שטח בין שני גרפים · אינטגרלים של eˣ ו־1/x ושטחים · כיתה י״ב

השטח בין שני גרפים בנוי מרצועות צרות. בכל $x$ , הגובה של הרצועה הוא העליון פחות התחתון.

S=\int_a^b \big(g(x)-f(x)\big)\,dx

כאשר בכל הקטע $g(x)\ge f(x)$ .

למה הגרפים של $e^x$ ו- $3$ מתחלפים דווקא ב- $x=\ln 3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי שם הם שווים: $e^x=3$ נותן $x=\ln 3$ . לפני $\ln 3$ מתקיים $e^x<3$ , ואחריו $e^x>3$ .

נקודת החיתוך — בעזרת $\ln$

משווים $f(x)=g(x)$ . מעבירים את כל ה- $e^x$ לצד אחד, מבודדים אותו, ולוקחים $\ln$ .

השטח בין $f(x)=e^x+1$ , $g(x)=7-e^x$ וציר ה- $y$

קודם החיתוך, אחר כך מי למעלה, ורק אז האינטגרל.

\begin{aligned}e^x+1 &= 7-e^x \ \Rightarrow \ 2e^x \\ &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 3\end{aligned}

החיתוך

\begin{aligned}g(0) &= 6>f(0) \\ &= 2\end{aligned}

נקודת בדיקה: $g$ למעלה

\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 3}\big((7-e^x)-(e^x+1)\big)dx \\ &= \int_0^{\ln 3}(6-2e^x)\,dx\end{aligned}

מפשטים לפני האינטגרל

\begin{aligned}\Big[6x-2e^x\Big]_0^{\ln 3} &= (6\ln 3-6)-(0-2) \\ &= 6\ln 3-4\approx 2.59\end{aligned}

מציבים

השטח בין שני הגרפים וציר ה-

y

הגרפים נחתכים ב-

x=\ln 3

. משמאל לחיתוך,

y=7-e^x

למעלה.

בדוגמה, מה היה יוצא אם הייתם מחשבים $\int_0^{\ln 3}(f-g)\,dx$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$4-6\ln 3\approx -2.59$ : אותו מספר עם מינוס. סדר הפוך נותן מספר שלילי, ושטח לא יכול להיות שלילי.

ישר וגרף של $\frac{1}{x}$

השטח בין $y=\frac{4}{x}$ לבין $y=5-x$

כאן החיתוך נותן משוואה ממעלה שנייה, ובשטח יוצא $\ln$ .

\begin{aligned}\frac{4}{x} &= 5-x \ \Rightarrow \ x^2-5x+4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

כופלים ב- $x$

\begin{aligned}x &= 2: \ 5-2 \\ &= 3>\frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

הישר למעלה

\begin{aligned}S &= \int_1^4 \left(5-x-\frac{4}{x}\right)dx \\ &= \Big[5x-\frac{x^2}{2}-4\ln x\Big]_1^4\end{aligned}

העליון פחות התחתון

=(20-8-4\ln 4)-(5-0.5)=7.5-4\ln 4\approx 1.95

מציבים: $\ln 1=0$

ישר וגרף של

\frac{4}{x}

הגרפים נחתכים ב-

x=1

וב-

x=4

. ביניהם הישר למעלה.

מי למעלה? בוחרים $x$ אחד בתוך הקטע ומציבים בשתי הפונקציות. הגדולה היא העליונה בכל הקטע, עד החיתוך הבא.

שתי טעויות בשטח בין גרפים.

S=\int_0^{\ln 3}\big((e^x+1)-(7-e^x)\big)dx

S=\int_0^{\ln 3}\big((7-e^x)-(e^x+1)\big)dx

העליון פחות התחתון. בסדר הפוך יוצא מספר שלילי.

\begin{aligned}\int_{-1}^{1}(e^x-e^{-x})\,dx &= 0 \ \Rightarrow \ S \\ &= 0\end{aligned}

S=2\int_0^1 (e^x-e^{-x})\,dx\approx 2.17

הגרפים נחתכים ב- $x=0$ , באמצע הקטע. שני החלקים מתבטלים באינטגרל, אבל לא בשטח.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את השטח בין הגרפים של $y=e^{2x}$ ו- $y=e^x$ , מ- $x=0$ עד $x=\ln 2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

x>0: \ e^{2x}>e^x

נקודת בדיקה: $e^2>e$

\begin{aligned}S &= \Big[\frac{1}{2}e^{2x}-e^x\Big]_0^{\ln 2} \\ &= (2-2)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\end{aligned}

$e^{2\ln 2}=4$

=0.5

התוצאה

בגבול העליון $\frac{1}{2}\cdot 4-2=0$ , אבל זה לא אומר שהשטח $0$ : מחסרים את $F(0)=-\frac{1}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונות $f(x)=e^x$ ו- $g(x)=3$ . איזה גרף נמצא למעלה בקטע $0<x<\ln 3$ ?

הגרפים מתלכדים
הגרף של $f$
הגרף של $g$
זה משתנה בתוך הקטע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הגרף של $g$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= 1<g(0) \\ &= 3\end{aligned}

נקודת בדיקה

\begin{aligned}e^x &= 3 \Leftrightarrow x \\ &= \ln 3\end{aligned}

החיתוך היחיד הוא בקצה

הנכונה: $g$ . בתוך הקטע אין חיתוך, ולכן נקודת בדיקה אחת מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של $y=e^x$ ו- $y=6-e^x$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.1

הפתרון:

\begin{aligned}e^x &= 6-e^x \ \Rightarrow \ 2e^x \\ &= 6\end{aligned}

מעבירים אגפים

\begin{aligned}e^x &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 3\approx 1.10\end{aligned}

לוקחים $\ln$

קודם מבודדים את $e^x$ , ורק אז לוקחים $\ln$ . מי שכתב $x=\ln 6$ לא העביר את $e^x$ השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $y=e^x$ ו- $y=e^{-x}$ והישר $x=1$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.09

הפתרון:

\begin{aligned}e^x &= e^{-x} \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

החיתוך: הגבול השני

x=1: \ e>e^{-1}

הגרף של $e^x$ למעלה

\begin{aligned}S &= \Big[e^x+e^{-x}\Big]_0^1 \\ &= \left(e+\frac{1}{e}\right)-2\approx 1.09\end{aligned}

הקדומה של $-e^{-x}$ היא $e^{-x}$

הקדומה של $e^{-x}$ היא $-e^{-x}$ . לכן הקדומה של $e^x-e^{-x}$ היא $e^x+e^{-x}$ : שני סימנים מתהפכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של $y=\frac{3}{x}$ לבין הישר $y=4-x$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{3}{x} &= 4-x \ \Rightarrow \ x^2-4x+3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

החיתוכים

x=2: \ 2>1.5

הישר למעלה

\begin{aligned}S &= \Big[4x-\frac{x^2}{2}-3\ln x\Big]_1^3 \\ &= (7.5-3\ln 3)-3.5 \\ &= 4-3\ln 3\approx 0.70\end{aligned}

מציבים

הגבולות באים מהחיתוכים, לא מהצירים. ובגבול $1$ : $\ln 1=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מוצאים את החיתוך של $f(x)=e^x$ ו- $g(x)=2e^{-x}+1$ . מציבים $t=e^x$ וכופלים ב- $t$ . השלימו.

$t^2-t-$ ____ $=0$ ; הפתרון החיובי: $e^x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $t^2-t-$ 2 $=0$ ; הפתרון החיובי: $e^x=$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}e^x &= \frac{2}{e^x}+1 \ \Rightarrow \ t^2 \\ &= 2+t\end{aligned}

כופלים ב- $t=e^x$

\begin{aligned}t^2-t-2 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2 \\ \ t &= -1\end{aligned}

משוואה ממעלה שנייה

\begin{aligned}e^x &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

$e^x>0$ תמיד

הפתרון $t=-1$ נפסל: $e^x$ חיובי לכל $x$ . נשאר $x=\ln 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונות $f(x)=e^x$ ו- $g(x)=2e^{-x}+1$ . הגרפים נחתכים ב- $x=\ln 2$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי שני הגרפים וציר ה- $y$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.69

הפתרון:

\begin{aligned}g(0) &= 3>f(0) \\ &= 1\end{aligned}

$g$ למעלה

\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 2}(2e^{-x}+1-e^x)\,dx \\ &= \Big[-2e^{-x}+x-e^x\Big]_0^{\ln 2}\end{aligned}

פונקציה קדומה

=(-1+\ln 2-2)-(-2-1)=\ln 2\approx 0.69

$e^{-\ln 2}=\frac{1}{2}$

הקדומה של $2e^{-x}$ היא $-2e^{-x}$ . והחישוב $e^{-\ln 2}=\frac{1}{2}$ הוא המקום שבו רוב הטעויות קורות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$\int_{-1}^{1}(e^x-e^{-x})\,dx=0$ . לכן השטח בין הגרפים של $y=e^x$ ו- $y=e^{-x}$ בקטע $[-1,1]$ הוא $0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\Big[e^x+e^{-x}\Big]_{-1}^{1}=0

האינטגרל אכן $0$

S=2\left(e+\frac{1}{e}-2\right)\approx 2.17

אבל הגרפים נחתכים ב- $x=0$

לא נכון. משמאל ל- $0$ הגרף של $e^{-x}$ למעלה, ומימין הגרף של $e^x$ . האינטגרל מחסר חלק מחלק; השטח מחבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

איזה אינטגרל נותן את השטח המוגבל בין $y=\frac{4}{x}$ לבין $y=5-x$ ?

$\int_1^4 \left(5-x-\frac{4}{x}\right)dx$
$\int_0^4 \left(5-x-\frac{4}{x}\right)dx$
$\int_1^4 \left(\frac{4}{x}-5+x\right)dx$
$\int_1^5 \left(5-x-\frac{4}{x}\right)dx$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\int_1^4 \left(5-x-\frac{4}{x}\right)dx$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

החיתוכים

x=2: \ 3>2

הישר למעלה

הנכונה היא הראשונה. השנייה הפוכה. בשלישית $\frac{4}{x}$ לא מוגדרת ב- $0$ . ו- $5$ הוא חיתוך הישר עם ציר ה- $x$ , לא עם הגרף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מצאו את השורה השגויה: השטח בין $y=e^x$ , $y=5-e^x$ וציר ה- $y$ .

\begin{aligned}e^x &= 5-e^x \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2.5\end{aligned}

S=\int_0^{\ln 2.5}\big(e^x-(5-e^x)\big)dx

S=5\ln 2.5-3\approx 1.58

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S=\int_0^{\ln 2.5}\big(e^x-(5-e^x)\big)dx$ → $S=\int_0^{\ln 2.5}\big((5-e^x)-e^x\big)dx$

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 0: \ 5-1 \\ &= 4>1\end{aligned}

הישר $5-e^x$ למעלה

\Big[5x-2e^x\Big]_0^{\ln 2.5}=5\ln 2.5-5+2

החישוב הנכון

השורה השנייה הפוכה: העליון הוא $5-e^x$ . השורה השלישית נכונה, ולכן היא לא יכולה לבוא מהשורה השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=e^{2x}$ , הישר $y=4$ וציר ה- $y$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.27

הפתרון:

\begin{aligned}e^{2x} &= 4 \ \Rightarrow \ 2x \\ &= \ln 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

החיתוך

\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 2}(4-e^{2x})\,dx \\ &= \Big[4x-\frac{1}{2}e^{2x}\Big]_0^{\ln 2}\end{aligned}

הישר למעלה

=(4\ln 2-2)-\left(0-\frac{1}{2}\right)=4\ln 2-1.5\approx 1.27

מציבים

$\frac{1}{2}\ln 4=\ln 2$ . ובגבול התחתון: $-\frac{1}{2}e^0=-\frac{1}{2}$ , ולא $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

נקודת החיתוך — בעזרת ln⁡\lnln

ישר וגרף של 1x\frac{1}{x}x1​

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

נקודת החיתוך — בעזרת $\ln$

ישר וגרף של $\frac{1}{x}$