השטח מתחת לגרף הנגזרת

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בסעיף האחרון של שאלות החקירה מבקשים לעתים קרובות שטח מתחת לגרף של הנגזרת f′f'.

לא צריך לחפש פונקציה קדומה. ff עצמה היא פונקציה קדומה של f′f'.

∫abf′(x) dx=f(b)−f(a)\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)

איפה הגרף של f′(x)=2e2x−4exf'(x)=2e^{2x}-4e^x מתחת לציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

כאשר x<ln⁡2x<\ln 2. שם ff יורדת. פותרים 2ex(ex−2)<02e^x(e^x-2)<0: ex<2e^x<2.

השטח מתחת לגרף של f′f'

השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx וציר ה-yy

עבור f(x)=e2x−4exf(x)=e^{2x}-4e^x. בקטע [0,ln⁡2][0,\ln 2] הגרף של f′f' מתחת לציר.

f′(x)=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

הגבול השני

S=−∫0ln⁡2f′(x) dx=f(0)−f(ln⁡2)\begin{aligned}S &= -\int_0^{\ln 2} f'(x)\,dx \\ &= f(0)-f(\ln 2)\end{aligned}

מתחת לציר: מחליפים את הסדר

f(0)=1−4=−3f(ln⁡2)=4−8=−4\begin{aligned}f(0) &= 1-4 \\ &= -3 \qquad f(\ln 2) \\ &= 4-8 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים ב-ff, לא ב-f′f'

S=−3−(−4)=1\begin{aligned}S &= -3-(-4) \\ &= 1\end{aligned}

התוצאה

בלי לחשב: האם השטח בין x=ln⁡2x=\ln 2 ל-x=1x=1 שווה ל-f(1)−f(ln⁡2)f(1)-f(\ln 2) או ל-f(ln⁡2)−f(1)f(\ln 2)-f(1)?

להציג את התשובה והפתרון

f(1)−f(ln⁡2)f(1)-f(\ln 2). שם f′>0f'>0: ff עולה, ולכן f(1)>f(ln⁡2)f(1)>f(\ln 2), וההפרש חיובי.

כשהנגזרת קשה לאינטגרל

לפעמים f′f' היא שבר שאין לנו כלל עבורו, כמו 2xx2+1\frac{2x}{x^2+1}. אבל אם ff נתונה, לא צריך כלל.

f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1): השטח מתחת לגרף של f′f', מ-x=0x=0 עד x=2x=2

בקטע הזה f′(x)=2xx2+1≥0f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}\ge 0.

∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)\int_0^2 f'(x)\,dx=f(2)-f(0)

האינטגרל של הנגזרת

=ln⁡5−ln⁡1=ln⁡5≈1.61=\ln 5-\ln 1=\ln 5\approx 1.61

מציבים ב-ff

הסימן של f′f' קובע. איפה ש-ff עולה, השטח הוא f(b)−f(a)f(b)-f(a). איפה ש-ff יורדת, הוא f(a)−f(b)f(a)-f(b).

שתי טעויות בשטח מתחת ל-f′f'.

S=f′(ln⁡2)−f′(0)S=f'(\ln 2)-f'(0)
S=f(0)−f(ln⁡2)S=f(0)-f(\ln 2)

מציבים ב-ff, הפונקציה הקדומה, לא בנגזרת.

S=f(ln⁡2)−f(0)=−1\begin{aligned}S &= f(\ln 2)-f(0) \\ &= -1\end{aligned}
S=f(0)−f(ln⁡2)=1\begin{aligned}S &= f(0)-f(\ln 2) \\ &= 1\end{aligned}

בקטע הזה f′f' מתחת לציר. שטח לא יכול להיות שלילי: הופכים את הסדר.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=ex+x2f(x)=e^x+x^2. חשבו את ∫01f′(x) dx\int_0^1 f'(x)\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.72

הפתרון:

∫01f′(x) dx=f(1)−f(0)\int_0^1 f'(x)\,dx=f(1)-f(0)

האינטגרל של הנגזרת

=(e+1)−(1+0)=e≈2.72=(e+1)-(1+0)=e\approx 2.72

מציבים ב-ff

אין צורך לגזור ואז לחפש קדומה: ff כבר כאן. ובגבול 00: f(0)=e0=1f(0)=e^0=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

למה שווה ∫abf′(x) dx\int_a^b f'(x)\,dx?

  1. f(a)−f(b)f(a)-f(b)
  2. f(b)−f(a)f(b)-f(a)
  3. f′(b)⋅(b−a)f'(b)\cdot(b-a)
  4. f′(b)−f′(a)f'(b)-f'(a)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב f(b)−f(a)f(b)-f(a)

הפתרון:

(f(x))′=f′(x)\big(f(x)\big)'=f'(x)

ff היא פונקציה קדומה של f′f'

הנכונה: f(b)−f(a)f(b)-f(a). ff היא הפונקציה הקדומה של f′f', ובה מציבים. הצבה ב-f′f' היא הטעות הנפוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=ln⁡(x2+3)f(x)=\ln(x^2+3). חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=1x=1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.29

הפתרון:

f′(x)=2xx2+3=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x}{x^2+3} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

הגבול השני

0<x<1: f′(x)>00<x<1: \ f'(x)>0

הגרף מעל הציר

S=f(1)−f(0)=ln⁡4−ln⁡3=ln⁡43≈0.29\begin{aligned}S &= f(1)-f(0) \\ &= \ln 4-\ln 3 \\ &= \ln\frac{4}{3}\approx 0.29\end{aligned}

מציבים ב-ff

הגבול השמאלי הוא החיתוך של f′f' עם הציר, x=0x=0. ואת 2xx2+3\frac{2x}{x^2+3} לא צריך לבצע עליו אינטגרל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1). כדי לחשב את ∫03f′(x) dx\int_0^3 f'(x)\,dx, צריך קודם למצוא את f′(x)f'(x).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∫03f′(x) dx=f(3)−f(0)=ln⁡10−ln⁡1=ln⁡10\begin{aligned}\int_0^3 f'(x)\,dx &= f(3)-f(0) \\ &= \ln 10-\ln 1 \\ &= \ln 10\end{aligned}

מציבים ישר ב-ff

לא נכון. התשובה היא f(3)−f(0)=ln⁡10f(3)-f(0)=\ln 10. את f′f' צריך רק כדי לדעת איפה הגרף שלה מעל הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

−2−11xyf'y = 0O

נתונה f(x)=e2x−2exf(x)=e^{2x}-2e^x. בסרטוט הגרף של f′f'. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=−1x=-1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

f′(x)=2ex(ex−1)=0 ⇒ x=0\begin{aligned}f'(x) &= 2e^x(e^x-1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

החיתוך עם הציר

−1<x<0: f′(x)<0-1<x<0: \ f'(x)<0

מתחת לציר

S=f(−1)−f(0)=(e−2−2e−1)−(1−2)\begin{aligned}S &= f(-1)-f(0) \\ &= (e^{-2}-2e^{-1})-(1-2)\end{aligned}

מציבים ב-ff

=e−2−2e−1+1≈0.40=e^{-2}-2e^{-1}+1\approx 0.40

התוצאה

הגרף של f′f' מתחת לציר, ולכן השטח הוא f(−1)−f(0)f(-1)-f(0) ולא f(0)−f(−1)≈−0.40f(0)-f(-1)\approx -0.40.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x, כאשר x>0x>0. השלימו.

f′(x)=0f'(x)=0 כאשר x=x= ____ ; f(1)=f(1)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(x)=0f'(x)=0 כאשר x=x= 1 ; f(1)=f(1)= 1

הפתרון:

f′(x)=1−1x=0 ⇒ x=1\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{x} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

הנגזרת

f(1)=1−ln⁡1=1\begin{aligned}f(1) &= 1-\ln 1 \\ &= 1\end{aligned}

ln⁡1=0\ln 1=0

ב-x=1x=1 יש ל-ff מינימום: משמאל f′<0f'<0, מימין f′>0f'>0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x−ln⁡xf(x)=x-\ln x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=ex=e. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.72

הפתרון:

f′(1)=0f'(1)=0

הגבול השמאלי

1<x<e: f′(x)>01<x<e: \ f'(x)>0

מעל הציר

S=f(e)−f(1)=(e−1)−1=e−2≈0.72\begin{aligned}S &= f(e)-f(1) \\ &= (e-1)-1 \\ &= e-2\approx 0.72\end{aligned}

ln⁡e=1\ln e=1

הגבולות: החיתוך x=1x=1 והישר x=ex=e. מי שהתחיל מ-x=0x=0 נתקע: ln⁡0\ln 0 לא מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=e2x−4exf(x)=e^{2x}-4e^x, עם מינימום ב-x=ln⁡2x=\ln 2. לכל קטע [a,b][a,b]: למה שווה השטח בין הגרף של f′f' לציר ה-xx?

  • f(b)−f(a)f(b)-f(a)
  • f(a)−f(b)f(a)-f(b)
  • [−1, 0][-1,\,0]
  • [−2, ln⁡2][-2,\,\ln 2]
  • [ln⁡2, 1][\ln 2,\,1]
  • [ln⁡2, 3][\ln 2,\,3]
  • [0, ln⁡2][0,\,\ln 2]
  • [1, 2][1,\,2]
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: [ln⁡2, 1][\ln 2,\,1] — f(b)−f(a)f(b)-f(a) · [0, ln⁡2][0,\,\ln 2] — f(a)−f(b)f(a)-f(b) · [1, 2][1,\,2] — f(b)−f(a)f(b)-f(a) · [−1, 0][-1,\,0] — f(a)−f(b)f(a)-f(b) · [ln⁡2, 3][\ln 2,\,3] — f(b)−f(a)f(b)-f(a) · [−2, ln⁡2][-2,\,\ln 2] — f(a)−f(b)f(a)-f(b)

הפתרון:

x>ln⁡2: f′>0x>\ln 2: \ f'>0

ff עולה

x<ln⁡2: f′<0x<\ln 2: \ f'<0

ff יורדת

מימין למינימום ff עולה, ולכן f(b)>f(a)f(b)>f(a). משמאל לו ff יורדת, וההפרש מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון: f(1)=2f(1)=2, f(3)=7f(3)=7, ו-f′(x)>0f'(x)>0 לכל xx בקטע [1,3][1,3]. מהו השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישרים x=1x=1, x=3x=3?

  1. 3.53.5
  2. 99
  3. 55
  4. −5-5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 55

הפתרון:

S=∫13f′(x) dx=f(3)−f(1)\begin{aligned}S &= \int_1^3 f'(x)\,dx \\ &= f(3)-f(1)\end{aligned}

הגרף של f′f' מעל הציר

=7−2=5=7-2=5

מציבים

הנכונה: 55. לא צריך לדעת מה ff: מספיקים שני ערכים שלה. 99 מחבר במקום לחסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=2x−exf(x)=2x-e^x. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f' והצירים, ברביע הראשון. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.39

הפתרון:

f′(x)=2−ex=0 ⇒ x=ln⁡2\begin{aligned}f'(x) &= 2-e^x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 2\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx

0<x<ln⁡2: f′(x)>00<x<\ln 2: \ f'(x)>0

מעל הציר

S=f(ln⁡2)−f(0)=(2ln⁡2−2)−(0−1)=2ln⁡2−1≈0.39\begin{aligned}S &= f(\ln 2)-f(0) \\ &= (2\ln 2-2)-(0-1) \\ &= 2\ln 2-1\approx 0.39\end{aligned}

מציבים ב-ff

הגבולות: ציר ה-yy (x=0x=0) והחיתוך x=ln⁡2x=\ln 2. f(0)=−e0=−1f(0)=-e^0=-1, ולא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה f(x)=ln⁡(x2−2x+5)f(x)=\ln(x^2-2x+5). חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx וציר ה-yy. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.22

הפתרון:

f′(x)=2x−2x2−2x+5=0 ⇒ x=1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x-2}{x^2-2x+5} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך

0<x<1: f′(x)<00<x<1: \ f'(x)<0

מתחת לציר

S=f(0)−f(1)=ln⁡5−ln⁡4=ln⁡1.25≈0.22\begin{aligned}S &= f(0)-f(1) \\ &= \ln 5-\ln 4 \\ &= \ln 1.25\approx 0.22\end{aligned}

מציבים ב-ff

את השבר 2x−2x2−2x+5\frac{2x-2}{x^2-2x+5} אין צורך לבצע עליו אינטגרל: מציבים ב-ff. והגרף מתחת לציר, ולכן f(0)−f(1)f(0)-f(1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת