שטח בין גרף לציר ה-x

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כאשר f(x)≥0f(x)\ge 0 בקטע, השטח בין הגרף לציר ה-xx שווה לאינטגרל.

אבל כשהגרף מתחת לציר, האינטגרל שלילי. לכן קודם מוצאים איפה הגרף חותך את הציר, ובודקים סימן בכל חלק.

איפה הגרף של f(x)=ex−2f(x)=e^x-2 חותך את ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

פותרים ex−2=0e^x-2=0: ex=2e^x=2, ולכן x=ln⁡2≈0.69x=\ln 2\approx 0.69.

נקודת החיתוך עם הציר — בעזרת ln⁡\ln

ex=a ⇒ x=ln⁡a\begin{aligned}e^x &= a \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln a\end{aligned}

מבודדים את exe^x, ולוקחים ln⁡\ln

e2x=3 ⇒ x=12ln⁡3\begin{aligned}e^{2x} &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\ln 3\end{aligned}

קודם 2x=ln⁡32x=\ln 3, ואחר כך מחלקים ב-22

1x−1=0 ⇒ x=1\begin{aligned}\frac{1}{x}-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

שבר: כופלים במכנה

השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=3−exf(x)=3-e^x והצירים

הגרף חותך את ציר ה-yy ב-(0,2)(0,2) ואת ציר ה-xx ב-x=ln⁡3x=\ln 3.

3−ex=0 ⇒ x=ln⁡3\begin{aligned}3-e^x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 3\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

S=∫0ln⁡3(3−ex) dx=[3x−ex]0ln⁡3\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 3}(3-e^x)\,dx \\ &= \Big[3x-e^x\Big]_0^{\ln 3}\end{aligned}

הגרף מעל הציר בקטע

=(3ln⁡3−3)−(0−1)=3ln⁡3−2≈1.30=(3\ln 3-3)-(0-1)=3\ln 3-2\approx 1.30

מציבים: eln⁡3=3e^{\ln 3}=3, e0=1e^0=1

y=3−exy=3-e^x ברביע הראשון
y = 3 − eˣxyln32
השטח האפור מוגבל בין הגרף לשני הצירים. הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=ln⁡3x=\ln 3.

בדוגמה, למה הגבול התחתון הוא 00?

להציג את התשובה והפתרון

כי השטח מוגבל גם על ידי ציר ה-yy, שהוא הישר x=0x=0.

אנך לציר ה-xx

בשאלות רבות כתוב: «דרך הנקודה AA העבירו אנך לציר ה-xx». האנך הוא ישר מאונך לציר ה-xx, כלומר x=xAx=x_A. הוא סוגר את השטח מצד אחד.

f(x)=e2x−1f(x)=e^{2x}-1, והנקודה AA על הגרף, עם xA=1x_A=1

דרך AA העבירו אנך לציר ה-xx. מחשבים את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה-xx והאנך.

e2x−1=0 ⇒ x=0\begin{aligned}e^{2x}-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

הגבול השני: החיתוך עם ציר ה-xx

S=∫01(e2x−1) dx=[12e2x−x]01\begin{aligned}S &= \int_0^1 (e^{2x}-1)\,dx \\ &= \Big[\frac{1}{2}e^{2x}-x\Big]_0^1\end{aligned}

הגרף מעל הציר כאשר x>0x>0

=(e22−1)−12=e22−1.5≈2.19=\left(\frac{e^2}{2}-1\right)-\frac{1}{2}=\frac{e^2}{2}-1.5\approx 2.19

מציבים

האנך דרך AA
y = e²ˣ − 1xy1A
האנך לציר ה-xx דרך AA הוא הישר x=1x=1. השטח האפור: בין הגרף, ציר ה-xx והאנך. (הסרטוט מכווץ לגובה.)

שטח הוא תמיד חיובי. אם יצא לכם אינטגרל שלילי, הגרף מתחת לציר: השטח הוא המספר בלי המינוס.

אינטגרל אחד על פני חיתוך.

S=∫02(ex−2) dx=e2−5≈2.39\begin{aligned}S &= \int_0^2 (e^x-2)\,dx \\ &= e^2-5\approx 2.39\end{aligned}
S=∫ln⁡22(ex−2) dx−∫0ln⁡2(ex−2) dx≈3.16S=\int_{\ln 2}^{2}(e^x-2)\,dx-\int_0^{\ln 2}(e^x-2)\,dx\approx 3.16

החלק שמתחת לציר מחסר מהחלק שמעליו. חותכים ב-x=ln⁡2x=\ln 2 ומחשבים כל חלק לבד.

תרגילים

תרגיל 1

y = eˣxy2

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=exf(x)=e^x, הצירים והישר x=2x=2. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.39

הפתרון:

ex>0e^x>0

הגרף כולו מעל ציר ה-xx

S=∫02ex dx=e2−e0=e2−1≈6.39\begin{aligned}S &= \int_0^2 e^x\,dx \\ &= e^2-e^0 \\ &= e^2-1\approx 6.39\end{aligned}

עליון פחות תחתון

הגרף של exe^x לא חותך את ציר ה-xx, ולכן אין צורך לחלק. אבל F(0)=e0=1F(0)=e^0=1, לא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=4−exf(x)=4-e^x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff ושני הצירים, ברביע הראשון. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.55

הפתרון:

4−ex=0 ⇒ x=ln⁡4\begin{aligned}4-e^x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 4\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

S=[4x−ex]0ln⁡4=(4ln⁡4−4)−(0−1)\begin{aligned}S &= \Big[4x-e^x\Big]_0^{\ln 4} \\ &= (4\ln 4-4)-(0-1)\end{aligned}

מציבים

=4ln⁡4−3≈2.55=4\ln 4-3\approx 2.55

התוצאה

הגבול העליון הוא נקודת החיתוך ln⁡4\ln 4, והתחתון הוא ציר ה-yy. ובגבול התחתון −e0=−1-e^0=-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איפה הגרף של f(x)=e2x−5f(x)=e^{2x}-5 חותך את ציר ה-xx?

  1. x=2ln⁡5x=2\ln 5
  2. x=12ln⁡5x=\frac{1}{2}\ln 5
  3. x=ln⁡52x=\ln\frac{5}{2}
  4. x=ln⁡5x=\ln 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=12ln⁡5x=\frac{1}{2}\ln 5

הפתרון:

e2x=5 ⇒ 2x=ln⁡5\begin{aligned}e^{2x} &= 5 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= \ln 5\end{aligned}

לוקחים ln⁡\ln

x=12ln⁡5≈0.80x=\frac{1}{2}\ln 5\approx 0.80

מחלקים ב-22

הנכונה: 12ln⁡5\frac{1}{2}\ln 5. ln⁡52\ln\frac{5}{2} מחלקת את ה-55 במקום את המעריך. ln⁡5\ln 5 שוכחת את ה-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

y = 1 − eˣxy1

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=1−exf(x)=1-e^x, ציר ה-xx והישר x=1x=1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.72

הפתרון:

1−ex=0 ⇒ x=0\begin{aligned}1-e^x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

החיתוך: הגבול השני

0<x<1: 1−ex<00<x<1: \ 1-e^x<0

הגרף מתחת לציר

S=∫01(ex−1) dx=(e−1)−1=e−2≈0.72\begin{aligned}S &= \int_0^1 (e^x-1)\,dx \\ &= (e-1)-1 \\ &= e-2\approx 0.72\end{aligned}

אפס פחות ff

האינטגרל של ff עצמה הוא 2−e≈−0.722-e\approx -0.72: מספר שלילי. השטח הוא 0.720.72.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

האינטגרל ∫02(ex−2) dx\int_0^2 (e^x-2)\,dx שווה לשטח בין הגרף של y=ex−2y=e^x-2 לציר ה-xx, מ-x=0x=0 עד x=2x=2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x<ln⁡2 ⇒ ex−2<0x<\ln 2 \ \Rightarrow \ e^x-2<0

בחלק הראשון הגרף מתחת לציר

∫02(ex−2) dx=e2−5≈2.39≠3.16\int_0^2 (e^x-2)\,dx=e^2-5\approx 2.39 \ne 3.16

החלק השלילי מקטין את האינטגרל

לא נכון. הגרף חותך את הציר ב-x=ln⁡2x=\ln 2, ולכן צריך שני אינטגרלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=2xf(x)=\frac{2}{x}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=4x=4. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.77

הפתרון:

S=∫142x dx=[2ln⁡x]14\begin{aligned}S &= \int_1^4 \frac{2}{x}\,dx \\ &= \Big[2\ln x\Big]_1^4\end{aligned}

הגרף מעל הציר כאשר x>0x>0

=2ln⁡4−0=2ln⁡4≈2.77=2\ln 4-0=2\ln 4\approx 2.77

ln⁡1=0\ln 1=0

הקדומה של 2x\frac{2}{x} היא 2ln⁡x2\ln x, לא ln⁡2x\ln 2x. בגבול 11 מקבלים 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=1x−1f(x)=\frac{1}{x}-1, כאשר x>0x>0. השלימו.

הגרף חותך את ציר ה-xx כאשר x=x= ____ ; f(0.5)=f(0.5)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הגרף חותך את ציר ה-xx כאשר x=x= 1 ; f(0.5)=f(0.5)= 1

הפתרון:

1x=1 ⇒ x=1\begin{aligned}\frac{1}{x} &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך

f(0.5)=2−1=1\begin{aligned}f(0.5) &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

נקודת בדיקה

f(0.5)>0f(0.5)>0, ולכן בין x=0.5x=0.5 ל-x=1x=1 הגרף מעל ציר ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=1x−1f(x)=\frac{1}{x}-1. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx והישר x=0.5x=0.5. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.19

הפתרון:

f(1)=0f(1)=0

הגבול השני: החיתוך עם הציר

S=∫0.51(1x−1)dx=[ln⁡x−x]0.51\begin{aligned}S &= \int_{0.5}^1 \left(\frac{1}{x}-1\right)dx \\ &= \Big[\ln x-x\Big]_{0.5}^1\end{aligned}

הגרף מעל הציר בקטע

=(0−1)−(ln⁡0.5−0.5)=ln⁡2−0.5≈0.19=(0-1)-(\ln 0.5-0.5)=\ln 2-0.5\approx 0.19

−ln⁡0.5=ln⁡2-\ln 0.5=\ln 2

הגבולות הם 0.50.5 (הישר) ו-11 (החיתוך). את ln⁡0.5\ln 0.5 כדאי לכתוב כ-−ln⁡2-\ln 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו את האינטגרלים: מתי האינטגרל שווה לשטח, ומתי למינוס השטח?

  • שווה לשטח
  • שווה למינוס השטח
  • ∫ln⁡21(ex−2) dx\int_{\ln 2}^{1} (e^x-2)\,dx
  • ∫0ln⁡2(ex−2) dx\int_0^{\ln 2} (e^x-2)\,dx
  • ∫01(ex−3) dx\int_0^1 (e^x-3)\,dx
  • ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx
  • ∫121x dx\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx
  • ∫23(1x−1)dx\int_2^3 \left(\frac{1}{x}-1\right)dx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∫01ex dx\int_0^1 e^x\,dx — שווה לשטח · ∫01(ex−3) dx\int_0^1 (e^x-3)\,dx — שווה למינוס השטח · ∫121x dx\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx — שווה לשטח · ∫23(1x−1)dx\int_2^3 \left(\frac{1}{x}-1\right)dx — שווה למינוס השטח · ∫0ln⁡2(ex−2) dx\int_0^{\ln 2} (e^x-2)\,dx — שווה למינוס השטח · ∫ln⁡21(ex−2) dx\int_{\ln 2}^{1} (e^x-2)\,dx — שווה לשטח

הפתרון:

0≤x≤1: ex≤e<30\le x\le 1: \ e^x\le e<3

הפונקציה ex−3e^x-3 שלילית

x>1: 1x<1x>1: \ \frac{1}{x}<1

הפונקציה 1x−1\frac{1}{x}-1 שלילית

x<ln⁡2: ex<2x<\ln 2: \ e^x<2

לפני החיתוך ex−2e^x-2 שלילית

השאלה היא תמיד סימן הפונקציה בקטע. בודקים נקודה אחת מתוך הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

y = 4/(x+1)xy3A

נתונה f(x)=4x+1f(x)=\frac{4}{x+1}. הנקודה AA על הגרף, ו-xA=3x_A=3. דרך AA העבירו אנך לציר ה-xx. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה-xx, ציר ה-yy והאנך. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.55

הפתרון:

x=3x=3

האנך דרך A(3,1)A(3,1)

S=∫034x+1 dx=[4ln⁡(x+1)]03\begin{aligned}S &= \int_0^3 \frac{4}{x+1}\,dx \\ &= \Big[4\ln(x+1)\Big]_0^3\end{aligned}

הגרף מעל הציר

=4ln⁡4−4ln⁡1=4ln⁡4≈5.55=4\ln 4-4\ln 1=4\ln 4\approx 5.55

מציבים

האנך הוא הישר x=3x=3, לא y=1y=1. ציר ה-yy נותן את הגבול 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x)=2−exf(x)=2-e^x, ציר ה-xx, ציר ה-yy והישר x=1x=1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.49

הפתרון:

2−ex=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}2-e^x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

חיתוך בתוך הקטע [0,1][0,1]

S1=∫0ln⁡2(2−ex) dx=2ln⁡2−1\begin{aligned}S_1 &= \int_0^{\ln 2}(2-e^x)\,dx \\ &= 2\ln 2-1\end{aligned}

מעל הציר

S2=∫ln⁡21(ex−2) dx=e−4+2ln⁡2\begin{aligned}S_2 &= \int_{\ln 2}^1 (e^x-2)\,dx \\ &= e-4+2\ln 2\end{aligned}

מתחת לציר: אפס פחות ff

S=S1+S2=e−5+4ln⁡2≈0.49\begin{aligned}S &= S_1+S_2 \\ &= e-5+4\ln 2\approx 0.49\end{aligned}

מחברים

החיתוך ln⁡2≈0.69\ln 2\approx 0.69 נמצא בתוך הקטע. אינטגרל אחד מ-00 עד 11 נותן 3−e≈0.283-e\approx 0.28, וזה לא השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת