האינטגרל המסוים עם e ו-ln

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

אינטגרל מסוים מחשבים כמו בכיתה יא: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).

ההבדל: עכשיו התוצאה כוללת הרבה פעמים ee או ln⁡\ln. מתחילים מהשטח מתחת ל-exe^x.

למה השטח המדויק הוא eb−1e^b-1 ולא ebe^b?

להציג את התשובה והפתרון

כי מחסרים את הערך בגבול התחתון: F(0)=e0=1F(0)=e^0=1. השטח הוא eb−e0=eb−1e^b-e^0=e^b-1.

חישוב עם ee

∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx

פונקציה קדומה, ואז עליון פחות תחתון.

F(x)=12e2xF(x)=\frac{1}{2}e^{2x}

מחלקים במקדם 22

F(1)=12e2F(0)=12e0=12\begin{aligned}F(1) &= \frac{1}{2}e^2 \qquad F(0) \\ &= \frac{1}{2}e^0 \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

e0=1e^0=1

12e2−12=e2−12≈3.19\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}=\frac{e^2-1}{2}\approx 3.19

תשובה מדויקת, ואחריה ערך מקורב

זהירות עם הגבול 00. e0=1e^0=1, ולא 00. לכן F(0)F(0) של emxe^{mx} לא מתאפס.

חשבו את ∫0ln⁡3ex dx\int_0^{\ln 3} e^x\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

eln⁡3−e0=3−1=2e^{\ln 3}-e^0=3-1=2. הכלל eln⁡a=ae^{\ln a}=a הופך את התשובה למספר שלם.

חישוב עם ln⁡\ln

באינטגרל של 1x\frac{1}{x} מופיע ln⁡\ln. שני ערכים עוזרים: ln⁡1=0\ln 1=0 ו-ln⁡e=1\ln e=1.

∫251x−1 dx\int_2^5 \frac{1}{x-1}\,dx

בקטע [2,5][2,5] המכנה x−1x-1 חיובי, ולכן כותבים ln⁡\ln בלי ערך מוחלט.

F(x)=ln⁡(x−1)F(x)=\ln(x-1)

המקדם של xx הוא 11

F(5)−F(2)=ln⁡4−ln⁡1F(5)-F(2)=\ln 4-\ln 1

מציבים

=ln⁡4−0=ln⁡4≈1.39=\ln 4-0=\ln 4\approx 1.39

ln⁡1=0\ln 1=0

חשבו את ∫0432x+1 dx\int_0^4 \frac{3}{2x+1}\,dx. השאירו תשובה מדויקת.

להציג את התשובה והפתרון

F(x)=32ln⁡(2x+1)F(x)=\frac{3}{2}\ln(2x+1). לכן 32ln⁡9−32ln⁡1=32ln⁡9=3ln⁡3≈3.30\frac{3}{2}\ln 9-\frac{3}{2}\ln 1=\frac{3}{2}\ln 9=3\ln 3\approx 3.30.

תשובה מדויקת, תשובה מעוגלת

תשובה מדויקת נשארת עם ee ו-ln⁡\ln: ln⁡4\ln 4, e2−12\frac{e^2-1}{2}. אם השאלה מבקשת לעגל, מחשבים במחשבון בסוף.

שלוש טעויות בשורה האחרונה.

[ln⁡x]14=ln⁡4−1\Big[\ln x\Big]_1^4=\ln 4-1
[ln⁡x]14=ln⁡4−0\Big[\ln x\Big]_1^4=\ln 4-0

ln⁡1=0\ln 1=0. המספר 11 הוא ln⁡e\ln e, לא ln⁡1\ln 1.

[ex]02=e2−0\Big[e^x\Big]_0^2=e^2-0
[ex]02=e2−1\Big[e^x\Big]_0^2=e^2-1

e0=1e^0=1: הגבול התחתון לא מתאפס.

∫01e2x dx=e2−1\int_0^1 e^{2x}\,dx=e^2-1
∫01e2x dx=e2−12\int_0^1 e^{2x}\,dx=\frac{e^2-1}{2}

שכחו לחלק במקדם 22 של xx.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.19

הפתרון:

F(x)=12e2xF(x)=\frac{1}{2}e^{2x}

פונקציה קדומה

12e2−12e0=e2−12≈3.19\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}e^0=\frac{e^2-1}{2}\approx 3.19

עליון פחות תחתון

שתי טעויות אפשריות: לשכוח את החצי (6.396.39), או לכתוב e0=0e^0=0 (3.693.69).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את ∫141x dx\int_1^4 \frac{1}{x}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.39

הפתרון:

[ln⁡x]14=ln⁡4−ln⁡1\Big[\ln x\Big]_1^4=\ln 4-\ln 1

פונקציה קדומה

=ln⁡4≈1.39=\ln 4\approx 1.39

ln⁡1=0\ln 1=0

ln⁡1=0\ln 1=0, ולכן התשובה היא ln⁡4\ln 4 בדיוק. מי שכתב ln⁡1=1\ln 1=1 קיבל 0.390.39.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו ∫0ln⁡3ex dx\int_0^{\ln 3} e^x\,dx?

  1. 33
  2. e3−1e^3-1
  3. ln⁡3\ln 3
  4. 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 22

הפתרון:

[ex]0ln⁡3=eln⁡3−e0\Big[e^x\Big]_0^{\ln 3}=e^{\ln 3}-e^0

מציבים

=3−1=2=3-1=2

eln⁡a=ae^{\ln a}=a

הנכונה: 22. התשובה 33 שוכחת את e0=1e^0=1. התשובה e3−1e^3-1 מציבה 33 במקום ln⁡3\ln 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את ∫371x−2 dx\int_3^7 \frac{1}{x-2}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.61

הפתרון:

F(x)=ln⁡(x−2)F(x)=\ln(x-2)

בקטע המכנה חיובי

ln⁡5−ln⁡1=ln⁡5≈1.61\ln 5-\ln 1=\ln 5\approx 1.61

מציבים

מציבים בפונקציה הקדומה את x=7x=7 ואת x=3x=3: 7−2=57-2=5, 3−2=13-2=1. מי שהציב ln⁡7−ln⁡3\ln 7-\ln 3 שכח את ה-−2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את ∫0232x+1 dx\int_0^2 \frac{3}{2x+1}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.41

הפתרון:

F(x)=3⋅12ln⁡(2x+1)=32ln⁡(2x+1)\begin{aligned}F(x) &= 3\cdot\frac{1}{2}\ln(2x+1) \\ &= \frac{3}{2}\ln(2x+1)\end{aligned}

מחלקים במקדם 22

32ln⁡5−32ln⁡1=32ln⁡5≈2.41\frac{3}{2}\ln 5-\frac{3}{2}\ln 1=\frac{3}{2}\ln 5\approx 2.41

מציבים

בלי החלוקה ב-22 מקבלים 3ln⁡5≈4.833\ln 5\approx 4.83, כפול מהתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו את ∫01(ex+2x) dx\int_0^1 (e^x+2x)\,dx. הפונקציה הקדומה היא F(x)=ex+x2F(x)=e^x+x^2. השלימו.

F(1)=e+F(1)=e+ ____ ; F(0)=F(0)= ____ ; לכן האינטגרל שווה ל-ee.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: F(1)=e+F(1)=e+ 1 ; F(0)=F(0)= 1 ; לכן האינטגרל שווה ל-ee.

הפתרון:

F(1)=e1+12=e+1\begin{aligned}F(1) &= e^1+1^2 \\ &= e+1\end{aligned}

הגבול העליון

F(0)=e0+0=1\begin{aligned}F(0) &= e^0+0 \\ &= 1\end{aligned}

הגבול התחתון

(e+1)−1=e(e+1)-1=e

ההפרש

גם כאן F(0)F(0) לא מתאפס: e0=1e^0=1. התשובה היא בדיוק e≈2.72e\approx 2.72.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

האינטגרל ∫01e−x dx\int_0^1 e^{-x}\,dx הוא מספר שלילי, כי במעריך יש מינוס.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

[−e−x]01=−e−1+1=1−1e≈0.63\begin{aligned}\Big[-e^{-x}\Big]_0^1 &= -e^{-1}+1 \\ &= 1-\frac{1}{e}\approx 0.63\end{aligned}

מחשבים

לא נכון. e−x>0e^{-x}>0 לכל xx, ולכן האינטגרל חיובי. המינוס במעריך לא הופך את הפונקציה לשלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את ∫1e(2x+1)dx\int_1^e \left(\frac{2}{x}+1\right)dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.72

הפתרון:

F(x)=2ln⁡x+xF(x)=2\ln x+x

פונקציה קדומה

F(e)=2ln⁡e+e=2+e\begin{aligned}F(e) &= 2\ln e+e \\ &= 2+e\end{aligned}

ln⁡e=1\ln e=1

F(1)=0+1=1\begin{aligned}F(1) &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned}

ln⁡1=0\ln 1=0

(2+e)−1=e+1≈3.72(2+e)-1=e+1\approx 3.72

ההפרש

כאן שני הכללים יחד: ln⁡e=1\ln e=1 ו-ln⁡1=0\ln 1=0. ואל תשכחו את F(1)=1F(1)=1 של המחובר xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סדרו את האינטגרלים מהקטן לגדול.

  • ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx
  • ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx
  • ∫121x dx\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx
  • ∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x}\,dx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∫121x dx\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx · ∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x}\,dx · ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx · ∫01e2x dx\int_0^1 e^{2x}\,dx

הפתרון:

ln⁡2≈0.691e−1≈1.72e2−12≈3.19\ln 2\approx 0.69 \quad 1 \quad e-1\approx 1.72 \quad \frac{e^2-1}{2}\approx 3.19

מחשבים כל אחד

השניים הראשונים: ln⁡2<ln⁡e=1\ln 2<\ln e=1. ו-e2x>exe^{2x}>e^x כאשר x>0x>0, ולכן האינטגרל האחרון הכי גדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מצאו את השורה השגויה בחישוב של ∫02ex dx\int_0^2 e^x\,dx.

∫02ex dx=[ex]02\int_0^2 e^x\,dx=\Big[e^x\Big]_0^2
=e2−0=e^2-0
=e2≈7.39=e^2\approx 7.39
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =e2−0=e^2-0 → =e2−e0=e2−1=e^2-e^0=e^2-1

הפתרון:

e0=1e^0=1

הגבול התחתון

e2−1≈6.39e^2-1\approx 6.39

התשובה הנכונה

הטעות בשורה 2: e0=1e^0=1, לא 00. התשובה הנכונה היא e2−1≈6.39e^2-1\approx 6.39.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חשבו את ∫−11ex+1 dx\int_{-1}^{1} e^{x+1}\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.39

הפתרון:

F(x)=ex+1F(x)=e^{x+1}

המקדם של xx הוא 11

F(1)−F(−1)=e2−e0=e2−1≈6.39\begin{aligned}F(1)-F(-1) &= e^2-e^0 \\ &= e^2-1\approx 6.39\end{aligned}

מציבים

בגבול −1-1 המעריך הוא −1+1=0-1+1=0, ולכן F(−1)=1F(-1)=1. מי שכתב e−1e^{-1} שכח את ה-+1+1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מהו ∫0ln⁡2e2x dx\int_0^{\ln 2} e^{2x}\,dx?

  1. 1.51.5
  2. 0.50.5
  3. 33
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 1.51.5

הפתרון:

[12e2x]0ln⁡2=12e2ln⁡2−12\Big[\frac{1}{2}e^{2x}\Big]_0^{\ln 2}=\frac{1}{2}e^{2\ln 2}-\frac{1}{2}

מציבים

e2ln⁡2=(eln⁡2)2=4\begin{aligned}e^{2\ln 2} &= \left(e^{\ln 2}\right)^2 \\ &= 4\end{aligned}

חוקי חזקות

12⋅4−12=1.5\frac{1}{2}\cdot 4-\frac{1}{2}=1.5

התוצאה

הנכונה: 1.51.5. התשובה 33 שוכחת את החצי. התשובה 0.50.5 כותבת e2ln⁡2=2e^{2\ln 2}=2 במקום 44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת