פותרים יחד · חשבון דיפרנציאלי של הפונקציה eˣ · כיתה י״ב

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, וכל אחת נפתרת יחד, שלב אחרי שלב: חקירה מלאה, הגרף של הנגזרת, פרמטר מתוך שיפוע, והסבר למה פונקציה חיובית. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בכל שאלה עם $e$ , הצעד הראשון אחרי הגזירה הוא להוציא את החזקה גורם משותף. מה שנשאר בסוגריים קובע את הסימן.

1 — חקירה מלאה

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x)=(2-x)e^x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ד. מצאו את האסימפטוטה האופקית. ה. סרטטו סקיצה.

f(x)=(2-x)e^x

לחצו «להתחיל». כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו.

א. תחום

x\in\mathbb{R}

אין מכנה ואין לוגריתם: כל $x$ .

א. חיתוכים

\begin{aligned}f(0) &= 2 \\ \quad (2-x)e^x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

$(0,2)$ ו- $(2,0)$ . $e^x$ לא מתאפס.

ב. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= -e^x+(2-x)e^x \\ &= (1-x)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה וגורם משותף.

ב. קיצון

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad f(1) &= e\end{aligned}

משמאל $f'>0$ , מימין $f'<0$ : מקסימום $(1,e)$ .

ג. עלייה וירידה

x<1:\ \nearrow ,\quad x>1:\ \searrow

עולה עד המקסימום, ויורדת אחריו.

ד. אסימפטוטה

x\to-\infty:\ f(x)\to 0

$e^x$ מנצח את $2-x$ : האסימפטוטה $y=0$ , משמאל.

ה. סקיצה

0\nearrow e\searrow -\infty

מעל הציר ליד $y=0$ , עד $(1,e)$ , דרך $(2,0)$ ולמטה.

בדקו את הסקיצה מול החיתוכים: הגרף עובר ב- $(0,2)$ , מתחת למקסימום $e\approx 2.72$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

האם הגרף של $f(x)=(2-x)e^x$ מתקרב לאסימפטוטה $y=0$ מלמעלה או מלמטה?

להציג את התשובה והפתרון

מלמעלה. כאשר $x<2$ , שני הגורמים $2-x$ ו- $e^x$ חיוביים, ולכן $f(x)>0$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ושאלה 5 ברשימה למטה.

2 — הגרף של הנגזרת

פעילות אינטראקטיבית

איזה גרף מתאר את הנגזרת?

נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)e^{-x}$ . קבעו איזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , ונמקו.

מהי $f'(x)$ ?

$-xe^{-x}$

להציג את התשובה והפתרון

$e^{-x}-(x+1)e^{-x}=(1-x-1)e^{-x}=-xe^{-x}$ .

$e^{-x}$

להציג את התשובה והפתרון

גזרתם רק את $x+1$ . זו מכפלה.

$(x+2)e^{-x}$

להציג את התשובה והפתרון

הנגזרת של $e^{-x}$ היא $-e^{-x}$ , לא $e^{-x}$ .

f'(x)=-xe^{-x}

כלל המכפלה, וכלל השרשרת בתוכו.

איפה $f'$ מתאפסת, ומה הסימן שלה?

ב- $x=0$ ; חיובית משמאל, שלילית מימין

להציג את התשובה והפתרון

הסימן של $-x$ : חיובי כאשר $x<0$ .

ב- $x=-1$ ; שלילית משמאל, חיובית מימין

להציג את התשובה והפתרון

$x=-1$ הוא החיתוך של $f$ עם ציר ה- $x$ , לא של $f'$ .

x<0:\ f'>0 ,\quad x>0:\ f'<0

ל- $f$ יש מקסימום $(0,1)$ .

איזה תיאור מתאים לגרף של $f'$ ?

עובר בראשית, מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין, ושואף ל- $0$ כאשר $x\to\infty$

להציג את התשובה והפתרון

$f'(0)=0$ , והסימנים מהשלב הקודם.

עובר ב- $(0,1)$ ויורד

להציג את התשובה והפתרון

$(0,1)$ היא נקודה על $f$ , לא על $f'$ .

מתחת לציר לכל $x$

להציג את התשובה והפתרון

אז $f$ הייתה יורדת בכל מקום, ולא היה לה מקסימום.

f'(0)=0

הנימוק: הנקודה שבה $f'$ חוצה את הציר היא הקיצון של $f$ .

להציג את התשובה והפתרון

הגרף של $f'$ עובר בראשית: מעל הציר כאשר $x<0$ ( $f$ עולה), ומתחת לציר כאשר $x>0$ ( $f$ יורדת).

לעשות את הפעילות ב-elev

ל- $f(x)=(x+1)e^{-x}$ יש מקסימום ב- $(0,1)$ . מה רואים באותו $x$ בגרף של $f'$ ?

להציג את התשובה והפתרון

נקודה על ציר ה- $x$ : $f'(0)=0$ . גובה $1$ שייך ל- $f$ , לא לנגזרת.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטר מתוך שיפוע

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^{-x}$ . שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ הוא $3$ . א. מצאו את $a$ . הציבו $a=-2$ בסעיפים הבאים. ב. מצאו את נקודת הקיצון של $f$ וקבעו את סוגה. ג. כתבו את משוואת המשיק ב- $x=0$ .

f(x)=(x+a)e^{-x}

לחצו «להתחיל». $a$ הוא מספר: גוזרים כרגיל.

א. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x}-(x+a)e^{-x} \\ &= (1-x-a)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה.

א. הנתון

\begin{aligned}f'(0) &= 1-a \\ &= 3 \Rightarrow a \\ &= -2\end{aligned}

$e^0=1$ .

ב. מציבים

\begin{aligned}f(x) &= (x-2)e^{-x} \\ \quad f'(x) &= (3-x)e^{-x}\end{aligned}

הפונקציה בלי פרמטר.

ב. קיצון

\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad f(3) &= e^{-3}\end{aligned}

משמאל $f'>0$ , מימין $f'<0$ : מקסימום.

ג. נקודה

f(0)=-2

נקודת ההשקה $(0,-2)$ .

ג. המשיק

\begin{aligned}y+2 &= 3x \Rightarrow y \\ &= 3x-2\end{aligned}

השיפוע $3$ נתון כבר בשאלה.

בסעיף ג לא גוזרים שוב: השיפוע ב- $x=0$ הוא הנתון של סעיף א.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם ל- $f(x)=(x-2)e^{-x}$ יש אסימפטוטה אופקית? באיזה צד?

להציג את התשובה והפתרון

כן, $y=0$ , מימין: כאשר $x\to+\infty$ , $e^{-x}\to 0$ ומנצח את $x-2$ . משמאל $f\to-\infty$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — למה הפונקציה חיובית לכל x

פעילות אינטראקטיבית

פונקציה חיובית ופונקציה שנוגעת בציר

נתונה $g(x)=e^{2x}-2e^x+2$ . א. הסבירו מדוע $g$ חיובית לכל $x$ . ב. כמה נקודות משותפות יש לגרף של $h(x)=g(x)-1$ ולציר ה- $x$ ?

איך מתחילים את סעיף א?

מוצאים את הערך הכי נמוך של $g$

להציג את התשובה והפתרון

אם המינימום חיובי, כל הערכים חיוביים.

מציבים $x=0$ ומקבלים $1>0$

להציג את התשובה והפתרון

ערך אחד לא מוכיח דבר על כל $x$ .

אומרים ש- $e^{2x}>0$ , ולכן הכול חיובי

להציג את התשובה והפתרון

יש גם $-2e^x$ , שהוא שלילי.

\begin{aligned}g'(x) &= 2e^{2x}-2e^x \\ &= 2e^x(e^x-1)\end{aligned}

גוזרים ומוציאים גורם משותף.

איפה $g'=0$ , ומה יש שם?

$x=0$ , מינימום $g(0)=1$

להציג את התשובה והפתרון

$e^x=1$ ; משמאל $g'<0$ , מימין $g'>0$ .

$x=1$ , מינימום $g(1)=e^2-2e+2$

להציג את התשובה והפתרון

$e^x-1=0$ נותן $e^x=1$ , כלומר $x=0$ .

\begin{aligned}\min g &= g(0) \\ &= 1>0\end{aligned}

א. המינימום חיובי, ולכן $g(x)\ge 1>0$ לכל $x$ .

כמה נקודות משותפות יש ל- $h(x)=g(x)-1$ ולציר ה- $x$ ?

אחת: $(0,0)$

להציג את התשובה והפתרון

המינימום של $h$ הוא $1-1=0$ : הגרף נוגע בציר בנקודה אחת.

אף אחת

להציג את התשובה והפתרון

$h(0)=0$ : יש נקודה על הציר.

שתיים

להציג את התשובה והפתרון

בכל מקום אחר $g(x)>1$ , ולכן $h(x)>0$ .

\begin{aligned}h(x) &= g(x)-1\ge 0 \\ \quad h(0) &= 0\end{aligned}

ב. נקודה אחת.

להציג את התשובה והפתרון

א. $\min g=g(0)=1>0$ . ב. נקודה אחת, $(0,0)$ : ההזזה ב- $-1$ מורידה את המינימום בדיוק לציר.

לעשות את הפעילות ב-elev

מהי האסימפטוטה האופקית של $g(x)=e^{2x}-2e^x+2$ כאשר $x\to-\infty$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$y=2$ : גם $e^{2x}$ וגם $e^x$ שואפים ל- $0$ , ונשאר $2$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

שאלה 1. נתונה $f(x)=(x-3)e^x$ . בעבור איזה $x$ יש ל- $f$ מינימום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= e^x+(x-3)e^x \\ &= (x-2)e^x\end{aligned}

כלל המכפלה

x<2:\ f'<0 ,\ x>2:\ f'>0

יורדת ואחר כך עולה

$x=2$ . מי שענה $3$ מצא את החיתוך עם ציר ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שאלה 2. נתונה $f(x)=(x+2)e^{-x}$ . איזה תיאור מתאים לגרף של $f'(x)$ ?

חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-1$ : מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין
חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-2$ : מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין
מעל ציר ה- $x$ לכל $x$
חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-1$ : מתחת לציר משמאל, מעל הציר מימין

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א חוצה את ציר ה- $x$ ב- $x=-1$ : מעל הציר משמאל, מתחת לציר מימין

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x}-(x+2)e^{-x} \\ &= (-x-1)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}-x-1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

הסימן של $-x-1$

$x=-1$ , עם מעבר מ- $+$ ל- $-$ : ל- $f$ מקסימום שם. $x=-2$ הוא החיתוך של $f$ עצמה עם הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שאלה 3. נתונה $f(x)=(x+a)e^{-x}$ . שיפוע המשיק בנקודה שבה $x=0$ הוא $4$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f'(x)=(1-x-a)e^{-x}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(0) &= 1-a \\ &= 4 \Rightarrow a \\ &= -3\end{aligned}

מציבים

$a=-3$ . מי שכתב $a=3$ שכח את המינוס שמגיע מהנגזרת של $e^{-x}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שאלה 4. נתונה $g(x)=e^{2x}-4e^x+5$ . מהו הערך הקטן ביותר של $g$ ? (מכאן ש- $g$ חיובית לכל $x$ .)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= 2e^x(e^x-2) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

הקיצון

\begin{aligned}g(\ln 2) &= 4-8+5 \\ &= 1\end{aligned}

$e^{2\ln 2}=4$

$1$ , ולכן $g(x)\ge 1>0$ . מי שהציב $x=2$ במקום $\ln 2$ קיבל מספר אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שאלה 5. נתונה $f(x)=(x-3)e^x$ . השלימו את נקודות החיתוך עם הצירים.

עם ציר ה- $x$ : $x=$ ____ ; עם ציר ה- $y$ : $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה- $x$ : $x=$ 3 ; עם ציר ה- $y$ : $y=$ -3

הפתרון:

\begin{aligned}(x-3)e^x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

$e^x\neq 0$

\begin{aligned}f(0) &= -3\cdot 1 \\ &= -3\end{aligned}

מציבים $0$

ב- $f(0)$ , $e^0=1$ . מי שכתב $y=0$ חשב ש- $e^0=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה מלאה

2 — הגרף של הנגזרת

3 — פרמטר מתוך שיפוע

4 — למה הפונקציה חיובית לכל x

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev