פונקציה קדומה של eˣ ושל 1/x · אינטגרלים של eˣ ו־1/x ושטחים · כיתה י״ב

פונקציה קדומה של $f$ היא פונקציה $F$ שהנגזרת שלה היא $f$ : $F'(x)=f(x)$ .

את הנגזרות של $e^x$ ושל $\ln x$ כבר מכירים. קוראים אותן הפוך, ומקבלים פונקציות קדומות חדשות.

$e^x$ היא פונקציה קדומה של עצמה

\int e^x\,dx=e^x+C

כי $(e^x)'=e^x$ .

ומה עם $e^{3x}$ ? בגזירה יוצא מקדם: $(e^{3x})'=3e^{3x}$ . כדי לבטל אותו, מחלקים ב- $3$ .

\int e^{mx+b}\,dx=\frac{1}{m}\,e^{mx+b}+C

$m \neq 0$ הוא המקדם של $x$ במעריך.

\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C

מחלקים ב- $2$

\int e^{-x}\,dx=-e^{-x}+C

מחלקים ב- $-1$

\int e^{3x-1}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x-1}+C

המספר $-1$ לא משנה את המקדם

מהי פונקציה קדומה של $e^{-2x}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$-\frac{1}{2}e^{-2x}$ . בודקים בגזירה: $\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)'=-\frac{1}{2}\cdot(-2)e^{-2x}=e^{-2x}$ .

הפונקציה הקדומה של $\frac{1}{x}$ היא $\ln x$

\int \frac{1}{x}\,dx=\ln x+C \qquad (x>0)

כי $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ . בתחום $x<0$ כותבים $\ln|x|$ .

\int \frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{1}{m}\ln(mx+b)+C

בתחום שבו $mx+b>0$ . שוב מחלקים במקדם של $x$ .

מהי פונקציה קדומה של $\frac{1}{2x+5}$ , כאשר $x>-2.5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{1}{2}\ln(2x+5)$ . בודקים בגזירה: $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{2x+5}=\frac{1}{2x+5}$ .

משלבים עם פולינומים

פונקציה קדומה של $f(x)=4e^{2x}-\frac{3}{x}+6x$ , כאשר $x>0$

מוצאים פונקציה קדומה לכל מחובר בנפרד.

\begin{aligned}\int 4e^{2x}\,dx &= 4\cdot\frac{1}{2}e^{2x} \\ &= 2e^{2x}\end{aligned}

מחלקים ב- $2$

\int \frac{3}{x}\,dx=3\ln x

המספר $3$ נשאר בחוץ

\int 6x\,dx=3x^2

כמו בכיתה יא

F(x)=2e^{2x}-3\ln x+3x^2+C

מחברים

תמיד אפשר לבדוק. גוזרים את התשובה. אם חוזרים לפונקציה שבתוך האינטגרל, התשובה נכונה.

שלוש טעויות של מקדם.

\int e^{3x}\,dx=3e^{3x}+C

\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C

המקדם $3$ יוצא בגזירה, ולכן בפונקציה הקדומה מחלקים בו.

\int \frac{1}{2x+1}\,dx=\ln(2x+1)+C

\int \frac{1}{2x+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln(2x+1)+C

בגזירה של $\ln(2x+1)$ יוצא $\frac{2}{2x+1}$ . חסר החצי.

\int \frac{2}{x}\,dx=\ln(2x)+C

\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln x+C

הנגזרת של $\ln(2x)$ היא $\frac{1}{x}$ , לא $\frac{2}{x}$ . המספר $2$ נשאר מחוץ ל- $\ln$ .

תרגילים

תרגיל 1

מהי $\int e^{4x}\,dx$ ?

$\frac{1}{5}e^{5x}+C$
$e^{4x}+C$
$4e^{4x}+C$
$\frac{1}{4}e^{4x}+C$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{1}{4}e^{4x}+C$

הפתרון:

\begin{aligned}\left(\frac{1}{4}e^{4x}\right)' &= \frac{1}{4}\cdot 4e^{4x} \\ &= e^{4x}\end{aligned}

בודקים בגזירה

הנכונה: $\frac{1}{4}e^{4x}+C$ . התשובה $4e^{4x}$ כופלת במקדם במקום לחלק. והתשובה $\frac{1}{5}e^{5x}$ מעתיקה את הכלל של $x^n$ , שלא מתאים ל- $e$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי $\int \frac{1}{3x-2}\,dx$ , כאשר $x>\frac{2}{3}$ ?

$-\frac{1}{(3x-2)^2}+C$
$\frac{1}{3}\ln(3x-2)+C$
$3\ln(3x-2)+C$
$\ln(3x-2)+C$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{1}{3}\ln(3x-2)+C$

הפתרון:

\begin{aligned}\left(\frac{1}{3}\ln(3x-2)\right)' &= \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{3x-2} \\ &= \frac{1}{3x-2}\end{aligned}

בודקים בגזירה

הנכונה: $\frac{1}{3}\ln(3x-2)+C$ . מי שבחר $\ln(3x-2)$ שכח לחלק במקדם $3$ . והתשובה האחרונה היא נגזרת, לא פונקציה קדומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

השלימו את המקדם.

$\int e^{5x}\,dx=$ ____ $\cdot e^{5x}+C$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\int e^{5x}\,dx=$ 0.2 $\cdot e^{5x}+C$

הפתרון:

\frac{1}{5}=0.2

מחלקים במקדם של $x$

המקדם הוא $\frac{1}{5}=0.2$ , ולא $5$ : בגזירה של $0.2e^{5x}$ יוצא $0.2\cdot5e^{5x}=e^{5x}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הפונקציה $\ln(x+3)$ היא פונקציה קדומה של $\frac{1}{x+3}$ , כאשר $x>-3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\left(\ln(x+3)\right)'=\frac{1}{x+3}\cdot 1

המקדם של $x$ הוא $1$

נכון. כאן המקדם של $x$ הוא $1$ , ולכן אין במה לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הפונקציה $e^{x^2}$ היא פונקציה קדומה של $e^{x^2}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\left(e^{x^2}\right)'=2x\,e^{x^2}

כלל השרשרת: הנגזרת של המעריך $x^2$ היא $2x$

לא נכון. רק $e^x$ היא הקדומה של עצמה. כשהמעריך לא ליניארי, הגזירה מוסיפה גורם עם $x$ , וחלוקה במספר לא מבטלת אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

התאימו לכל פונקציה פונקציה קדומה שלה ( $x>0$ ).

$e^{2x}$
$e^{-x}$
$\frac{1}{x}$
$\frac{1}{2x}$

$-e^{-x}$
$\frac{1}{2}\ln x$
$\frac{1}{2}e^{2x}$
$\ln x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $e^{2x}$ — $\frac{1}{2}e^{2x}$ · $e^{-x}$ — $-e^{-x}$ · $\frac{1}{x}$ — $\ln x$ · $\frac{1}{2x}$ — $\frac{1}{2}\ln x$

הפתרון:

\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}

החצי הוא מקדם קבוע

\begin{aligned}(-e^{-x})' &= -(-e^{-x}) \\ &= e^{-x}\end{aligned}

המקדם של $x$ הוא $-1$

הזוג המבלבל הוא $\frac{1}{2x}$ : מוציאים את $\frac{1}{2}$ החוצה, והקדומה היא $\frac{1}{2}\ln x$ . גם $\frac{1}{2}\ln(2x)$ נכונה: היא שונה רק בקבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את השורה השגויה בחישוב של $\int \left(6e^{3x}-\frac{4}{x}\right)dx$ , כאשר $x>0$ .

\begin{aligned}\int 6e^{3x}\,dx &= 6\cdot\frac{1}{3}e^{3x} \\ &= 2e^{3x}\end{aligned}

\int \frac{4}{x}\,dx=\frac{4}{\ln x}

F(x)=2e^{3x}-\frac{4}{\ln x}+C

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\int \frac{4}{x}\,dx=\frac{4}{\ln x}$ → $\int \frac{4}{x}\,dx=4\ln x$

הפתרון:

\begin{aligned}\int \frac{4}{x}\,dx &= 4\int\frac{1}{x}\,dx \\ &= 4\ln x\end{aligned}

המספר $4$ יוצא החוצה

F(x)=2e^{3x}-4\ln x+C

התשובה הנכונה

הטעות בשורה 2: $\ln x$ הוא הפונקציה הקדומה של $\frac{1}{x}$ , לא מכנה חדש. הקדומה של $\frac{4}{x}$ היא $4\ln x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הפונקציה $F(x)=\frac{1}{3}e^{3x}-2\ln x$ היא פונקציה קדומה של $f$ . חשבו את $f(1)$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.09

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= F'(x) \\ &= e^{3x}-\frac{2}{x}\end{aligned}

גוזרים את $F$

f(1)=e^3-2\approx 18.09

מציבים $x=1$

את $f$ מקבלים בגזירה של $F$ . מי שהציב ב- $F$ קיבל $F(1)=\frac{e^3}{3}\approx 6.70$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השלימו.

$\int e^{0.5x}\,dx=$ ____ $\cdot e^{0.5x}+C$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\int e^{0.5x}\,dx=$ 2 $\cdot e^{0.5x}+C$

הפתרון:

\frac{1}{0.5}=2

מחלקים במקדם $0.5$

\begin{aligned}\left(2e^{0.5x}\right)' &= 2\cdot0.5e^{0.5x} \\ &= e^{0.5x}\end{aligned}

בדיקה

חלוקה ב- $0.5$ היא כפל ב- $2$ . מי שכתב $0.5$ כפל במקדם במקום לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לאיזו פונקציה הפונקציה $\frac{1}{5}\ln(5x+1)$ היא פונקציה קדומה ( $x>-0.2$ )?

$\frac{1}{5}\ln 5$
$\frac{1}{5(5x+1)}$
$\frac{5}{5x+1}$
$\frac{1}{5x+1}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{1}{5x+1}$

הפתרון:

\begin{aligned}\left(\frac{1}{5}\ln(5x+1)\right)' &= \frac{1}{5}\cdot\frac{5}{5x+1} \\ &= \frac{1}{5x+1}\end{aligned}

גוזרים

הנכונה: $\frac{1}{5x+1}$ . החמישית שבחוץ מבטלת את ה- $5$ שיוצא בגזירה. התשובה $\frac{5}{5x+1}$ היא הנגזרת של $\ln(5x+1)$ בלי החמישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מיינו: מה מופיע בפונקציה הקדומה?

יש בה $e$
יש בה $\ln$

$\frac{1}{2x+7}$
$\frac{1}{x-4}$
$\frac{3}{x}$
$2e^{x+1}$
$5e^{0.5x}$
$e^{-3x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{1}{x-4}$ — יש בה $\ln$ · $e^{-3x}$ — יש בה $e$ · $\frac{3}{x}$ — יש בה $\ln$ · $2e^{x+1}$ — יש בה $e$ · $\frac{1}{2x+7}$ — יש בה $\ln$ · $5e^{0.5x}$ — יש בה $e$

הפתרון:

\int e^{mx+b}\,dx=\frac{1}{m}e^{mx+b}

חזקה של $e$ נשארת חזקה של $e$

\int \frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{1}{m}\ln(mx+b)

שבר עם $x$ ליניארי במכנה נותן $\ln$

הפונקציה $e^{mx+b}$ נשארת עם $e$ . שבר שבמכנה שלו $x$ בחזקה ראשונה נותן $\ln$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה $f(x)=e^{2x}+\frac{4}{2x+1}$ . הפונקציה $F$ היא הפונקציה הקדומה של $f$ בלי קבוע: $C=0$ . חשבו את $F(0)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}F(x) &= \frac{1}{2}e^{2x}+4\cdot\frac{1}{2}\ln(2x+1) \\ &= \frac{1}{2}e^{2x}+2\ln(2x+1)\end{aligned}

כל מחובר לחוד

\begin{aligned}F(0) &= \frac{1}{2}e^0+2\ln 1 \\ &= \frac{1}{2}+0\end{aligned}

$e^0=1$ ו- $\ln 1=0$

שני כללים שחוזרים: $e^0=1$ (לא $0$ !) ו- $\ln 1=0$ . מי שכתב $e^0=0$ קיבל $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

exe^xex היא פונקציה קדומה של עצמה

הפונקציה הקדומה של 1x\frac{1}{x}x1​ היא ln⁡x\ln xlnx

משלבים עם פולינומים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

$e^x$ היא פונקציה קדומה של עצמה

הפונקציה הקדומה של $\frac{1}{x}$ היא $\ln x$