x}$ ?

$(x^2-4x)e^{x^2-4x-1}$
$e^{2x-4}$
$(2x-4)e^{x^2-4x}$
$(2x-4)e^{x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(2x-4)e^{x^2-4x}$

הפתרון:

(x^2-4x)'=2x-4

נגזרת המעריך

f'(x)=(2x-4)e^{x^2-4x}

כפול אותה חזקה

המעריך נשאר $x^2-4x$ . רק בחוץ מופיעה הנגזרת שלו, $2x-4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=e^{x^2-6x}$ . בעבור איזה $x$ מתקיים $f'(x)=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f'(x)=(2x-6)e^{x^2-6x}

כלל השרשרת

\begin{aligned}2x-6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

החזקה לא מתאפסת

$x=3$ . מי שפתר $x^2-6x=0$ איפס את המעריך, ולא את הנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הפונקציה $f(x)=e^{-x}$ יורדת לכל $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f'(x)=-e^{-x}

כלל השרשרת

-e^{-x}<0

מינוס כפול חיובי

נכון. הנגזרת שלילית לכל $x$ . מי שענה «לא» ראה רק את $e>1$ ושכח את המינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו שיפוע המשיק לגרף של $f(x)=e^{2x}$ בנקודה שבה $x=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f'(x)=2e^{2x}

כלל השרשרת

f'(0)=2

מציבים

השיפוע $2$ , לא $1$ : הגרף של $e^{2x}$ תלול פי שניים מ- $e^x$ ב- $(0,1)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f(x)=e^{x-1}$ בנקודה שבה $x=1$ . השלימו: $y=mx+n$ .

$m=$ ____ ; $n=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $m=$ 1 ; $n=$ 0

הפתרון:

\begin{aligned}f(1) &= 1 \\ \ f'(1) &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}y-1 &= 1(x-1) \Rightarrow y \\ &= x\end{aligned}

המשיק

המשיק הוא $y=x$ , ולכן $n=0$ . הוא עובר בראשית. מי שכתב $n=1$ שכח להעביר את $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה $f(x)=e^{2x}-6e^x$ . פתרו $f'(x)=0$ . עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.1

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}-6e^x \\ &= 2e^x(e^x-3)\end{aligned}

גורם משותף

\begin{aligned}e^x &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3\approx 1.10\end{aligned}

פותרים עם $\ln$

$x=\ln 3\approx 1.10$ . מי שכתב $\ln 6$ שכח שהנגזרת של $e^{2x}$ היא $2e^{2x}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גוזרים את $f(x)=xe^{-2x}$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f'(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot e^{-2x}

f'(x)=(1+x)e^{-2x}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f'(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot e^{-2x}$ → $f'(x)=e^{-2x}-2xe^{-2x}$

הפתרון:

(e^{-2x})'=-2e^{-2x}

כלל השרשרת

\begin{aligned}f'(x) &= (1-2x)e^{-2x} \Rightarrow x \\ &= 0.5\end{aligned}

הפתרון הנכון

הטעות בשורה הראשונה: הנגזרת של $e^{-2x}$ היא $-2e^{-2x}$ , לא $e^{-2x}$ . מכאן גם $x=-1$ שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהי משוואת המשיק לגרף של $f(x)=xe^{-x}$ בנקודה שבה $x=0$ ?

$y=x$
$y=0$
$y=x+1$
$y=-x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $y=x$

הפתרון:

f(0)=0

הנקודה $(0,0)$

\begin{aligned}f'(x) &= (1-x)e^{-x} \Rightarrow f'(0) \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע

y=x

המשיק

$y=x$ . מי שבחר $y=-x$ גזר את $e^{-x}$ כאילו הכל מוכפל ב- $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מיינו: איזו פונקציה עולה לכל $x$ , ואיזו יורדת לכל $x$ ?

עולה לכל x
יורדת לכל x

$-e^x$
$5-e^x$
$e^{-3x}$
$e^{0.5x}$
$e^{2x}$
$e^x+x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $e^{2x}$ — עולה לכל x · $e^{-3x}$ — יורדת לכל x · $-e^x$ — יורדת לכל x · $e^x+x$ — עולה לכל x · $5-e^x$ — יורדת לכל x · $e^{0.5x}$ — עולה לכל x

הפתרון:

\begin{aligned}(e^{-3x})' &= -3e^{-3x}<0 \\ \quad (e^x+x)' &= e^x+1>0\end{aligned}

סימן הנגזרת

קובע סימן הנגזרת, לא הבסיס לבד. $-e^x$ ו- $5-e^x$ יורדות כי יש מינוס לפני $e^x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ל- $f(x)=e^{x^2-2x}$ יש נקודת קיצון אחת. מהו ערך הפונקציה בנקודה הזאת? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.37

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= (2x-2)e^{x^2-2x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

מוצאים את $x$

f(1)=e^{-1}\approx 0.37

מציבים ב- $f$

$e^{-1}\approx 0.37$ . מי שענה $1$ כתב את שיעור ה- $x$ , ולא את ערך הפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מה קובע את הסימן של הנגזרת

מכפלה עם e בחזקת ביטוי

משיק

כשהנגזרת מובילה ל-eˣ = k

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev