פונקציה עם פרמטר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בשאלה על ee יש לעתים פרמטר: אות כמו aa בתוך הפונקציה. סעיף א נותן נתון, ומהנתון מוצאים את aa.

f′(x0)=mf'(x_0)=m

נתון שיפוע המשיק ב-x0x_0

f′(x0)=0f'(x_0)=0

נתונה נקודת קיצון ב-x0x_0

y=ky=k

נתונה אסימפטוטה

נתון ש«הגרף עובר בנקודה (1,5)(1,5)». איזו משוואה כותבים?

להציג את התשובה והפתרון

f(1)=5f(1)=5: מציבים ב-ff עצמה, לא בנגזרת.

נתון: שיפוע המשיק

נתונה f(x)=eax+xf(x)=e^{ax}+x. שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 44. מצאו את aa.

גוזרים, מציבים, משווים.

f′(x)=a eax+1f'(x)=a\,e^{ax}+1

כלל השרשרת: aa הוא מספר

f′(0)=a+1f'(0)=a+1

e0=1e^0=1

a+1=4⇒a=3\begin{aligned}a+1 &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

משווים לנתון

ואם השיפוע ב-x=0x=0 היה 11?

להציג את התשובה והפתרון

אז a=0a=0, ו-f(x)=e0+x=1+xf(x)=e^0+x=1+x: סתם ישר. לכן הנתון בבגרות תמיד נותן פונקציה «אמיתית».

נתון: נקודת קיצון

ל-f(x)=(x−a)exf(x)=(x-a)e^x יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. מצאו את aa ואת סוג הקיצון.

בקיצון הנגזרת מתאפסת.

f′(x)=ex+(x−a)ex=(x−a+1)ex\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-a)e^x \\ &= (x-a+1)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

f′(2)=(3−a)e2=0⇒a=3\begin{aligned}f'(2) &= (3-a)e^2 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

e2≠0e^2\neq 0

f′(x)=(x−2)exf'(x)=(x-2)e^x

מציבים a=3a=3

x<2: f′<0,x>2: f′>0x<2:\ f'<0 ,\quad x>2:\ f'>0

מינימום (2,−e2)(2,-e^2)

מה ערך הפונקציה f(x)=(x−3)exf(x)=(x-3)e^x בנקודת הקיצון? עגלו לשתי ספרות.

להציג את התשובה והפתרון

f(2)=−e2≈−7.39f(2)=-e^2\approx -7.39.

אחרי שמצאתם את aa, הציבו אותו וכתבו את ff בלי פרמטר. כל הסעיפים הבאים עובדים עם הפונקציה הזאת.

נתון: אסימפטוטה אופקית

נתונה f(x)=a ex+2ex+1f(x)=\frac{a\,e^x+2}{e^x+1}. כאשר x→−∞x\to-\infty, ex→0e^x\to 0, ולכן f(x)→21=2f(x)\to\frac{2}{1}=2.

כאשר x→+∞x\to+\infty מחלקים מונה ומכנה ב-exe^x: f(x)=a+2e−x1+e−x→af(x)=\frac{a+2e^{-x}}{1+e^{-x}}\to a.

אם נתון שהאסימפטוטה בימין היא y=−1y=-1, מה aa?

להציג את התשובה והפתרון

a=−1a=-1: בימין האסימפטוטה היא y=ay=a.

נתון: אסימפטוטה אנכית

ל-f(x)=exex−af(x)=\frac{e^x}{e^x-a} יש אסימפטוטה אנכית x=ln⁡4x=\ln 4. מצאו את aa.

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס.

eln⁡4−a=0e^{\ln 4}-a=0

מציבים במכנה

4−a=0⇒a=4\begin{aligned}4-a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

eln⁡4=4e^{\ln 4}=4

שתי טעויות עם פרמטר.

f′(2)=0⇒f(2)=0\begin{aligned}f'(2) &= 0 \Rightarrow f(2) \\ &= 0\end{aligned}
f′(2)=0f'(2)=0

קיצון אומר שהנגזרת מתאפסת, לא הפונקציה.

((x−a)ex)′=ex\big((x-a)e^x\big)'=e^x
((x−a)ex)′=(x−a+1)ex\big((x-a)e^x\big)'=(x-a+1)e^x

aa הוא מספר, אבל (x−a)ex(x-a)e^x היא עדיין מכפלה: כלל המכפלה לא נעלם.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=eax−xf(x)=e^{ax}-x. שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 55. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f′(x)=a eax−1f'(x)=a\,e^{ax}-1

כלל השרשרת

f′(0)=a−1=5⇒a=6\begin{aligned}f'(0) &= a-1 \\ &= 5 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

משווים

a=6a=6. מי שכתב a=5a=5 שכח שהנגזרת של −x-x היא −1-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ל-f(x)=(x+a)exf(x)=(x+a)e^x יש נקודת קיצון ב-x=−4x=-4. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=(x+a+1)exf'(x)=(x+a+1)e^x

כלל המכפלה

−4+a+1=0⇒a=3\begin{aligned}-4+a+1 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים x=−4x=-4

a=3a=3. מי שכתב a=4a=4 איפס את x+ax+a ושכח את ה-+1+1 מהגזירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ל-f(x)=(x+3)exf(x)=(x+3)e^x יש נקודת קיצון ב-x=−4x=-4. מה סוגה?

  1. אין שם קיצון
  2. מקסימום
  3. מינימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מינימום

הפתרון:

f′(x)=(x+4)exf'(x)=(x+4)e^x

הנגזרת

f′(−5)<0, f′(−3)>0f'(-5)<0 ,\ f'(-3)>0

יורדת ואחר כך עולה

מינימום. בודקים סימן משני הצדדים; לא מנחשים לפי הסימן של aa.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגרף של f(x)=a e2x+1f(x)=a\,e^{2x}+1 עובר בנקודה (0,4)(0,4). מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(0)=a⋅1+1f(0)=a\cdot 1+1

e0=1e^0=1

a+1=4⇒a=3\begin{aligned}a+1 &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

משווים

a=3a=3. נתון על נקודה מציבים ב-ff, לא ב-f′f'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ל-f(x)=a ex+5ex+1f(x)=\frac{a\,e^x+5}{e^x+1} יש אסימפטוטה y=−2y=-2 כאשר x→+∞x\to+\infty. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(x)=a+5e−x1+e−xf(x)=\frac{a+5e^{-x}}{1+e^{-x}}

מחלקים ב-exe^x

x→∞: f→a=−2x\to\infty:\ f\to a=-2

e−x→0e^{-x}\to 0

a=−2a=-2. מי שענה 55 חישב את האסימפטוטה בשמאל, ושם f→5f\to 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ל-f(x)=3ex−af(x)=\frac{3}{e^x-a} יש אסימפטוטה אנכית x=ln⁡5x=\ln 5. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

eln⁡5−a=0e^{\ln 5}-a=0

המכנה מתאפס

a=5a=5

eln⁡5=5e^{\ln 5}=5

a=5a=5. מי שענה ln⁡5\ln 5 שכח ש-eln⁡5=5e^{\ln 5}=5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בעבור a=ea=e, לפונקציה f(x)=ex−axf(x)=e^x-ax יש נקודת קיצון ב-x=1x=1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=ex−ef'(x)=e^x-e

הנגזרת

f′(1)=e−e=0\begin{aligned}f'(1) &= e-e \\ &= 0\end{aligned}

מתאפסת

נכון. ex=ee^x=e נותן x=1x=1. כאן aa הוא המספר ee, והנגזרת של exex היא ee.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ל-f(x)=ex2+axf(x)=e^{x^2+ax} יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa, ואחר כך חשבו את f′(0)f'(0).

a=a= ____ ; f′(0)=f'(0)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= -2 ; f′(0)=f'(0)= -2

הפתרון:

f′(x)=(2x+a)ex2+axf'(x)=(2x+a)e^{x^2+ax}

כלל השרשרת

2+a=0⇒a=−2\begin{aligned}2+a &= 0 \Rightarrow a \\ &= -2\end{aligned}

f′(1)=0f'(1)=0

f′(0)=(0−2)e0=−2\begin{aligned}f'(0) &= (0-2)e^0 \\ &= -2\end{aligned}

מציבים

הנגזרת של המעריך x2+axx^2+ax היא 2x+a2x+a. מי שגזר x2+axx^2+ax ל-2x2x איבד את aa.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=(ax−1)exf(x)=(ax-1)e^x. שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 22. מהו aa?

  1. a=1a=1
  2. a=2a=2
  3. a=3a=3
  4. a=−1a=-1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג a=3a=3

הפתרון:

f′(x)=a ex+(ax−1)exf'(x)=a\,e^x+(ax-1)e^x

כלל המכפלה

f′(0)=a−1=2⇒a=3\begin{aligned}f'(0) &= a-1 \\ &= 2 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

a=3a=3. מי שבחר 22 גזר רק את ax−1ax-1 ושכח את (ax−1)ex(ax-1)e^x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ל-f(x)=(x−a)exf(x)=(x-a)e^x יש נקודת קיצון ב-x=1x=1. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=ex+(x−a)exf'(x)=e^x+(x-a)e^x
f′(x)=(x−a+1)exf'(x)=(x-a+1)e^x
f′(1)=(1−a)e=0\begin{aligned}f'(1) &= (1-a)e \\ &= 0\end{aligned}
a=1a=1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(1)=(1−a)e=0f'(1)=(1-a)e=0 → f′(1)=(2−a)e=0f'(1)=(2-a)e=0

הפתרון:

1−a+1=2−a1-a+1=2-a

מציבים x=1x=1 בסוגריים

a=2a=2

התשובה הנכונה

בהצבה נשמט ה-+1+1. לכן גם a=1a=1 שגוי: התשובה a=2a=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל נתון למשוואה שכותבים בעקבותיו.

  • שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 33
  • ל-ff יש קיצון ב-x=2x=2
  • הגרף עובר בנקודה (1,5)(1,5)
  • y=4y=4 אסימפטוטה כאשר x→∞x\to\infty
  • lim⁡x→∞f(x)=4\lim_{x\to\infty} f(x)=4
  • f′(0)=3f'(0)=3
  • f′(2)=0f'(2)=0
  • f(1)=5f(1)=5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שיפוע המשיק ב-x=0x=0 הוא 33 — f′(0)=3f'(0)=3 · ל-ff יש קיצון ב-x=2x=2 — f′(2)=0f'(2)=0 · הגרף עובר בנקודה (1,5)(1,5) — f(1)=5f(1)=5 · y=4y=4 אסימפטוטה כאשר x→∞x\to\infty — lim⁡x→∞f(x)=4\lim_{x\to\infty} f(x)=4

הפתרון:

f(x0) , f′(x0)f(x_0)\ ,\ f'(x_0)

נקודה ואסימפטוטה: ff. שיפוע וקיצון: f′f'

השאלה הראשונה בכל סעיף עם פרמטר: הנתון מדבר על הגובה (מציבים ב-ff) או על השיפוע (מציבים ב-f′f')?

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת