חקירת פונקציה עם eˣ · חשבון דיפרנציאלי של הפונקציה eˣ · כיתה י״ב

בבגרות, השאלה על $e$ מתחילה כמעט תמיד בחקירה: נותנים פונקציה, ומבקשים לחקור אותה סעיף אחרי סעיף.

1

תחום הגדרה

2

נקודות חיתוך עם הצירים

3

נקודות קיצון וסוגן

4

תחומי עלייה וירידה

5

אסימפטוטות אופקיות

6

סקיצה של הגרף

הדוגמה: f(x) = (x² − 3)eˣ

תחום: $e^x$ מוגדר לכל $x$ , וגם הפולינום. לכן התחום הוא כל $x$ .

ציר ה- $y$ : $f(0)=(0-3)\cdot 1=-3$ . ציר ה- $x$ : $(x^2-3)e^x=0$ . אבל $e^x\neq 0$ , ולכן $x^2-3=0$ , כלומר $x=\pm\sqrt{3}$ .

למה מותר «לבטל» את $e^x$ במשוואה $(x^2-3)e^x=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי $e^x>0$ לכל $x$ . מכפלה מתאפסת רק כשאחד הגורמים מתאפס, ו- $e^x$ אף פעם לא מתאפס.

נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

גוזרים את $f(x)=(x^2-3)e^x$ ומאפסים.

כלל המכפלה, וגורם משותף.

f'(x)=2x\cdot e^x+(x^2-3)e^x

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= (x^2+2x-3)e^x \\ &= (x+3)(x-1)e^x\end{aligned}

גורם משותף ופירוק

\begin{aligned}x &= -3 \\ \quad x &= 1\end{aligned}

$e^x\neq 0$

למה ב- $x=1$ יש מינימום ולא מקסימום?

להציג את התשובה והפתרון

משמאל ל- $1$ הנגזרת שלילית ( $f$ יורדת), ומימין חיובית ( $f$ עולה). ירידה ואחריה עלייה: מינימום.

אסימפטוטה אופקית

כאשר $x\to-\infty$ , $e^x$ שואף ל- $0$ מהר מאוד, מהר יותר משגדל $x^2-3$ . לכן $f(x)\to 0$ : אסימפטוטה $y=0$ משמאל.

כאשר $x\to+\infty$ , שני הגורמים גדלים, ו- $f(x)\to\infty$ . מימין אין אסימפטוטה אופקית.

כלל אצבע: $e^x$ מנצח כל פולינום. כאשר $x\to-\infty$ , (פולינום) $\cdot e^x\to 0$ .

הסקיצה: משמאל הגרף נצמד ל-

y=0

, עולה עד המקסימום

A

, יורד דרך

(0,-3)

עד המינימום

B(1,-2e)

, ועולה שוב. הוא חותך את ציר ה-

x

ב-

\pm\sqrt{3}

זוגיות

f(-x)=f(x)

זוגית: הגרף סימטרי לציר ה- $y$

f(-x)=-f(x)

אי-זוגית: הגרף סימטרי לראשית

האם $g(x)=e^{-x^2}$ זוגית?

מציבים $-x$ במקום $x$ .

\begin{aligned}g(-x) &= e^{-(-x)^2} \\ &= e^{-x^2} \\ &= g(x)\end{aligned}

$(-x)^2=x^2$

g(-x)=g(x)

כן: $g$ זוגית

האם $f(x)=(x^2-3)e^x$ זוגית?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $f(1)=-2e$ , אבל $f(-1)=-\frac{2}{e}$ . מספיקה דוגמה אחת שבה $f(-x)\neq f(x)$ .

הסבירו מדוע הפונקציה חיובית לכל x

(x^2+1)\cdot e^x>0

מכפלה של שני גורמים חיוביים: חיובית

\min g>0 \Rightarrow g>0

הערך הכי נמוך חיובי: כל הערכים חיוביים

הסבירו מדוע $g(x)=e^x-x$ חיובית לכל $x$ .

מוצאים את המינימום.

\begin{aligned}g'(x) &= e^x-1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

$e^x=1$

x<0:\ g'<0 ,\quad x>0:\ g'>0

יורדת, ואחר כך עולה: מינימום

g(0)=1>0

המינימום חיובי, ולכן $g(x)\ge 1>0$ לכל $x$

שתי טעויות בחקירה.

\begin{aligned}(x^2-3)e^x &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}(x^2-3)e^x &= 0 \Rightarrow x^2-3 \\ &= 0\end{aligned}

$e^x=0$ אין לו פתרון. רק הפולינום מתאפס.

\frac{e^x}{x}:\ x\in\mathbb{R}

\frac{e^x}{x}:\ x\neq 0

$e^x$ מוגדר בכל מקום, אבל מכנה לא יכול להיות אפס.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\frac{e^x}{x-2}$ ?

$x\neq 0$
$x>2$
כל $x$
$x\neq 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x\neq 2$

הפתרון:

x-2\neq 0

המכנה לא אפס

x\neq 2

התחום

$x\neq 2$ . $e^x$ מוגדר לכל $x$ ; את התחום מגביל המכנה בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=(x-2)e^x$ . השלימו את נקודות החיתוך עם הצירים.

עם ציר ה- $x$ : $x=$ ____ ; עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה- $x$ : $x=$ 2 ; עם ציר ה- $y$ : $y=$ -2

הפתרון:

\begin{aligned}(x-2)e^x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$e^x\neq 0$

\begin{aligned}f(0) &= (0-2)\cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

מציבים $x=0$

ב- $f(0)$ , $e^0=1$ ולא $0$ . מי שכתב $y=0$ טעה בזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=(x-2)e^x$ . בעבור איזה $x$ יש ל- $f$ נקודת קיצון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-2)e^x \\ &= (x-1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

x=1

הסוגריים מתאפסים

$x=1$ . מי שענה $2$ מצא את החיתוך עם ציר ה- $x$ , לא את הקיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=(x-2)e^x$ . מהם תחומי העלייה והירידה?

עולה כאשר $x<1$ , יורדת כאשר $x>1$
יורדת כאשר $x<2$ , עולה כאשר $x>2$
עולה לכל $x$
יורדת כאשר $x<1$ , עולה כאשר $x>1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יורדת כאשר $x<1$ , עולה כאשר $x>1$

הפתרון:

f'(x)=(x-1)e^x

הנגזרת

\begin{aligned}x &= 0:\ f'<0 \\ \quad x &= 2:\ f'>0\end{aligned}

בודקים סימן

הגבול בין התחומים הוא נקודת הקיצון $x=1$ , לא החיתוך $x=2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לגרף של $f(x)=(x-2)e^x$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$ כאשר $x\to-\infty$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x\to-\infty:\ e^x\to 0

$e^x$ שואף לאפס

(x-2)e^x\to 0

$e^x$ מנצח את הפולינום

נכון. אף ש- $x-2\to-\infty$ , הגורם $e^x$ שואף ל- $0$ מהר יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הפונקציה $f(x)=e^{x^2}$ היא:

לא זוגית ולא אי-זוגית
אי-זוגית
זוגית

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג זוגית

הפתרון:

\begin{aligned}f(-x) &= e^{(-x)^2} \\ &= e^{x^2} \\ &= f(x)\end{aligned}

מציבים $-x$

זוגית. מי שחשב « $e$ אף פעם לא זוגית» בדק את $e^x$ , אבל כאן המעריך $x^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפונקציה $f(x)=e^x-e^{-x}$ אי-זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(-x)=e^{-x}-e^{x}

מציבים $-x$

=-(e^x-e^{-x})=-f(x)

מוציאים מינוס

נכון. $f(-x)=-f(x)$ . גם $f(0)=0$ מתאים: גרף אי-זוגי עובר בראשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ל- $f(x)=xe^{-x}$ יש מקסימום. מהו ערך ה- $y$ שלו? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.37

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= (1-x)e^{-x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

הקיצון

f(1)=e^{-1}\approx 0.37

מציבים

$\frac{1}{e}\approx 0.37$ . מי שענה $1$ כתב את ה- $x$ של הנקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

למה $f(x)=(x^2+1)e^x$ חיובית לכל $x$ ?

כי $f$ עולה לכל $x$
כי $f(0)=1>0$
כי $x^2+1>0$ וגם $e^x>0$ , ומכפלה של חיוביים חיובית
כי ל- $f$ אין נקודות קיצון

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כי $x^2+1>0$ וגם $e^x>0$ , ומכפלה של חיוביים חיובית

הפתרון:

x^2+1\ge 1>0

הגורם הראשון

e^x>0

הגורם השני

ערך אחד, $f(0)=1$ , לא מוכיח דבר על כל $x$ . צריך נימוק שעובד לכל $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו הערך הקטן ביותר של $g(x)=e^x-x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= e^x-1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

הקיצון

\begin{aligned}g(0) &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

מינימום

$1$ . ולכן $g(x)\ge 1>0$ לכל $x$ . מי שענה $0$ כתב את ה- $x$ של המינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל פונקציה לנקודות הקיצון שלה.

$xe^x$
$xe^{-x}$
$x^2e^x$
$e^x-x$

מינימום ב- $x=-1$
מינימום ב- $x=0$
מקסימום ב- $x=-2$ , מינימום ב- $x=0$
מקסימום ב- $x=1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $xe^x$ — מינימום ב- $x=-1$ · $xe^{-x}$ — מקסימום ב- $x=1$ · $x^2e^x$ — מקסימום ב- $x=-2$ , מינימום ב- $x=0$ · $e^x-x$ — מינימום ב- $x=0$

הפתרון:

(x^2e^x)'=x(x+2)e^x

שני אפסים: $-2$ ו- $0$

ב- $x^2e^x$ שתי נקודות: הנגזרת חיובית, שלילית, חיובית. מי שראה רק $x=0$ שכח את $x+2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

חוקרים את $f(x)=(x+1)e^x$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f'(x)=(x+2)e^x

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

f(-2)=-e^{-2}

x<-2:\ f'(x)>0

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x<-2:\ f'(x)>0$ → $x<-2:\ f'(x)<0$

הפתרון:

f'(-3)=(-1)e^{-3}<0

מציבים $x=-3$

x<-2:\ f\downarrow ,\quad x>-2:\ f\uparrow

מינימום ב- $x=-2$

משמאל ל- $-2$ הגורם $x+2$ שלילי, ולכן $f$ יורדת שם. בודקים במספר, לא מנחשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

הדוגמה: f(x) = (x² − 3)eˣ

נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

אסימפטוטה אופקית

זוגיות

הסבירו מדוע הפונקציה חיובית לכל x

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev