פותרים יחד · אינטגרלים של eˣ ו־1/x ושטחים · כיתה י״ב

ארבע שאלות בסגנון השאלות על $e$ ועל $\ln$ בבגרות: שטח מתחת לגרף של $f'$ אחרי חקירה, שטח בין שני גרפים עם הצבה, שטח עם אנך, ושטח מתחת ל- $f'$ כש- $f$ עם $\ln$ . כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה.

בכל שאלת שטח, לפני כל חישוב: איפה החיתוכים, ומי למעלה. שני הדברים האלה קובעים את הגבולות ואת הסימן.

1 — חקירה, ואחר כך שטח מתחת ל- $f'$

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-6e^x$ . א. מצאו את נקודת הקיצון של $f$ וקבעו את סוגה. ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם הצירים. ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ .

f(x)=e^{2x}-6e^x

לחצו «להתחיל». סעיף א נותן את מה שסעיף ג צריך: את המקום שבו $f'$ מתאפסת.

א. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x}-6e^x \\ &= 2e^x\left(e^x-3\right)\end{aligned}

מוציאים גורם משותף $2e^x$ .

א. קיצון

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ e^x \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 3\end{aligned}

$2e^x>0$ תמיד, ולכן רק הסוגריים מתאפסים.

א. סוג

\begin{aligned}f'(0) &= -4<0 \qquad f'(2) \\ &= 2e^4-6e^2>0\end{aligned}

מינימום: $f(\ln 3)=9-18=-9$ . הנקודה $(\ln 3,\,-9)$ .

ב. צירים

\begin{aligned}f(0) &= 1-6 \\ &= -5 \qquad e^x\left(e^x-6\right) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 6\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,\,-5)$ . עם ציר ה- $x$ : $(\ln 6,\,0)$ .

ג. הגבולות

0<x<\ln 3: \ f'(x)<0

ציר ה- $y$ נותן $x=0$ , והחיתוך של $f'$ עם הציר נותן $x=\ln 3$ . בין שניהם הגרף של $f'$ מתחת לציר.

ג. השטח

\begin{aligned}S &= f(0)-f(\ln 3) \\ &= -5-(-9) \\ &= 4\end{aligned}

האינטגרל של $f'$ הוא $f$ . מתחת לציר, הופכים את הסדר.

סעיף א נתן את הגבול של סעיף ג, וסעיף ב נתן את $f(0)$ . לא חיפשנו אף פונקציה קדומה.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה בסעיף ג לא חישבנו $\int (2e^{2x}-6e^x)\,dx$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי הקדומה של $f'$ היא $f$ , והיא נתונה. החישוב היה נותן $e^{2x}-6e^x$ — את $f$ עצמה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שטח בין שני גרפים, עם הצבה

פעילות אינטראקטיבית

שני גרפים עם $e^x$

נתונות הפונקציות $f(x)=e^x$ ו- $g(x)=6-5e^{-x}$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים. ב. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.

איך פותרים את $e^x=6-5e^{-x}$ ?

מציבים $t=e^x$ וכופלים ב- $t$

להציג את התשובה והפתרון

$e^{-x}=\frac{1}{t}$ , והכפל ב- $t$ נותן משוואה ממעלה שנייה.

לוקחים $\ln$ לשני האגפים

להציג את התשובה והפתרון

$\ln(6-5e^{-x})$ לא מתפרק: $\ln$ של סכום הוא לא סכום של $\ln$ .

\begin{aligned}t^2-6t+5 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= \ln 5\end{aligned}

שתי נקודות חיתוך: $(0,\,1)$ ו- $(\ln 5,\,5)$ .

מי למעלה בין $x=0$ ל- $x=\ln 5$ ?

$g$ : ב- $x=1$ הוא בערך $4.16$ , ו- $f$ בערך $2.72$

להציג את התשובה והפתרון

נקודת בדיקה אחת מתוך הקטע מספיקה.

$f$ , כי $e^x$ גדלה בלי גבול

להציג את התשובה והפתרון

רק מחוץ לקטע. בין החיתוכים $g$ למעלה.

\begin{aligned}g(1) &= 6-\frac{5}{e}\approx 4.16>f(1) \\ &= e\approx 2.72\end{aligned}

העליון: $g$ .

מהי פונקציה קדומה של $g(x)-f(x)=6-5e^{-x}-e^x$ ?

$6x+5e^{-x}-e^x$

להציג את התשובה והפתרון

הקדומה של $-5e^{-x}$ היא $+5e^{-x}$ : המקדם $-1$ הופך סימן.

$6x-5e^{-x}-e^x$

להציג את התשובה והפתרון

גזרו: $(-5e^{-x})'=5e^{-x}$ , ולא $-5e^{-x}$ .

S=\Big[6x+5e^{-x}-e^x\Big]_0^{\ln 5}

בודקים בגזירה לפני שמציבים.

מה יוצא אחרי ההצבה?

$6\ln 5-8$

להציג את התשובה והפתרון

$(6\ln 5+1-5)-(0+5-1)$ .

$6\ln 5-4$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם לחסר את הערך בגבול $0$ : $5-1=4$ .

(6\ln 5+1-5)-(0+5-1)=6\ln 5-8\approx 1.66

$e^{-\ln 5}=\frac{1}{5}$ , ולכן $5e^{-\ln 5}=1$ .

להציג את התשובה והפתרון

השטח: $6\ln 5-8\approx 1.66$ . מי שלקח $\ln$ לשני האגפים נתקע בסעיף א. מי שכתב $-5e^{-x}$ בקדומה קיבל תשובה שלילית.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשאלה, למה נפסל הפתרון $t=-1$ , אם היה מופיע?

להציג את התשובה והפתרון

כי $t=e^x$ , ו- $e^x>0$ לכל $x$ . ערך שלילי של $t$ לא נותן שום $x$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — גרף של $\frac{c}{mx+b}$ ואנך

פעילות אינטראקטיבית

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{2x-1}$ , כאשר $x>\frac{1}{2}$ . א. מצאו את האסימפטוטות של $f$ . ב. הנקודה $A$ על הגרף של $f$ , ו- $x_A=3$ . מצאו את $y_A$ . ג. דרך $A$ העבירו אנך לציר ה- $x$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ , האנך והישר $x=1$ .

\begin{aligned}f(x) &= \frac{4}{2x-1} \\ \quad x>\frac{1}{2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המכנה ליניארי, ולכן בסעיף ג הקדומה תהיה $\ln$ .

א. אנכית

\begin{aligned}2x-1 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

המכנה מתאפס, והמונה $4\ne 0$ .

א. אופקית

x\to\infty: \ \frac{4}{2x-1}\to 0 \ \Rightarrow \ y=0

ציר ה- $x$ הוא האסימפטוטה האופקית.

ב. הנקודה

\begin{aligned}f(3) &= \frac{4}{5} \\ &= 0.8 \ \Rightarrow \ A(3,\,0.8)\end{aligned}

מציבים $x=3$ .

ג. הגבולות

1\le x\le 3 , \quad f(x)>0

האנך דרך $A$ הוא $x=3$ . בקטע, הגרף מעל ציר ה- $x$ .

ג. קדומה

\begin{aligned}\int \frac{4}{2x-1}\,dx &= 4\cdot\frac{1}{2}\ln(2x-1) \\ &= 2\ln(2x-1)\end{aligned}

מחלקים במקדם $2$ . בקטע $2x-1>0$ .

ג. השטח

\begin{aligned}S &= 2\ln 5-2\ln 1 \\ &= 2\ln 5\approx 3.22\end{aligned}

$\ln 1=0$ .

האנך סגר את השטח מימין, והישר $x=1$ משמאל. האסימפטוטה $y=0$ אמרה שהגרף לא חותך את הציר.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם אפשר היה לחשב את השטח מ- $x=\frac{1}{2}$ במקום מ- $x=1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. ב- $x=\frac{1}{2}$ יש אסימפטוטה אנכית: $f$ לא מוגדרת שם, ו- $\ln(2x-1)$ לא מוגדר ב- $0$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — שטח מתחת ל- $f'$ כש- $f$ עם $\ln$

פעילות אינטראקטיבית

הנגזרת של $x-2\ln x$

נתונה הפונקציה $f(x)=x-2\ln x$ , כאשר $x>0$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישר $x=1$ .

איפה הגרף של $f'$ חותך את ציר ה- $x$ ?

ב- $x=2$

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x)=1-\frac{2}{x}=0$ נותן $x=2$ .

ב- $x=1$

להציג את התשובה והפתרון

$x=1$ הוא הישר הנתון. $f'(1)=-1\ne 0$ .

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{2}{x} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

הגבולות: $x=1$ ו- $x=2$ .

הגרף של $f'$ בין $1$ ל- $2$ —

מתחת לציר

להציג את התשובה והפתרון

$f'(1.5)=1-\frac{4}{3}<0$ .

מעל הציר

להציג את התשובה והפתרון

בדקו נקודה: $f'(1.5)=-\frac{1}{3}$ .

f'(1.5)=-\frac{1}{3}<0

לכן $f$ יורדת בקטע.

למה שווה השטח?

$f(1)-f(2)$

להציג את התשובה והפתרון

מתחת לציר: הסדר מתהפך.

$f(2)-f(1)$

להציג את התשובה והפתרון

זה האינטגרל, והוא שלילי.

$f'(1)-f'(2)$

להציג את התשובה והפתרון

מציבים בקדומה של $f'$ , כלומר ב- $f$ .

\begin{aligned}S &= f(1)-f(2) \\ &= 1-(2-2\ln 2) \\ &= 2\ln 2-1\approx 0.39\end{aligned}

$f(1)=1-2\ln 1=1$ .

להציג את התשובה והפתרון

השטח: $2\ln 2-1\approx 0.39$ . לא חיפשנו קדומה של $1-\frac{2}{x}$ : היא $f$ , והיא נתונה.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם $f$ יורדת בכל הקטע $0<x<2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כן. $f'(x)=1-\frac{2}{x}<0$ כאשר $0<x<2$ . ב- $x=2$ יש ל- $f$ מינימום.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 שואלת על הסימן.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=e^{2x}-8e^x$ . מצאו את נקודת הקיצון, וחשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ . השלימו.

נקודת המינימום: $x=\ln$ ____ , $y=$ ____ ; השטח: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודת המינימום: $x=\ln$ 4 , $y=$ -16 ; השטח: 9

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^x\left(e^x-4\right) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \ln 4\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}f(\ln 4) &= 16-32 \\ &= -16\end{aligned}

המינימום

\begin{aligned}S &= f(0)-f(\ln 4) \\ &= (1-8)-(-16) \\ &= 9\end{aligned}

$f'<0$ בין $0$ ל- $\ln 4$

כמו בשאלה 1: הגבולות הם ציר ה- $y$ והמקום שבו $f'$ מתאפסת. מתחת לציר: $f(0)-f(\ln 4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונות $f(x)=e^x$ ו- $g(x)=5-4e^{-x}$ . הגרפים נחתכים ב- $x=0$ וב- $x=\ln 4$ . חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.93

הפתרון:

\begin{aligned}t^2-5t+4 &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 4\end{aligned}

החיתוכים, עם $t=e^x$

g(1)\approx 3.53>f(1)\approx 2.72

$g$ למעלה

\begin{aligned}S &= \Big[5x+4e^{-x}-e^x\Big]_0^{\ln 4} \\ &= (5\ln 4+1-4)-(4-1)\end{aligned}

מציבים

=5\ln 4-6\approx 0.93

התוצאה

הקדומה של $-4e^{-x}$ היא $+4e^{-x}$ . ובגבול $0$ לא מקבלים אפס: $4-1=3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=\frac{6}{3x-2}$ , כאשר $x>\frac{2}{3}$ . הנקודה $A$ על הגרף, ו- $x_A=2$ . דרך $A$ העבירו אנך לציר ה- $x$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה- $x$ , האנך והישר $x=1$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.77

הפתרון:

\begin{aligned}\int \frac{6}{3x-2}\,dx &= 6\cdot\frac{1}{3}\ln(3x-2) \\ &= 2\ln(3x-2)\end{aligned}

מחלקים במקדם $3$

\begin{aligned}S &= 2\ln 4-2\ln 1 \\ &= 2\ln 4\approx 2.77\end{aligned}

מציבים $x=2$ ו- $x=1$

בלי החלוקה ב- $3$ מקבלים $6\ln 4\approx 8.32$ , פי שלושה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=x-4\ln x$ , כאשר $x>0$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישר $x=1$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.55

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{4}{x} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

החיתוך

1<x<4: \ f'(x)<0

מתחת לציר

\begin{aligned}S &= f(1)-f(4) \\ &= 1-(4-4\ln 4) \\ &= 4\ln 4-3\approx 2.55\end{aligned}

מציבים ב- $f$

הגבולות הם $x=1$ והחיתוך $x=4$ . התשובה $f(4)-f(1)\approx -2.55$ שלילית, ולכן היא לא שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=x-4\ln x$ . השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישר $x=1$ שווה ל —

$f(1)-f(4)$
$f'(1)-f'(4)$
$f(4)-f(1)$
$\int_1^4 f(x)\,dx$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $f(1)-f(4)$

הפתרון:

1<x<4: \ f'(x)<0

הגרף של $f'$ מתחת לציר

\begin{aligned}S &= -\int_1^4 f'(x)\,dx \\ &= f(1)-f(4)\end{aligned}

הופכים סימן

הנכונה: $f(1)-f(4)$ . האינטגרל הוא $f(4)-f(1)$ , אבל הוא שלילי. והאינטגרל של $f$ עצמה הוא שטח אחר לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חקירה, ואחר כך שטח מתחת ל-f′f'f′

2 — שטח בין שני גרפים, עם הצבה

3 — גרף של cmx+b\frac{c}{mx+b}mx+bc​ ואנך

4 — שטח מתחת ל-f′f'f′ כש-fff עם ln⁡\lnln

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

1 — חקירה, ואחר כך שטח מתחת ל- $f'$

3 — גרף של $\frac{c}{mx+b}$ ואנך

4 — שטח מתחת ל- $f'$ כש- $f$ עם $\ln$